2. Формальная теория исчисление предикатов

Определим формальную теорию исчисление предикатов.

1. Алфавит.

   1. Предметные переменные: x₁, x₂, ..., x_n, ...

   2. Предметные константы: a₁, a₂, ..., a_n, ...

   3. Функциональные символы: f ¹, f ¹, ..., f ², f ², ... f ⁿ, f ⁿ, ...

1 2 1 2 1 2

4. Предикатные символы: A¹, A¹, ..., A², A², ... Aⁿ, Aⁿ, ...

1 2 1 2 1 2

5. Квантор всеобщности: ∀x, где x - предметная переменная.

Символы логических операций: ⊃, ¬.

Скобки и запятая: ), (, ,.

2. Формулы.

Формула определяется с использованием понятия "терм".

Определение 5.2.2 .

1. x_i и a_i - термы.

2. i

   Если t₁, t₂, ..., t_n - термы и f ⁿ

_f n

• функциональный символ, то

_i (t₁, t₂, ..., t_n) - терм.

3. Других термов нет.

Определение 5.2.3 .

1. i

   Пусть t₁, t₂, ..., t_n - термы, Aⁿ

• предикатный символ. Тогда

_An

_i (t₁, t₂, ..., t_n) - формула.

2. Если A и B - формулы и x - предметная переменная, то

¬A, ∀xA и (A ⊃ B) - формулы.

3. Других формул нет.

Определение 5.2.4 . Областью действия квантора ∀x в формуле ∀xA

называют подформулу A.

Переменная x_i называется связанной, если она входит в квантор ∀x_i,

или в область его действия. Иначе переменная x_i называется свободной.

Пример 5.2.3 .

¬A²(x₁, a₁) ∧ ∀x₂(∃x₃A²(x₁, f ²(x₂, x₃)) ⊃ (A²(x₂, x₁) ∨ A²(x₂, a₁))).

1 1 1 1 1

В этой формуле переменные x₁ свободные, а переменные x₂ и x₃ - связанные.

Определение 5.2.5 . Если в формуле нет свободных переменных, она называется замкнутой.

Пример 5.2.4 . (∀x₁(A¹(x₁) ⊃ A¹(x₁)) ∧ A¹(a₁)) ⊃ A¹(a₁) - замкнутая

формула.

1 2 1 2

В дальнейшем будем писать A(x_i), подразумевая, что x_i - свободная переменная формулы A.

Определение 5.2.6 . Будем говорить, что терм t - свободный для переменной x_i в формуле A(x_i), если в t нет такой переменной x_j , что переменная x_i в A(x_i) попадает в область действия квантора ∀x_j .

1

1

Пример 5.2.5 . Пусть A(x₁) = ∀x₂A²(x₁, x₂). Тогда терм t^t = x₃ -

свободный для x₁

в A(

x₁), терм t^tt = f ²(x₂, x₃) - не является свободным

для

x₁ в A(x₁).

Будем обозначать A(t) формулу, полученную из A(x_i) подстановкой

терма t вместо всех вхождений x_i. При этом иногда специально оговаривается, что t - свободный для переменной x_i в формуле A(x_i).

3. Аксиомы.

Как и в исчислении предикатов, введем счетное множество аксиом через схемы, подставляя в которые любые формулы получим аксиому

формальной теории. Пусть A, B, C - произвольные формулы. Тогда

следующие формулы являются аксиомами:

1^a (A ⊃ (B ⊃ A)).

2^a ((A ⊃ (B ⊃ C)) ⊃ ((A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ C))).

3^a ((¬B ⊃ ¬A) ⊃ ((¬B ⊃ A) ⊃ B)).

4^a (∀x_iA(x_i) ⊃ A(t)), где t - терм, свободный для x_i в формуле A.

Если в A нет свободной переменной x_i, аксиома принимает вид ∀x_iA ⊃ A.

5^a (∀x_i(A ⊃ B) ⊃ (A ⊃ ∀x_iB)), где в A нет свободной переменной

x_i.

Если больше аксиом нет, получаем исчисление предикатов первого

порядка. Если, кроме указанных, добавлены еще аксиомы, - формальную теорию первого порядка.