8. Принцип включения-исключения

1. Принцип включения-исключения

Пусть A - заданное множество и S - множество свойств. Каждый элемент из A может обладать некоторыми свойствами из S. Другими словами, каждому элементу a из множества A сопоставляется некоторое подмножество S_a множества S и говорят, что элемент a обладает свойствами из S_a.

Пусть T ⊆ S. Обозначим

f₌(T ) - число элементов из множества A, которые обладают всеми свойствами из T и не обладают свойствами из множества S \ T ;

f_≥(T ) - число элементов из A, которые обладают всеми свойствами из T и возможно какими-то еще. Тогда

f_≥(T ) = ^\

T ⊆Y ⊆S

f₌(Y ). (19)

Возможно ли, если мы знаем значение f_≥(T ) для любых T ⊆ S, найти

функцию f₌?

Утверждение 1.8.1 . Пусть ϕ : 2^S → R - произвольная функция, сопоставляющая каждому подмножеству конечного множества S,

некоторое вещественное число. Пусть ψ - такая функция из 2^S в R,

что

Тогда

ψ(T ) = ^\

T ⊆Y ⊆S

ϕ(Y ), ∀ T ⊆ S.

ϕ(T ) = ^\

T ⊆Y ⊆S

(−1)^{|Y \T |}ψ(Y ), ∀ T ⊆ S.

Доказательство. Пусть T ⊆ S. Тогда

\

T ⊆Y ⊆S

(−1)^{|Y \T |}ψ(Y ) = ^\

T ⊆Y ⊆S

₍₋₁₎|Y \T | ^\

Y ⊆Z⊆S

ϕ(Z) =

= \

T ⊆Y ⊆Z⊆S

(−1)^{|Y \T |}ϕ(Z) = ^\

T ⊆Z⊆S

ϕ(Z) ^\

T ⊆Y ⊆Z

₍₋₁₎|Y \T | ₌

= \

T ⊆Z⊆S

|Z\T |

ϕ(Z) ^\

i=0

|Z\T |

\

T ⊆Y ⊆Z,

|Y |=|T |+i

₍₋₁₎|Y \T | ₌

= \

T ⊆Z⊆S

ϕ(Z) ^\ (−1)ⁱ

i=0

|Z \ T |

i

₌ \

T ⊆Z⊆S

ϕ(Z)δ_o

(|Z \ T |) = ϕ(T ).

Здесь δ_o(n) - дельта-функция, которую мы обсуждали в замечании 1.5.1 параграфа 1.5.5.

D

Следствие 1.8.2 . Поскольку, f_≥(T ) = ^):_{T ⊆Y ⊆S} f₌(Y ), то для любого

≥

T ⊆ S

≥

В частности,

f₌(T ) = ^\

T ⊆Y ⊆S

₍₋₁₎|Y \T |_f

(Y ). (20)

f₌(∅) = ^\

∅⊆Y ⊆S

(−1)^{|Y |}f

(Y ). (21)

Этот результат помогает решить многие задачи.

2. Задача о беспорядках

Интуитивная постановка задачи о беспорядках:

Задача 1.8.1 . Пусть, в рамках чемпионата в n городах должно пройти ровно по одному матчу. Матчи судят n судей, каждый из которых из одного из городов, все из разных. Сколькими способами можно распределить судей по матчам, чтобы ни один судья не судил в своем городе?

Можно привести другую формулировку задачи, математическая идея которой будет той же.

Задача 1.8.2 . Пусть n человек пришли в театр и сдали шляпы в гардероб. Когда спектакль закончился и зрители получили шляпы назад, оказалось, что каждый из n получил чужую шляпу. Сколько существует вариантов такого события?

Формально задача ставится следующим образом.

Определение 1.8.1 . Беспорядком на множестве {1, ..., n}

называется перестановка, которая не сохраняет ни одного элемента:

π(i) /= i, i = 1, n.

Задача 1.8.3 . Найти число беспорядков на множестве {1, ..., n}: D(n) = |{π | π ∈ σ_n, π(i) /= i, i = 1, n}|.

Решим эту задачу с помощью принципа включения-исключения. Будем говорить, что π ∈ σ_n обладает свойством i, если π(i) = i.

Тогда S = {1, ..., n} - множество всех свойств, которыми может обладать перестановка. Пусть T ⊆ S. Пусть

f₌(T ) - число перестановок, каждая из которых обладает всеми свойствами из T и не обладает свойствами из S \ T :

f₌(T ) = |{π | π ∈ σ_n, π(i) = i, i ∈ T ; π(j) /= j, j ∈ S \ T }|.

f_≥(T ) - число перестановок, каждая из которых обладает всеми свойствами из T и возможно какими-то еще:

f_≥(T ) = |{π | π ∈ σ_n, π(i) = i, i ∈ T }|.

Следовательно верна формула (19): f_≥(T ) = ^):_{T ⊆Y ⊆S} f₌(Y ). Нетрудно видеть, что f_≥(T ) = |S \ T |! - число перестановок на множестве S \ T . Очевидно, D(n) = f₌(∅). Следующее утверждение решает задачу.

i=0

Утверждение 1.8.3 . D(n) = n! ^):n

(−1)ⁱ

.

i!

Доказательство. Так как f_≥(T ) = |S \ T |!, то по формуле (21)

≥

D(n) = f₌(∅) = ^\(−1)^{|Y |}f

Y ⊆S

(Y ) = ^\(−1)^{|Y |}|S \ Y |! =

Y ⊆S

_{n n n}

i

= ^{\ \} (−1)ⁱ(n − i)! = ^\(−1)ⁱ(n − i)! =

i=0 Y ⊆S,

|Y |=i

n

i=0

ⁿ i

₌ ^\_(−1)i (n − i)! n!

_i=0 i! (n − i)!

D

= n!

^\ (− 1) _.

i!

i=0