5. Дизъюнктивная и конъюнктивная нормальные формы

σ_i1

σ_i2

σ_ik

Определение 2.1.9 . Формула вида x_i1 x_i2 · · · x_ik , где x_ij -

логическая переменная, σ_ij - логическая константа, i₁ < i₂ < ... < i_k,

называется конъюнктом.

Определение 2.1.10 . Если f (x₁, ..., x_n) представлена в виде

f (x₁, ..., x_n) = K₁ ∨ K₂ ∨ ... ∨ K_s,

где K₁, K₂,..., K_s - различные конъюнкты, то говорят, что f

представлена в дизъюнктивной нормальной форме (ДНФ).

Если в каждый K_i входят все переменные x₁, ..., x_n, то говорят, что f представлена в совершенной дизъюнктивной нормальной форме (СДНФ).

Так же используют обозначения д.н.ф. и с.д.н.ф.

Утверждение 2.1.4 . Пусть f (x₁, ..., x_n) ∈ P₂. Если f /= 0, то она представима в виде СДНФ, причем единственным образом (с точностью до перестановки конъюнктов).

Доказательство. Во-первых, отметим, что разложение функции f по всем переменным, построенное согласно утверждению 2.1.3, будет представлять собой СДНФ. Существование доказано.

Докажем единственность СДНФ. Пусть

s s^f

j

f (x₁, ..., x_n) = ^I K_i(x₁, ..., x_n) = ^I K^t (x₁, ..., x_n),

i=1

j=1

j

где K_i и K^t

• конъюнкты, i = 1, s, j^t = 1, s^t. Причем, не умаляя

общности, K₁ /∈ {K^t , ..., K^t }, поскольку представления в виде СДНФ

¹ s^f

должны быть различны.

Пусть K₁(x₁, ..., x_n) = x^σ1 · · · x^σn .

1 n

s s

f (σ₁, ..., σ_n) = ^I K_i(σ₁, ..., σ_n) = σ^σ1 · · · σ^σn ∨ ^I K_i(σ₁, ..., σ_n) =

i=1

1 n

i=2

s

= 1 ∨ ^I K_i(σ₁, ..., σ_n) = 1,

i=2

так как σ^σ = 1, для любого σ ∈ E₂. С другой стороны,

_sf

j

f (σ₁, ..., σ_n) = ^I K^t (σ₁, ..., σ_n).

j=1

j

Нетрудно заметить, что для любого K^t

= x^σ

f

1

₁ · · ·

_xσ

K

t

f

n

_n ∈ { ₁

, ..., K

t

_sf ^}

выполняется

_Kt

_σf _f

n

_j (σ₁, ..., σ_n) = σ₁ ¹ · · · σ^σn = 0,

поскольку ∃m = 1, n, σ_m /= σ^t

Таким образом f (σ₁, ..., σ_n) = ^Vs

0 = 0.

f

^m j=1

Противоречие доказывает, что двух различных представлений функции

в СДНФ существовать не может.

D

σ_i1

σ_i2

σ_ik

Определение 2.1.11 . Формула вида x_i1 ∨ x_i2 ∨ · · · ∨ x_ik , где x_ij -

логическая переменная, σ_ij - логическая константа, i₁ < i₂ < ... < i_k,

называется дизъюнктом.

Определение 2.1.12 . Если f (x₁, ..., x_n) представлена в виде

f (x₁, ..., x_n) = (D₁) ∧ (D₂) ∧ ... ∧ (D_s),

где D₁, D₂,..., D_s - различные дизъюнкты, то говорят, что f

представлена в конъюнктивной нормальной форме (КНФ).

Если в каждый D_i входят все переменные x₁, ..., x_n, то говорят, что f представлена в совершенной конъюнктивной нормальной форме (СКНФ).

Так же используют обозначения к.н.ф. и с.к.н.ф.

Утверждение 2.1.5 . Пусть f (x₁, ..., x_n) ∈ P₂. Если f /= 1, то она представима в виде СКНФ, причем единственным образом (с точностью до перестановки дизъюнктов).

Доказательство. Поскольку f /= 1, то f /= 0. Тогда по утверждению

2.1.4 у функции f существует СДНФ, которая по утверждению 2.1.3 имеет

вид:

s

f (x₁, ..., x_n) = ^I K_i(x₁, ..., x_n) = ^I

x^σ1 · · · x^σn .

Следовательно,

i=1

_I

f (x₁, ..., x_n) = ¬

1 n

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=1

x^σ1 · · · x^σn =

Применим правила де Моргана.

1 n

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=0

= ¬⁽x^σ1 · · · x^{σn )} =

(x^σ1 ∨ · · · ∨ x^σn ) =

1 (σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=0

n 1 ⁿ

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=0

= (x^σ1 ∨ · · · ∨ x^σn ).

1 n

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=0

Теперь покажем единственность СКНФ. Действительно, пусть у некоторой функции f /= 1 существовало две различных СКНФ:

s s^f

i

f (x₁, ..., x_n) = (D_i(x₁, ..., x_n)) = (D^t(x₁, ..., x_n)),

i=1

i=1

i

где D_i и D^t

• дизъюнкты. Возьмем отрицание от функции f (x₁, ..., x_n).

s s^f

i

f (x₁, ..., x_n) = (D_i(x₁, ..., x_n)) = (D^t(x₁, ..., x_n)).

i=1

i=1

Произведем преобразования по правилам де Моргана и получим

s s^f

i

f (x₁, ..., x_n) = ^I K_i(x₁, ..., x_n) = ^I K^t(x₁, ..., x_n),

i

где K_i = D_i и K^t

i=1

i

= D^t

i=1

• конъюнкты, полученные по правилам

де Моргана из дизъюнктов СКНФ для функции f . Поскольку

наборы дизъюнктов {D₁, ..., D_s} и {D^t , ..., D^t } различны, то и

¹ s^f

K₁, ..., K_s} и {K^t , ..., K^t } не совпадают.

полученные наборы конъюнктов {

¹ s^f

Таким образом мы получили две различных СДНФ для функции

f , что противоречит утверждению 2.1.4. Противоречие доказывает единственность СКНФ функции.

D

Замечание 2.1.8 . Из утверждений 2.1.3 и 2.1.5 мы получили формулы, которые удобно использовать для построения СДНФ и СКНФ соответственно.

f (x₁, ..., x_n) = ^I

x^σ1 · · · x^σn . (28)

для функции f /= 0.

1 n

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=1

f (x₁, ..., x_n) =

(x^σ1 ∨ · · · ∨ x^σn ). (29)

1 n

(σ₁,...,σ_n)

f (σ₁,...,σ_n)=0

для функции f /= 1.

Теперь для построения СДНФ согласно формуле (28) необходимо

выбрать каждый набор (σ₁, ..., σ_n), для которого f (σ₁, ..., σ_n) = 1,

и сопоставить ему коньюнкт x^σ1 · · · x^σn

совершенной дизъюнктивной

1 n

нормальной формы.

Аналогично строится совершенная конъюнктивная нормальная форма по формуле (29).

Пример 2.1.11 . Рассмотрим функцию f (x, y, z), заданную таблицей:

x	y	z	f
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	0
1	0	1	1
1	1	0	1
1	1	1	0

Тогда, согласно (28) СДНФ будет выглядеть следующим образом:

f (x, y, z) = x⁰y⁰z⁰ ∨ x⁰y⁰z¹ ∨ x¹y⁰z¹ ∨ x¹y¹z⁰ =

= x y z ∨ x y z ∨ x y z ∨ x y z.

СКНФ согласно формуле (29) будет иметь вид:

f (x, y, z) = (x⁰ ∨ y¹ ∨ z⁰) ∧ (x⁰ ∨ y¹ ∨ z¹) ∧ (x¹ ∨ y⁰ ∨ z⁰) ∧ (x¹ ∨ y¹ ∨ z¹) = (x¹ ∨ y⁰ ∨ z¹) ∧ (x¹ ∨ y⁰ ∨ z⁰) ∧ (x⁰ ∨ y¹ ∨ z¹) ∧ (x⁰ ∨ y⁰ ∨ z⁰) =

= (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z) ∧ (x ∨ y ∨ z).