3. Базовые обозначения

Введем некоторые общие обозначения, которые будут встречаться нам в процессе изучения всего материала курса.

Под записью i = k, l будем понимать, что величина i пробегает все целые значения от k до l.

Ixl - наименьшее большее целое для числа x.

lxj - наибольшее меньшее целое для числа x.

Наряду со стандартными обозначениями для множеств чисел

N - множество натуральных чисел,

Z - множество целых чисел,

R - множество вещественных чисел,

будем использовать N₀ для обозначения множества неотрицательных

целых чисел:

N₀ = N ∪ {0} = {0, 1, 2, ...}.

Для записи сумм с большим количеством подобных слагаемых используется символ Σ (сигма).

l

^\ f (i) = f (k) + f (k + 1) + ... + f (l − 1) + f (l).

i=k

Когда условие суммирования имеет более сложную форму, используют следующую запись

^\ f (x)

P (x)

которая значит, что суммирование происходит по всем возможным

значениям параметра x для которых высказывание P (x) является верным. Аналогично могут использоваться и другие знаки групповых операций.

Пример 1.2.7 .

10

\ i² = 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 = 385.

i=1

\

x₁,x₂∈N, x₁+x₂=10

x₁ · x₂ = 9 + 16 + 21 + 24 + 25 + 24 + 21 + 16 + 9 = 155.

Символы ∀, ∃, ∨, ∧, ¬ часто используются в краткой записи математических высказываний: ∀ - "для любых", ∃ - "существует", � - "не существует", ∃! - "существует единственный", ∧ - "и", ∨ - "или",

¬ - "не". В разделе нашего курса, посвященном математической логике

мы подробнее изучим запись высказываний на формальном языке.

4. Правило суммы и правило произведения

При подсчете числа вариантов возникновения различных событий в задачах комбинаторики будут полезны следующие два правила.

Правило произведения: Если объект A может быть выбран m способами и для каждого из таких выборов объект B в свою очередь может быть выбран n способами, то выбор <A и B> может быть

осуществлен m · n способами.

Пример 1.2.8 . Бросают две игральные кости. Сколько существует различных вариантов их выпадения, если кости считаются различными?

У каждой кости 6 граней. Для каждого варианта выпадения первой кости возможно 6 вариантов выпадения второй. Значит, по правилу

произведения, искомое число 6 · 6 = 36.

Правило суммы: Если объект A может быть выбран m способами, а объект B - n способами, причем одновременный выбор A и B невозможен, то выбор <A или B> можно осуществить m + n способами.

Пример 1.2.9 . Бросают две различные игральные кости. Сколько существует вариантов выпадения, чтобы ровно на одной из двух выпала шестерка?

Если шестерка выпадает на первой кости, то существует

5 вариантов допустимых значений для выпадения второй кости. Аналогично, если шестерка выпадает на второй кости, первая кость в подсчитываемых комбинациях может принимать значения 1,2, 3, 4 и 5. Поскольку одновременное выпадение шестерок не рассматривается, по правилу суммы искомое число 5 + 5 = 10.

Пример 1.2.10 . Бросают две игральные кости. Сколько существует вариантов выпадения, чтобы либо на каждой кости выпало четное число очков, либо на каждой - нечетное?

Поскольку кости не могут одновременно дать и четный и нечетный результат, по правилу суммы нужно сложить число вариантов выпадения двух четных числе и число выпадения двух нечетных чисел.

Обычная игральная кость имеет шесть граней и ровно три из них четные. Так как для каждого варианта выпадения значения на первой кости возможны три варианта значения на второй, по правилу произведения число вариантов выпадения двух четных значений равно

3 · 3 = 9. Аналогично, число выпадений двух нечетных чисел - 9. Тогда,

искомое число равно 18.