27. Методи економіко-математичного моделювання світогосподарських зв’язків.

Економіко-математичний аналіз  світогосподарських явищ і процесів включає: Методи одновимірного аналізу - Кореляційний аналіз та Регресивний аналіз;  Методи багатовимірного аналізу - Факторний аналіз та Кластерний аналіз. Моделювання функціональних  і кореляційних залежностей включає: Структурно-логічну модель розрахунку ВВП; Моделювання розміреності ринкових центрів емпіричними рівняннями; Моделювання зовнішньоекономічної діяльності за допомогою математичних запозичень точних наук; Лінійна й експонентна моделі динаміки та прогнозування економічних явищ.

Основне завдання кореляційного і регресійного методів полягає в аналізі статистичних даних для виявлення метематичної залежності між досліджуваними ознаками і встановлення за допомогою коефіцієнта кореляції порівняльної оцінки щільності взаємозв’язку. Після того, як через економічний аналіз встановлено, що зв’язок між явищами є, і визначено загальний характер цього зв’язку, статистика за допомогою кореляційного і регресійного методів надає цим зв’язкам числового виразу. Кореляційний і регресій ний методи аналізу вирішують два основні завдання : визначають за допомогою рівнянь регресії аналітичного форму зв’язку між варіацією ознак X i Y, встановлюють ступінь щільності зв’язку між ознаками. Найчастіше трапляються такі типи кореляційних зв’язків: факторна ознака безпосередньо пов’язана з результативною, результативна ознака визначається комплексом діючих факторів, дві результативні ознаки спричинені дією однієї загальної причини. У практиці економіко-статистичних досліджень часто доводиться мати справу з прямолінійною формою зв’язку описує рівняння регресії ( рис.1 ). На цьому графіку середній арифметичній результативної ознаки Y відповідає пряма, паралельна осі абцис, лінійне кореляційне рівняння Y(X) зображує похила пряма, а кут нахилу між ними характеризує щільність зв’язку. Рівняння регресії характеризує зміну середнього рівня результативної ознаки Y залежно від зміни факторної ознаки X. Воно визначає математичне сподівання групових середніх результативної ознаки під впливом різних значень факторної ознаки. У разі лінійної форми зв’яку результативна ознака змінються під впливом факторної ознаки рівномірно:

Ŷ_x = a₀ +a₁ X,

Де, Ŷ_x - згладжене середнє значення результативної ознаки , X - факторна ознака, a₀ і a₁ - параметри рівняння , a₀ – значення Y при X = 0, a₁ – коефіцієнт регресії. Коефіцієнт регресії a_1, вказує на те, наскільки змінюється результативна ознака Y внаслідок зміни факторної ознаки X на одиницю. Якщо a₁ має позитивний знак, то зв’язок прямий, якщо від’ємний - зв’язок обернений.

Y X Y(X)

Y

X

0

Рис. 1. Теоретична лінія регресії

Параметри рівняння зв’язку визначають за способом найменших квадратів складеної і розв’язаної системи двох рівнянь з двома невідомими:

 Y= na₀ +a₁  X ,

 YX= a₀  X + a₁  X ²,

де n - число членів у кожному з двох порівнюваних рядів,  X - сума значень факторної ознаки ,  X ² - сума квадратів значень факторної ознаки ,  Y - сума значень результативної ознаки,  YX - cума добутків значень факторної та результативної ознак. Розв’язавши дану систему рівнянь, дістанемо такі параметри:

 X ²  Y -  X  XY n  XY -  X Y

a ₀ = , a₁ =

n X ^{2 -}  X  X ⁿ  X ^{2 -}  X  X

Обчисливши за фактичними даними всі записані вище суми й підставивши їх у наведені формули, знайдемо параметри прямої.

Кореляційний аналіз – це статистичне дослідження (стохастичної) залежності між випадковими величинами (англ. correlation – взаємозв’язок). У найпростішому випадку досліджують дві вибірки (набори даних), у загальному – багатовимірні комплекси параметрів або об’єктів. Оскільки в переважній кількості випадків функціональні залежності між досліджуваними параметрами невідомі, дуже складні та недостатньо вивчені, то статистичні методи (кореляційний аналіз) є важливими для опису та моделювання (прогнозування) багатьох процесів. Мірою залежності між експериментальними наборами даних є числа – коефіцієнти зв’язку. Найчастіше використовують парні коефіцієнти кореляції, що слугують для виявлення лінійного зв’язку між двома наборами даних. Є й інші міри зв’язку (коефіцієнти кореляції), які використовують у кореляційному аналізі. Головні завдання кореляційного аналізу: оцінка за вибірковими даними коефіцієнтів кореляції; перевірка значущості вибіркових коефіцієнтів кореляції або кореляційного відношення; оцінка близькості виявленого зв’язку до лінійного; побудова довірчого інтервалу для коефіцієнтів кореляції. Найпростіша для дослідження парна кореляція, решта побудована на її основі. Парний коефіцієнт кореляції стосується лінійної моделі зв’язку між даними, у складніших випадках досліджують нелінійну кореляцію, а мірою нелінійного зв’язку є кореляційне відношення. Якщо існує лінійний зв’язок, то він буде виявлений і як нелінійна кореляція. Навпаки, існування зв’язку взагалі не є підставою стверджувати про наявність лінійного зв’язку. Отже, нелінійна кореляція – сильніша властивість, а лінійна кореляція є частковим випадком нелінійної кореляції (або кореляції в загальному випадку).Нехай задано дві вибірки (обов’язково з однаковою кількістю даних), що відображають дві випадкові величини :

; .

Коефіцієнт парної кореляції визначають як коваріацію, нормовану за стандартними відхиленнями випадкових величин:

 

Регресійний аналіз (лінійний) — статистичний метод дослідження залежності між залежною змінною Y і однією або декількома незавісимимі змінними X1,x2...,Xp. Незалежні змінні інакше називають регрессорами або предикторами, а залежні змінні — критерійними. Термінологія залежних і незавісимих змінних відображає лише математичну залежність змінних, а не причинно-наслідкові стосунки. Цілі регресійного аналізу: Визначення наявності зв'язку між змінними і характеру цього зв'язку (тобто знаходження його математичного рівняння, що описує); Визначення ступеня детермінованої варіації критерійної (залежною) змінної пре дикторами; Передбачення значення залежній змінній за допомогою незалежної (-х); Визначення вкладу окремих незалежних змінних у варіацію залежної. Строго регресійну залежність можна визначити таким чином. Хай Y, X1,Х2...,Xp — випадкові величини із заданим спільним розподілом вірогідності. Якщо для кожного набору значень X1 = Х1,Х2 = Х2...,Xp = xp визначене умовне математичне очікування:

в(Х1,Х2...,Хp)= E(Y | X1 = Х1,2 = Х2...,Xp = Хp) (рівняння лінійної регресії в спільному вигляді),

то функція в(Х1,Х2...,Хp) називається регресією величини Y по величинах X1,Х2...,Xp, а її графік — лінією регресії Y по X1,Х2...,Xp, або рівнянням регресії. Залежність Y від X1,Х2...,Xp виявляється в зміні середніх значень Y при зміні X1,Х2...,Xp. Хоча при кожному фіксованому наборі значень X1 = Х1,Х2 = Х2...,Xp = Хp величина Y залишається випадковою величиною з певним розсіянням. Для з'ясування питання наскільки точно регресійний аналіз оцінює зміна Y при зміні X1,Х2...,Xp, використовується середня величина дисперсії Y при різних наборах значень X1,Х 2...,Xp (фактично мова йде про мірі розсіювання залежної змінної навколо лінії регресії).

Серед методів багатовимірної статистики найуживанішими є методи факторного та кластерного аналізу. Суть факторного аналізу полягає в тому, що групу сильно скорельованих ознак можна пояснити та описати невеликою кількістю прихованих (латентних) факторів, які безпосередньо не спостерігаються, але визначають значення ознак цієї групи. Факторний аналіз дає змогу виявити ці латентні фактори, описати залежність між факторами та первинними ознаками, обчислити значення всіх побудованих таким чином факторів для кожного об'єкта. В результаті виникає можливість без значних втрат інформації перейти від аналізу в термінах великої кількості первинних ознак до аналізу в термінах порівняно невеликої кількості факторів. Отже, факторний аналіз — один із видів комплексного аналізу господарської діяльності, пов’язаний з пошуком і класифікацією факторів, що впливають на економічні явища і процеси, з виявленням причинно-наслідкових зв’язків, що впливають на зміну конкретних показників господарської діяльності. Причому факторний аналіз може бути як прямим (власне аналіз), тобто роздроблення результативного показника на складові частини, так і зворотним (синтез), коли його окремі елементи з'єднують у загальний результативний показник. Алгоритми кластерного аналізу дають змогу поділити сукупність об'єктів на однорідні за певним формальним критерієм подібності групи (кластери). Основною властивістю цих груп є те, що об'єкти, які належать одному кластеру, більш подібні між собою, ніж об'єкти з різних кластерів. Таку класифікацію можна виконувати одночасно за досить великою кількістю ознак.