Конспект курса: Основы дискретной математики

Е.В. Просолупов. 29th May 2009

Содержание

1 Элементы теории множеств. Комбинаторика. 5

1.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Примеры задач. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1. Задача о расположении конвертов . . . . . . . . . . 6

2. Задача о Ханойской башне . . . . . . . . . . . . . . 11

3. Базовые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4. Правило суммы и правило произведения . . . . . . 16

1.3 Основы теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Понятие множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.2 Парадокс Рассела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3.3 Подмножества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . 20

5. Диаграммы Эйлера-Венна . . . . . . . . . . . . . . . 22

6. Прямое произведение множеств . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Бинарные отношения и функции . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.1 Бинарные отношения . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.4.2 Функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Отношение эквивалентности . . . . . . . . . . . . . 29

4. Отношение порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5. Лексикографический порядок . . . . . . . . . . . . . 35

1.5 Выборки с повторениями и без повторений . . . . . . . . . 38

1.5.1	Размещения и сочетания . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	.	.	38
1.5.2	Треугольник Паскаля . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	.	.	41

1.5.3 Связь сочетаний и (0,1)-векторов . . . . . . . . . . . 43

1.5.4	Перебор сочетаний . . . . . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	44
1.5.5	Бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	45
1.5.6	Мультимножества . . . . . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	50
1.5.7	Связь мультимножеств и (0,1)-векторов	.	.	.	.	.	.	.	53
1.5.8	Полином Ньютона . . . . . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	54
1.5.9	Разбиения множеств. . . . . . . . . . . .	.	.	.	.	.	.	.	55

1.5.10 Приложение: программа перебора сочетаний . . . . 58

1.6 Перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1. Понятие перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

2. Группа перестановок . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Циклы перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.6.4 Тип перестановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

7. Разложения и разбиения натуральных чисел . . . . . . . . 71

   1. Разложения натуральных чисел . . . . . . . . . . . 71

   2. Разбиения натуральных чисел . . . . . . . . . . . . 73

8. Принцип включения-исключения . . . . . . . . . . . . . . . 77

   1. Принцип включения-исключения . . . . . . . . . . . 77

   2. Задача о беспорядках . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

   3. Мощность объединения множеств . . . . . . . . . . 80

   4. Число целочисленных решений системы неравенств 81