6. Приложение: программа перебора сочетаний

Приведем код программы, которая перебирает все (0,1)-вектора длины n

с k единицами (а значит все сочетания из n по k).

#include<iostream.h>

const n=7, m=4;

void main()

{

cout << "Перебор сочетаний из " << n << " по " << m << ":"

<< endl << endl ;

int i,j,k;

int x[m];// Вектор номеров позиций единиц int c[n];// (0,1)-вектор текущего сочетания.

// Вспомогательный массив для вывода на печать.

// Исходная инициализация for(i=0;i<m;i++)

x[i]=i;

///////////////////////////////

// Стандартный шаг алгоритма // do {

////////////////////

// Вывод на экран //

// Инициализируем массив c[] for(i=0; i<n; i++)

c[i]=0;

for(i=0; i<m; i++) c[x[i]]=1;

// Выведем его на экран for(i=0; i<n; i++)

cout << c[i]; cout << endl;

/////////////////////////////////////////

// Очередной шаг модификации сочетания //

k=m-1; // номер позиции самой последней единицы,

// которую можно сдвинуть. while( (k>=0) && (x[k]==n-m+k) ) k--;

///////////////////////////////

// Если позиция k существует //

if(k>=0)

{

// Увеличиваем номер позиции k-той единицы

// и выстраиваем все следующие единицы за ней x[k]++;

for(i=k+1; i<m; i++) x[i]=x[k]+(i-k);

}

}

while(k>=0);

}

Результатом работы будут все возможные (0,1)-вектора длины семь с четырьмя единицами:

1111000	1100011	1001011
1110100	1011100	1000111
1110010	1011010	0111100
1110001	1011001	0111010
1101100	1010110	0111001
1101010	1010101	0110110
1101001	1010011	0110101
1100110	1001110	0110011
1100101	1001101	0101110

0101101

0101011

0100111

0011110

0011101

0011011

0010111

0001111

Замечание 1.5.3 . Покскольку, как показано в параграфе 1.5.7, существует взаимнооднозначное соответствие между (0,1)- векторами и мультимножествами, приведенную программу легко представить и как программу перебора мультимножеств.

6. Перестановки

1. Понятие перестановки

Определение 1.6.1 . Перестановкой на множестве {1, ..., n}

называется инъективная функция

π : {1, ..., n} → {1, ..., n}.

Число n называется порядком перестановки π.

Замечание 1.6.1 . Как любая инъективная на конечном множестве функция, перестановка является биективной.

Замечание 1.6.2 . В общем случае, перестановкой произвольного множества X называют биекцию

π : X → X.

Обозначим σ_n множество всех перестановок порядка n. Очевидно, что

|σ_n| = n!

Существует несколько способов задания перестановки. Явное задание

перестановки

1 2 ... n

^{π =} π(1) π(2) ... π(n) ^.

В записи выше первая строка всегда одинакова. Для задания перестановки достаточно второй строки

π = π(1)π(2)...π(n).

Также можно задать перестановку перечислением ее циклов, о чем мы скажем позже.

Определение 1.6.2 . Пусть π₁, π₂ ∈ σ_n. Произведением перестановок

π₂ и π₁ называют композицию этих функций: π₂ ◦ π₁(i) = π₂(π₁(i)),

i = 1, n.

Докажем, что произведение перестановок есть перестановка. Очевидно, что π₂ ◦ π₁ : {1, ..., n} → {1, ..., n}. Покажем инъективность.

Пусть i, j ∈ {1, ..., n} и i /= j. Поскольку π₁ инъективна, π₁(i) /= π₁(j), а поскольку инъективна π₂, π₂(π₍i)) /= π₂(π₁(j)). Следовательно,

π₂ ◦ π₁(i) = π₂(π₁(i)) /= π₂(π₁(j)) = π₂ ◦ π₁(j).

То есть π₂ ◦ π₁ - инъективна, а значит является перестановкой.