4. Операции над множествами

Пусть U - универсальное множество - множество всех элементов рассматриваемой предметной области.

Объединение

Пересечение

A ∪ B = {x | x ∈ A или x ∈ B}.

A ∩ B = {x | x ∈ A и x ∈ B}.

Дополнение (абсолютное дополнение)

A = {x | x ∈ U и x ∈/ A}.

Разность (относительное дополнение)

A \ B = {x | x ∈ A и x ∈/ B}.

Очевидными свойсвами объединения, пересечения и разности множеств являются то, что для любых двух множеств A и B выполняются включения:

(A ∩ B) ⊆ A ⊆ (A ∪ B),

A \ B = A ∩ B ⊆ A.

Симметрическая разность

.

A–B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Утверждение 1.3.1 (Основные тождества алгебры множеств). Для любых подмножеств A, B и C универсального множества U выполняются следующие тождества:

1. Коммутативность: a) A ∪ B = B ∪ A; b) A ∩ B = B ∩ A;

2. Ассоциативность:

a) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C; b) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C;

3. a) Дистрибутивность ∪ относительно ∩:

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

b) Дистрибутивность ∩ относительно ∪:

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

4) a) A ∪ ∅ = A; b) A ∩ ∅ = ∅;

5. a) A ∪ U = U ; b) A ∩ U = A;

6. a) A ∪ A = U ; b) A ∩ A = ∅;

7. Идемпотентность: a) A ∪ A = A; b) A ∩ A = A;

8. Законы де Моргана: a) A ∪ B = A ∩ B; b) A ∩ B = A ∪ B;

9. Законы поглощения: a) A ∪ (A ∩ B) = A; b) A ∩ (A ∪ B) = A.

10. Инволютивный закон: A = A.

Доказательство. Доказать утверждения самостоятельно.

D

Следствие 1.3.2 .

Доказательство.

.

.

A–B = (A ∪ B) \ (B ∩ A).

A–B = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∩ B) ∪ (B ∩ A) =

= ((A ∩ B) ∪ B) ∩ ((A ∩ B) ∪ A) =

= (A ∪ B) ∩ (B ∪ B) ∩ (A ∪ A) ∩ (B ∪ A) =

= (A ∪ B) ∩ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∩ (B ∩ A) =

= (A ∪ B) \ (B ∩ A)

D

Утверждение 1.3.3 . Для любых множеств A и B следующие предположения попарно эквивалентны:

1. A ⊆ B;

2. A ∩ B = A;

3. A ∪ B = B;

4. A ∪ B = U ;

5. A \ B = ∅.

Доказательство. 1) ⇒ 2) Очевидно A ∩ B ⊆ A. Покажем A ⊆ A ∩ B. Действительно x ∈ A ⇒ x ∈ B, так как A ⊆ B и, следовательно, x ∈ A ∩ B.

2. ⇒ 3) A ∩ B = A следовательно (A ∩ B) ∪ B = A ∪ B. По за кону поглощения и коммутативности (A ∩ B) ∪ B = B. Таким образом A ∪ B = B

3. ⇒ 1) По предположению A ∪ B = B. Тогда A ⊆ A ∪ B = B, что и

требовалось доказать.

3. ⇒ 4) В объединении множеств A и B сделаем замену согласно свойству A ∪ B = B:

A ∪ B = A ∪ A ∪ B = U ∪ B = U.

3. ⇒ 5) Возьмем дополнение от предположения пункта 4) и восполь- зуемся правилом де Моргана:

∅ = U = A ∪ B = A ∩ B = A \ B.

3. ⇒ 3) Пусть ∅ = A \ B. Объединим левую и правую части этого равенства с B:

B = (A \ B) ∪ B = (A ∩ B) ∪ B = (A ∪ B) ∩ (B ∪ B) =

= (A ∪ B) ∩ U = A ∪ B.

D