2. Разбиения натуральных чисел

Определение 1.7.2 . Набор (λ₁, λ₂, ..., λ_k), λ_i ∈ N, называется разбиением числа n ∈ N, если n = λ₁ +λ₂ +· · ·+λ_k, λ₁ ≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_k > 0

Пример 1.7.2 . Существует 5 различных разбиений числа n = 4:

1 + 1 + 1 + 1

2 + 1 + 1

2 + 2

3 + 1

4

Замечание 1.7.1 . Можно использовать и другое определение разбиения натурального числа:

Определение 1.7.3 . Разбиением числа n ∈ N называется представление n в виде неупорядоченной суммы натуральных чисел.

Действительно, можно считать, что разбиение {λ₁, λ₂, ..., λ_k} - произвольный неупорядоченный набор, такой что n = λ₁ + λ₂ + · · · + λ_k.

Тогда расставив элементы λ_i в другом порядке мы получим то же самое разбиение. Чтобы получить возможность определять, имеем ли мы дело с двумя различными разбиениями, или с одним и тем же набором, но в с элементами следующими в другом порядке, удобно расставить элементы λ_i по убыванию. В таком случае, любому разбиению будет соответствовать упорядоченная последовательность, удовлетворяющая определению 1.7.2.

Обозначим p_k(n) - число разбиений n на k частей.

Утверждение 1.7.4 . Пусть k, n ∈ N, k > 1 и n > k. Тогда

p_k(n) = p_k−1(n − 1) + p_k(n − k). (18)

Доказательство. Пусть

S_k(n) = {(λ₁, λ₂, ..., λ_k) | n = λ₁ + λ₂ + · · · + λ_k,

λ₁ ≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_k > 0, λ_i ∈ N, i = 1, k},

A = {(λ₁, λ₂, ..., λ_k) | (λ₁, λ₂, ..., λ_k) ∈ S_k(n), λ_k = 1},

B = {(λ₁, λ₂, ..., λ_k) | (λ₁, λ₂, ..., λ_k) ∈ S_k(n), λ_k ≥ 2}.

Тогда S_k(n) = A ∪ B и A ∩ B = ∅; |S_k(n)| = |A| + |B|.

|A| = |{(λ₁, λ₂, ..., λ_k−1) | λ₁ + λ₂ + · · · + λ_k−1 = n − 1,

λ₁ ≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_k−1 > 0, λ_i ∈ N}| = |S_k−1(n − 1)| = p_k−1(n − 1).

|B| = |{(λ₁, λ₂, ..., λ_k) | λ₁ + λ₂ + · · · + λ_k = n,

λ₁ ≥ λ₂ ≥ · · · ≥ λ_k > 1, λ_i ∈ N}| =

Сделаем замену µ_i = λ_i − 1, i = 1, k.

= |{(µ₁, µ₂, ..., µ_k) | µ₁ + µ₂ + · · · + µ_k = n − k,

µ₁ ≥ µ₂ ≥ · · · ≥ µ_k > 0, µ_i ∈ N}| = |S_k(n − k)| = p_k(n − k).

|S_k(n)| = p_k(n) = p_k−1(n − 1) + p_k(n − k).

D

Замечание 1.7.2 . Несмотря на схожесть определений вычисление величины p_k(n) оказывается гораздо более сложной, чем d_k(n). Если для числа разложений мы имеем явную формулу (15), то для числа разбиений мы получили только рекурентное выражение (18), которое, тем не менее, позволяет нам вычислить p_k(n), пользуясь начальными

условиями: ∀n ∈ N p_n(n) = 1, p₁(n) = 1; если k > n, то p_k(n) = 0.

n\k	1	2	3	4	5	6	7	· · ·
1	1	0	0	0	0	0	0	· · ·
2	1	1	0	0	0	0	0	· · ·
3	1	1	1	0	0	0	0	· · ·
4	1	2	1	1	0	0	0	· · ·
5	1	2	2	1	1	0	0	· · ·
6	1	3	3	2	1	1	0	· · ·
7	1	3	4	3	2	1	1	· · ·

Пример 1.7.3 . Заполним таблицу первых значений p_k(n), пользуясь начальными значениями и формулой (18).

. . .

. . .

. . ^{. . .}

p₂(3) = p₁(2) + p₂(1) = p₁(2) = 1, p₂(4) = p₁(3) + p₂(2) = 1 + 1 = 2, p₃(4) = p₂(3) + p₃(1) = p₂(3) = 1,

p₂(5) = p₁(4) + p₂(3) = 1 + 1 = 2, p₃(5) = p₂(4) + p₃(2) = p₂(4) = 2,

p₄(5) = p₃(4) + p₄(1) = p₃(4) = 1, p₂(6) = p₁(5) + p₂(4) = 1 + 2 = 3, p₃(6) = p₂(5) + p₃(3) = 2 + 1 = 3, p₄(6) = p₃(5) + p₄(2) = 2,

p₅(6) = p₄(5) + p₅(1) = 1,

p₂(7) = p₁(6) + p₂(5) = 1 + 2 = 3, p₃(7) = p₂(6) + p₃(4) = 3 + 1 = 4, p₄(7) = p₃(6) + p₄(3) = 3,

p₅(7) = p₄(6) + p₅(2) = 2,

p₆(7) = p₅(6) + p₆(1) = 1.