6. Полнота системы функций

Определение 2.1.14 . Система функций P ⊆ P₂ называется полной, если любую функцию из P₂ можно представить в виде формулы над P.

Замечание 2.1.12 . Удобно доказывать полноту системы функций, показывая, что она сводится к уже известной полной системе. Лемма 2.1.7 . Пусть даны две системы функцй P ⊆ P₂ и Q ⊆ P₂.

Пусть функция f (x₁, x₂, ..., x_n) представима в виде формулы над P, и

любая функция из P представима в виде формулы над Q. Тогда функция

f представима в виде формулы над Q.

Доказательство. Пусть, U - формула над P, реализующая функцию

f . U₁, U₂, ..., U_k - формулы над Q, реализующие все функции g₁, g₂,

..., g_k множества P. Тогда каждое вхождение функции g_i в формулу U

можно заменить формулой U_i. Проведя такую замену, получим формулу

U ^t над Q. Очевидно, формула U ^t эквивалентна формуле U , поскольку

они отличаются заменой подформул на эквивалентные.

D

Теорема 2.1.8 . Пусть даны две системы функцй P ⊆ P₂ и Q ⊆ P₂. Пусть P - полная система функций, и любая функция из P предста- вима в виде формулы над Q. Тогда, Q - полная система функций.

Доказательство. Непосредственно следует из леммы 2.1.7.

D

Приведем несколько примеров полных систем функций.

Утверждение 2.1.9 . {¬, ∨, ∧} - полная система функций.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию f ∈ P₂.

Если f = 0, то f = f_U , где U = x ∧ x.

В противном случае f /= 0. Тогда по утверждению 2.1.3 f = f_U , где

^σ1 ^σ_n

^{U = V} (σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=1

x₁ · · · x_n .

D

Следствие 2.1.10 . {¬, ∧} и {¬, ∨} - полные системы функций.

Доказательство. Докозательство очевидно следует из утверждения

2.1.9 и правил де Моргана, если заметить, что

x ∨ y = x ∧ y, и x ∧ y = x ∨ y.

Таким образом, подставив в любую формулу, выражающую функцию f в виде формулы над {¬, ∨, ∧}, указанные выражения для ∨ или ∧, можно получить эквивалентную формулу над {¬, ∧} или над {¬, ∨}.

D

Утверждение 2.1.11 . 1) Системы функций {|} и {↓} - полные системы функций.

2) Других полных систем, состоящих из одной функции от двух переменных нет.

Доказательство. 1) а) x = x | x, x ∨ y = x | y = (x | x) | (y | y). б) x = x ↓ x, x ∧ y = x ↓ y = (x ↓ x) ↓ (y ↓ y).

2) Пусть h(x, y) ∈ P₂ и {h} - полная система функций.

Пусть h(0, 0) = 0. Тогда, если f (x) задана в виде формулы над {h},

то f (0) = 0. Действительно, функция f имеет вид f (x) = h(U₁, U₂), где

U_i - переменная x, или формула того же вида, что и f , i = 1, 2. Таким

образом, в конце концов оказывается, что f (0) = h(0, 0) = 0. Тогда,

с помощью только функции h(x, y) не может быть функция отрицания, поскольку ¬0 = 1. Следовательно h(0, 0) = 1.

Аналогично можно показать, что h(1, 1) = 0.

Теперь рассмотрим все функции от двух переменных, удовлетворяющие полученному условию: h(0, 0) = 1, h(1, 1) = 0. Всего таких функций четыре (Скажите почему).

x	y	↓	|	x	y
0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0
1	0	0	1	0	1
1	1	0	0	0	0

Как видно из таблицы, две из этих функций известны нам как стрелка Пирса и штрих Шеффера, а две другие представляют из себя функцию отрицания от аргументов x и y. Поскольку система из одной функции отрицания не является полной системой функций, утверждение доказано.

D

Утверждение 2.1.12 . {0, 1, ⊕, ∧} - полная система функций. Доказательство. Истинность этого утверждения следует из того, что любая функция из P₂ представима в виде полинома Жегалкина (утв.

2.1.6).

D

Следствие 2.1.13 . Так как 1 ⊕ 1 = 0, полной системой функций является и {1, ⊕, ∧}.

Определение 2.1.15 . Пусть

K₀ = {f₁(x₁, ..., x_k1 ), f₂(x₁, ..., x_k2 ), ..., f_m(x₁, ..., x_km )}.

f - суперпозиция ранга 1 (элементарная суперпозиция) функций f₁, ...,

f_m, если f получена одним из способов:

1. переименованием некоторой переменной x_j функции f_i, i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., k_i}:

f_i(x₁, ..., x_j−1, y, x_j+1, ..., x_ki ),

где y может совпасть с любой переменной;

2. подстановкой некоторой функции f_l вместо переменной x_j

функции f_i, l, i ∈ {1, ..., m}, j ∈ {1, ..., k_i}:

f_i(x₁, ..., x_j−1, f_l(x₁, ..., x_kl ), x_j+1, ..., x_ki ).

Множество суперпозиций ранга 1 функций из K₀ обозначим

K₁. Также, множество суперпозиций ранга 1 функций из K_i−1

обозначим K_i, i = 1, ∞. Функции из множества K_i будем называть

суперпозициями ранга i функций из K₀.

Определение 2.1.16 . Суперпозицией функций из K₀ будем называть суперпозицию любого ранга. Другими словами, f - суперпозиция

функций f₁, ..., f_m, если ∃t ∈ N такое, что f ∈ K_t.

Замечание 2.1.13 . По сути дела утверждение, что f является суперпозицией функций из K₀, эквивалентно утверждению, что f представима в виде формулы над K₀. Таким образом мы можем переформулировать определение полной системы.

Определение 2.1.17 (2.1.14’). Система функций P ⊆ P₂

называется полной, если любая функция из P₂ является суперпозицией функций из P.

Определение 2.1.18 . Пусть M ⊆ P₂. Замыканием M называется множество

[M] = {f | f - суперпозиция функций из M}.

Определение 2.1.19 . Пусть M ⊆ P₂. M - замкнутое множество функций, если M = [M].

Пример 2.1.16 .

1. M = {x, x}. Тогда [M ] = {x, x} = M и M - замкнуто.

2. M = {x}. Тогда [M ] = {x, x} /= M . Множество M - не

замкнуто.

Несложно проверить нижеследующие свойства операции замыкания.

Утверждение 2.1.14 . Пусть M, N ⊂ P₂.

1. Замыкание множества содержит само множество:

M ⊆ [M].

2. Замыкание произвольного множества замкнуто:

[[M]] = [M].

3. Замыкание сохраняет включение множеств:

M ⊆ N ⇒ [M] ⊆ [N].

4. Замыкание объединения содержит объединение замыканий:

[M] ∪ [N] ⊆ [M ∪ N].

Замечание 2.1.14 . Заметим,что для доказательства замкнутости некоторого класса функций M достаточно показать, что любая суперпозиция ранга 1 функций из M лежит в M.

Обозначим множество суперпозиций ранга i функций из M за M_i. Пусть M₁ = M. Тогда M₂ - множество суперпозиций ранга 1 функций из M₁ = M. Следовательно, M₂ = M₁ = M. Аналогично можно

убедиться, что M_i = M, i = 1, ∞.

Далее, когда мы будем доказывать замкнутость классов функций,

будем ограничиваться только рассмотрением суперпозиций ранга 1.

С учетом определения замкнутости можно дать еще одно альтернативное определение полноты.

Определение 2.1.20 (2.1.14”). Система функций P ⊆ P₂ - полная, если [P] = P₂.

Далее мы бы хотели доказать критерий, позволяющий для произвольной системы функций из P₂ определить, является ли она полной. Для этого нам понадобится ввести и изучить свойства нескольких замкнутых классов функций алгебры логики.