5. Теорема о полноте исчисления высказываний

Лемма 5.1.6 . Аксиомы теории L являются тавтологиями.

Доказательство. 1)

(A ⊃ (B ⊃ A)) = A ∨ B ∨ A = 1.

2)

((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))) =

= A ∨ B ∨ C ∨ A ∨ B ∨ A ∨ C = ABC ∨ AB ∨ A ∨ C =

= (AB ∨ C)(C ∨ C) ∨ (A ∨ A)(B ∨ A) = AB ∨ C ∨ B ∨ A =

= (A ∨ A)(B ∨ A) ∨ C ∨ B = B ∨ A ∨ C ∨ B = 1

3)

((¬B ⊃ ¬A) ⊃ ((¬B ⊃ A) ⊃ B) = B ∨ A ∨ B ∨ A ∨ B =

= BA ∨ B A ∨ B = B(A ∨ A) ∨ B = B ∨ B = 1.

D

Лемма 5.1.7 . Любая теорема теории L является тавтологией.

Доказательство. Пусть для формулы A теории L существует вывод A₁, A₂, ..., A_n = A. Докажем по индукции, что A_i - тавтология, i = 1, n. По определению вывода, A₁ является аксиомой и по лемме 5.1.6 она является

тавтологией.

Пусть формулы A_i - тавтология, ∀i = 1, k. Рассмотрим A_k+1:

она является аксиомой, или получена по правилу вывода modus po- nens из предыдущих формул. Если A_k+1 - аксиома, то она является тавтологией по лемме 5.1.6. Пусть A_k+1 получена по правилу modus ponens из формул A_i и A_j = A_i ⊃ A_k+1, i, j ≤ k. По индукционному предположению, A_i и A_j - тавтологии. Пусть, на некотором наборе значений пропозициональных букв формула A_k+1 принимает значение 0.

Тогда на этом наборе

A_j = A_i ⊃ A_k+1 = 1 ⊃ 0 = 0. ?!

Противоречие. Следовательно A_k+1 - тавтология. Следовательно A - тавтология.

D

Пусть A - формула, в которую входят пропозициональные буквы B₁,

B₂, ..., B_k. Когда нам будет необходимо подчеркнуть, от каких значений

рассматривается A, будем писать A(α₁, α₂, ..., α_k), имея в виду, что вместо

пропозициональной буквы B_i подставляется значение α_i, i = 1, k.

Как и раньше, будем использовать знак степени для обозначения наличия или отсутствия отрицания:

⁽ B, σ = 1,

B^σ =

¬B, σ

= 0.

Лемма 5.1.8 . Пусть B₁, B₂, ..., B_k - все пропозициональные буквы, которые входят в формулу A, и пусть σ₁, σ₂, ..., σ_k - логические

константы. Тогда

_Bσ₁ σ₂ σ_k

A(σ₁,σ₂,...,σ_k )

₁ , B₂ , ..., B_k f-- A .

Доказательство. Докажем по индукции по числу j логических связок в формуле A.

1. 1

   Пусть j = 0. Тогда A = B₁, A(σ₁) = σ₁, A^A(σ1) = B^σ1 .

_Bσ_{1 f-- B}σ_{1 = A}A(σ₁)_.

2. Пусть утверждение верно для любого j < n. Докажем для случая n логических связок в A. Формула A, в зависимости от своей последней логической связки, может быть одного из двух видов: A = ¬A₁ или A = (A₁ ⊃ A₂).

1. Пусть A = ¬A₁. Рассмотрим два варианта

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 0. По индукционному предположению

_Bσ₁ σ₂ σ_k

¬A₁(σ₁,...,σ_k )

A(σ₁,...,σ_k )

₁ , B₂ , ..., B_k f-- ¬A₁. ¬A₁ = A = A

тельно,

_Bσ₁ σ₂ σ_k

₁ , B₂ , ..., B_k f-- A

= A . Следова-

A(σ₁,σ₂,...,σ_k )_.

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 1.

_AA(σ₁,...,σ_k ) _{= A}¬A₁(σ₁,...,σ_k ) _{= ¬A = ¬¬A1.}

По индукционному предположению B^σ1 , B^σ2 , ..., B^σk

f-- A₁. Построим

вывод:

^{1 2} k

1. A₁ ⊃ ¬¬A₁ - пункт 2 из леммы 5.1.5.

2. A₁ - посылка.

3. ¬¬A₁ - MP из 2 и 1.

Таким образом, A₁ f-- ¬¬A и

_Bσ₁ σ₂ σ_k

A(σ₁,σ₂,...,σ_k )

₁ , B₂ , ..., B_k f-- ¬¬A₁ = A .

2. Пусть A = (A₁ ⊃ A₂). Рассмотрим несколько вариантов.

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 0, A₂(σ₁, ..., σ_k) = 0. Тогда

_Bσ₁ σ_k

σ₁ σ_k

₁ , ..., B_k f-- ¬A₁, B₁ , ..., B_k f-- ¬A₂.

_AA(σ₁,...,σ_k ) _{= A}0⊃0 _{= A = (A1 ⊃ A2).}

Рассмотрим вывод:

1. ¬A₁ - посылка.

2. ¬A₁ ⊃ (A₁ ⊃ A₂) - пункт 3 из леммы 5.1.5.

3. (A₁ ⊃ A₂) - MP из 1 и 2.

Таким образом, ¬A₁ f-- (A₁ ⊃ A₂) = A^{A(σ1,...,σk )} ⇒

_Bσ₁ σ_k

A(σ₁,...,σ_k )

₁ , ..., B_k f-- A .

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 0, A₂(σ₁, ..., σ_k) = 1. Тогда

_Bσ₁ σ_k

σ₁ σ_k

₁ , ..., B_k f-- ¬A₁, B₁ , ..., B_k f-- A₂.

_AA(σ₁,...,σ_k ) _{= A}0⊃1 _{= A = (A1 ⊃ A2).}

Рассмотрим вывод:

1. ¬A₁ - посылка.

2. ¬A₁ ⊃ (A₁ ⊃ A₂) - пункт 3 из леммы 5.1.5.

3. (A₁ ⊃ A₂) - MP из 1 и 2.

Таким образом, ¬A₁ f-- (A₁ ⊃ A₂) = A^{A(σ1,...,σk )} ⇒

_Bσ₁ σ_k

A(σ₁,...,σ_k )

₁ , ..., B_k f-- A .

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 1, A₂(σ₁, ..., σ_k) = 0. Тогда

_Bσ₁ σ_k

σ₁ σ_k

₁ , ..., B_k f-- A₁, B₁ , ..., B_k f-- ¬A₂.

_AA(σ₁,...,σ_k ) _{= A}1⊃0 _{= A}0 _{= ¬(A1 ⊃ A2).}

Рассмотрим вывод:

1. A₁ - посылка.

2. ¬A₂ - посылка.

3. A₁ ⊃ (¬A₂ ⊃ ¬(A₁ ⊃ A₂)) - пункт 6 из леммы 5.1.5.

4. ¬A₂ ⊃ ¬(A₁ ⊃ A₂) - MP из 1 и 3.

5. ¬(A₁ ⊃ A₂) - MP из 2 и 4.

Таким образом, A₁, ¬A₂ f-- ¬(A₁ ⊃ A₂) = A^{A(σ1,...,σk )} ⇒

_Bσ₁ σ_k

A(σ₁,...,σ_k )

₁ , ..., B_k f-- A .

Пусть A₁(σ₁, ..., σ_k) = 1, A₂(σ₁, ..., σ_k) = 1. Тогда

_Bσ₁ σ_k

σ₁ σ_k

₁ , ..., B_k f-- A₁, B₁ , ..., B_k f-- A₂.

_AA(σ₁,...,σ_k ) _{= A}1⊃1 _{= A = (A1 ⊃ A2).}

Рассмотрим вывод:

1. A₂ - посылка.

2. A₂ ⊃ (A₁ ⊃ A₂) - аксиома 1.

3. (A₁ ⊃ A₂) - MP из 1 и 2.

Таким образом, A₂ f-- (A₁ ⊃ A₂) = A^{A(σ1,...,σk )} ⇒

_Bσ₁ σ_k

A(σ₁,...,σ_k )

₁ , ..., B_k f-- A .

Утверждение доказано.

D

Пример 5.1.4 . Пусть, A = B₁ ⊃ B₂. Если σ₁ = 1, σ₂ = 0, то

A(σ₁, σ₂) = 0. Следовательно, по лемме 5.1.8,

B₁, ¬B₂ f-- ¬(B₁ ⊃ B₂).

Покажем, что это действительно так. Вывод:

1) B₁ ⊃ (¬B₂ ⊃ ¬(B₁ ⊃ B₂)) - лемма 5.1.5 пункт 6.

2. B₁ - посылка.

3. ¬B₂ - посылка.

4) (¬B₂ ⊃ ¬(B₁ ⊃ B₂)) - MP из 2 и 1.

5) ¬(B₁ ⊃ B₂) - MP из 3 и 4.

Что и требовалось доказать.

Теорема 5.1.9 (о полноте исчисления высказываний). Формула A формальной теории L есть тавтология тогда и только тогда, когда A - теорема теории L.

Доказательство. Достаточность следует из леммы 5.1.7.

Покажем необходимость. Пусть A - тавтология. Пусть B₁, B₂, ..., B_k

• все пропозициональные буквы, которые входят в формулу A, и пусть

σ₁, σ₂, ..., σ_k - логические константы. По лемме 5.1.8

_Bσ₁ σ₂

^{σk−1 σ}k

A(σ₁,σ₂,...,σ_k )

₁ , B₂ , ..., B_k−1 , B_k f-- A .

Поскольку A - тавтология, A^{A(σ1,σ2,...,σk )} = A для любых наборов σ_i.

Тогда,

_Bσ₁ σ₂

^σk−1

₁ , B₂ , ..., B_k−1 , B_k f-- A,

_Bσ₁ σ₂

^σk−1

По теореме о дедукции,

₁ , B₂ , ..., B_k−1 , ¬B_k f-- A.

_Bσ₁ σ₂

^σk−1

₁ , B₂ , ..., B_k−1 f-- B_k ⊃ A,

_Bσ₁ σ₂

^σk−1

Построим вывод:

₁ , B₂ , ..., B_k−1 f-- ¬B_k ⊃ A.

1. B_k ⊃ A - посылка.

2. ¬B_k ⊃ A - посылка.

3. (B_k ⊃ A) ⊃ ((¬B_k ⊃ A) ⊃ A) - теорема 7 из леммы 5.1.5.

4. ((¬B_k ⊃ A) ⊃ A) - MP из 1 и 3.

5. A - MP из 2 и 4.

Следовательно,

_Bσ₁ σ₂

^σk−1

₁ , B₂ , ..., B_k−1 f-- A.

Таким образом, мы избавились от B_k в списке посылок для вы- вода формулы A. Повторяя процесс, мы можем показать, что

_Bσ₁ σ₂

^σk−2

₁ , B₂ , ..., B_k−2 f-- A и так далее, пока не получим, что f-- A.

D

Замечание 5.1.5 . Формальная теория L является разрешимой, поскольку для любой формулы мы можем проверить, является ли она тавтологией и, следовательно, теоремой L.

Определение 5.1.11 . Формальная теория T с операцией ¬ непротиворечива, если в ней не существует такой формулы A, что f--_T A и f--_T ¬A.

Следствие 5.1.10 . Формальная теория L непротиворечива.

Доказательство. Если f-- A, то A - тавтология. Тогда ¬A не является тавтологией и по теореме 5.1.9: /f-- ¬A.

D