3. Связь сочетаний и (0,1)-векторов

С каждым сочетанием из n по k можно связать вектор из нулей и единиц, в котором число единиц равно k: позиции единиц указывают числа, которые должны войти в сочетание. Другими словами, установлено взаимооднозначное соответствие между множеством сочетаний из n по k и множеством (0,1)-векторов длины n с k единицами.

В свою очередь каждый (0,1)-вектор длины n с k единицами соответствует пути на прямоугольной решетке (рис. 9) длины n − k и

высоты k. Можно сопоставить каждому шагу вниз - единицу, а каждому

^(0,0) (n-k,0)

(0,k) (n-k,k)

Рисунок 9: Выбор пути на прямоугольной решетке

шагу вправо - ноль. Тогда произвольному пути в n шагов из точки (0, 0)

в точку (n − k, k) взаимнооднозначно соответствует (0,1)-вектор длины

n с k единицами. Таким образом, мы получили взаимнооднозначное

соответствие между множеством сочетанием из n по k и множеством путей на прямоугольной решетке.

Заметим, что все множество путей из точки (0, 0) в точку (n − k, k)

складывается из множества путей из (0, 0) в (n − k, k − 1) с последним

шагом из (n−k, k−1) в (n−k, k) и множества путей из (0, 0) в (n−k−1, k)

k

с последним шагом из (n−k −1, k) в (n−k, k) (рис. 10). Тогда количество путей из (0, 0) в (n−k, k), равное (ⁿ), совпадает с суммой количеств путей

^(0,0) (n-k,0)

(0,k)

(n-k-1,k)

(n-k,k-1)

Рисунок 10: Все пути в точку (n − k, k) складываются из двух групп

из (0, 0) в (n − k, k − 1) и из (0, 0) в (n − k − 1, k), что равно ⁽ⁿ⁻¹⁾ + ⁽ⁿ⁻¹⁾.

k−1 k

Таким образом, мы привели еще одно доказательство формулы (6).