3. Основные тождества

Как мы помним из определения 2.1.4	формулы	называют
эквивалентными, когда соответствующие им	функции	совпадают.

Рассмотрим, как можно получить из формулы эквивалентные ей.

Утверждение 2.1.1 (о замене подформул на эквивалентные). Пусть f - некоторая элементарная функция. Если формулы U₁, U₂, ..., U_n эквивалентны соответственно формулам B₁, B₂, ..., B_n, то формула U = f (U₁, U₂, ..., U_n) эквивалентна формуле B = f (B₁, B₂, ..., B_n).

Доказательство. Действительно, из определения эквивалентности следует, что f_Ui = f_Bi , i = 1, n. При этом, формула U реализует функцию f_U = f (f_U1 , f_U2 , ..., f_Un ), а формула B реализует функцию

f_B = f (f_B1 , f_B2 , ..., f_Bn ). Следовательно f_U = f_B.

D

Это позволяет нам, записать ряд тождеств, которые мы сможем использовать для преобразования формул, заменяя подформулы на эквивалентные.

1. Коммутативность: x ◦ y = y ◦ x, если ◦ ∈ {∧, ∨, ⊕, ≡, |, ↓}.

2. Ассоциативность: x ◦ (y ◦ z) = (x ◦ y) ◦ z, если ◦ ∈ {∧, ∨, ⊕, ≡}. Мы

уже указывали на это свойство раньше.

3. Правила де Моргана: x ∧ y = x ∨ y, x ∨ y = x ∧ y.

4. Правила поглощения: x ∨ xy = x, x(x ∨ y) = x.

5. Дистрибутивность:

x(y ∨ z) = xy ∨ xz - дистрибутивность ∧ относительно ∨,

x ∨ yz = (x ∨ y)(x ∨ z) - дистрибутивность ∨ относительно ∧,

x(y ⊕ z) = xy ⊕ xz - дистрибутивность ∧ относительно ⊕.

6. Формулы расщепления:

x = xy ∨ xy,

x = (x ∨ y)(x ∨ y).

7. 0 = xx = x ∧ 0 = x ⊕ x,

1 = x ∨ x = x ∨ 1 = x ≡ x,

x = ¬¬x = x ∨ x = xx = x ∧ 1 = x ∨ 0.

8. x = x ⊕ 1,

x ≡ y = (x ⊕ y) ⊕ 1,

x ⊕ y = (x ∨ y)xy = xy ∨ xy,

x ⊃ y = x ∨ y = xy ⊕ x ⊕ 1,

x ↓ y = x ∧ y = x ∨ y,

x | y = x ∨ y = x ∧ y.

Используя эти тождества можно выполнять преобразования формул, получая им эквивалентные.

Пример 2.1.8 . Рассмотрим формулу U = (y ⊃ x) ∨ (x ⊕ 1) ∨ y. Проведем преобразования, используя известные тождества.

(y ⊃ x) ∨ (x ⊕ 1) ∨ y = (y ∨ x) ∨ (x) ∨ y = y ∨ x ∨ x ∨ y = 1 ∨ 1 = 1.

Таким образом, формула U задает тождественно истинную функцию.

Очевидно, что формула B = U = (y ⊃ x) ∨ (x ⊕ 1) ∨ y = 1 = 0, то

есть B задает тождественно ложную функцию.

Определение 2.1.5 . Формула, задающая тождественно истинную функцию, называется тавтологией.

Определение 2.1.6 . Формула, задающая тождественно ложную функцию, называется противоречием.

Определение 2.1.7 . Формула называется выполнимой, если для нее существует набор аргументов, на котором она принимает значение 1.

4. Разложение функции по переменным

Определение 2.1.8 . Введем следующее обозначение:

⁽ x, σ = 1,

x^σ =

x, σ = 0.

Также будем говорить x в степени σ, имея в виду запись x^σ определенную выше. Переменную с или без отрицания будем называть литералом.

Замечание 2.1.5 . Как можно видеть из определения 2.1.8

x^σ = 1 ⇐⇒ x = σ.

Утверждение 2.1.2 (разложение	функции	по	параметрам).
Пусть f (x1, ..., xn) ∈ P2 и 1 ≤ m ≤ n.	Тогда

f (x₁, ..., x_m, x_m+1, ..., x_n) =

I

_xσ₁

x

2

m

₂ · · ·

f (σ₁, ..., σ_m, x_m+1, ..., x_n). (27)

(σ₁,...,σ_m):

σ_i∈E₂, i=1,m

_{1 x}^σ σ_m

Доказательство. Рассмотрим произвольный набор аргументов

(α₁, ..., α_n): α_i ∈ E₂, i = 1, n. Подставим этот набор в правую часть

уравнения (27):

I _ασ1

α

2

m

₂ · · ·

f (σ₁, ..., σ_m, α_m+1, ..., α_n) =

(σ₁,...,σ_m):

σ_i∈E₂, i=1,m

_{1 α}^σ σ_m

Так как α^σ = 1 тогда и только тогда, когда α = σ, то из всех членов предыдущего выражения останется только один: когда все σ_i совпадают с α_i.

= 1 · 1 · · · 1 · f (α₁, ..., α_m, α_m+1, ..., α_n) = f (α₁, ..., α_m, α_m+1, ..., α_n).

Таким образом, мы показали, что для произвольного набора значений аргументов функции f левая и правая части формулы (27) совпадают, что и требовалось доказать.

D

Пример 2.1.9 . Пусть f (x, y) = x |(x ⊃ y). Разложим функцию f по

переменной x.

f (x, y) = x |(x ⊃ y) = xf (1, y) ∨ xf (0, y) =

Подставим формулу на место функции f .

= x(0 |(1 ⊃ y)) ∨ x(1 |(0 ⊃ y)) = x

Последнее равенство следует из того, что (0 | α) = 1 для любого α, в то время как (0 ⊃ β) = 1 для любого β и, следовательно, (1 |(0 ⊃ y)) = (1 | 1) = 0.

Замечание 2.1.6 . Согласно утверждению 2.1.2, можно строить разложение по любому подмножеству множества переменных функции.

Пример 2.1.10 . Пусть f (x, y, z) = (x ⊃ y) ⊕ z. Выполним разложение f по переменным x и z.

f (x, y, z) = ^I

(σ₁,σ₃):

σ₁∈E₂, σ₃∈E₂

x^σ1 z^σ3 f (σ₁, y, σ₃) =

= x⁰z⁰f (0, y, 0) ∨ x⁰z¹f (0, y, 1) ∨ x¹z⁰f (1, y, 0) ∨ x¹z¹f (1, y, 1) =

= x z (0 ⊃ y) ⊕ 0 ∨ x z (0 ⊃ y) ⊕ 1 ∨ x z (1 ⊃ y) ⊕ 0 ∨ x z (1 ⊃ y) ⊕ 1 =

Таким получилось разложение по переменным. Теперь можно провести преобразования, чтобы упростить результат.

= x z 1 ⊕ 0 ∨ x z1 ⊕ 1 ∨ x z(1 ⊃ y) ⊕ 0∨

∨x z(1 ⊃ y) ⊕ 1 = x z ∨ x z y ∨ x z y.

Утверждение 2.1.3 . Пусть f (x₁, ..., x_n) ∈ P₂ и f /= 0. Тогда

f (x₁, ..., x_n) = ^I

x^σ1 · · · x^σn .

1 n

2

(σ₁,...,σ_n)∈Eⁿ

f (σ₁,...,σ_n)=1

Замечание 2.1.7 . Здесь и далее запись "f /= 0" понимается в смысле эквивалентности формул. То есть запись "f /= 0" читается "f не является тождественно ложной функцией", а запись "f /= 1" - "f

не является тождественно истинной функцией". Аналогично записи "f = 1" и "f = 0" понимают как "f - тождественно истинна" и "f

- тождественно ложна".

Доказательство. Разложим функцию f по всем ее переменным согласно утверждению 2.1.2.

f (x₁, ..., x_n) = ^I

x^σ1 · · · x^σn · f (σ₁, ..., σ_n) =

1 n

2

(σ₁,...,σ_n)∈Eⁿ

= ^I x^σ1 · · · x^σn .

1 n

2

(σ₁,...,σ_n)∈Eⁿ

f (σ₁,...,σ_n)=1

Поскольку f /= 0, в этом выражении присутствует хотя бы один член.

D