2. Треугольник Паскаля

Утверждение 1.5.3 . Пусть k, n ∈ N и 2 ≤ k ≤ n. Тогда

_n

=

k

n − 1 ₊

k − 1

n − 1

k

. (6)

Во-первых, это равенство довольно легко доказать явно подставив выражение согласно формуле (3). Приведем другое доказательство этого факта.

Доказательство. Пусть множество S имеет вид: S = {s₁, s₂, ..., s_n}.

Определим множества A и B следующим образом:

(

A = {s_i1 , s_i2 , ..., s_ik−1 , s_n} | {s_i1 , s_i1 , ..., s_ik−1 } ∈

S \ {s_n}

S \ {s_n}

k − 1

B =

k

k

Очевидно A ∩ B = ∅. Кроме того, можно видеть, что (^S) = A ∪ B,

поскольку все k-элементные сочетания из S, содержащие s_n, находятся в

A, а все такие k-элементые сочетания, которые не содержат s_n, лежат в

2. Тогда |^(S)| = |A| + |B|. Учитывая, что по формуле (2) |^(S)| = ⁽ⁿ⁾,

k k k

|A| = ⁽ⁿ⁻¹⁾ и |B| = ⁽ⁿ⁻¹⁾, получаем искомое равенство (6).

k−1 k

D

Положим следующие естественные начальные условия для числа

сочетаний из n по k: (⁰) = 1; (ⁿ) = 1 для любых n ∈ N; (ⁿ) = 0

0 0 k

для любых k > n. Тогда, пользуясь рекурентным соотношением (6),

можно построить следующую таблицу, которую называют треугольником Паскаля:

. . . .

. . . . . ^.

n\k	0 1 2 3 4 5 6 7 ...
0 1 2 3 4 5 6 7 .	1 0 0 0 0 0 0 0 ... 1 1 0 0 0 0 0 0 ... 1 2 1 0 0 0 0 0 ... 1 3 3 1 0 0 0 0 ... 1 4 6 4 1 0 0 0 ... 1 5 10 10 5 1 0 0 ... 1 6 15 20 15 6 1 0 ... 1 7 21 35 35 21 7 1 ... . . . . . . . . . .

k

Здесь каждый элемент (ⁿ), кроме первого столбца и ниже диагонали является суммой элемента слева сверху, который соответствует (ⁿ⁻¹), и

k−1

k

верхнего - (ⁿ⁻¹).

На рисунке 8 приведен другой способ изображения треугольника Паскаля, который может оказаться более наглядным. На рисунке

k=0

n=0 n=1

₁ k=1

_{1 1} k=2

n=2

n=3

1 2

^{1 3} 3

₁ k=3

₁ k=4

n=4

n=5

1 4 6 4

1 5 10 10 5

₁ k=5

₁ k=6

n=6

1 6 15

20 15 6

₁ k=7

n=7 1

7 21 35 35 21 7 1

Рисунок 8: Треугольник Паскаля

каждый элемент, кроме крайних в каждой строке, является суммой вдух элементов, под которыми он стоит.