6.4. Модель цены акции
В финансовой теории принята концепция случайного блуждания финансового актива:
доходность актива изменяется случайным образом,
не зависит от предыдущих изменений,
не оказывает влияние на последующие доходности.
Допустим, что по историческим данным найдена средняя годовая доходность и годовая волатильность
.
Значения средней доходности и волатильности за t дней будут равны
,
.
Здесь
введено обозначение
.
Допустим, что фактическая доходность за t дней является нормально распределенной случайной величиной с математическим ожиданием и стандартным отклонением , т.е.
Здесь
обозначает нормально распределенную
величину с математическим ожиданием 0
и стандартным отклонением 1. Следовательно,
фактическая доходность состоит из
средней доходности
и случайного отклонения фактической доходности от средней доходности
i
(6.4.1)
Из формулы (6.4.1) следует, что цены акции образуют последовательность случайных величин
(6.4.2)
Формула (6.4.2) отражает теорию эффективного рынка, согласно которой в каждый момент времени в цене актива уже нашла отражение вся прошлая информация. Это означает, что для прогнозирования цены акции имеет значение только ее текущее значение, а прошлые значения цены можно использовать для определения средней доходности и волатильности.
Пример 6.4.1
Пусть
годовая доходность и годовая волатильность
=0,14,
σ
= 0,2, и в начальный момент цена акции S0
= 20.
Смоделируем
ежедневные цены акции в течение 25 дней
(табл. 6.4.1). Величина t = 1,
.
Таблица 6.4.1
Дни |
ξi |
Si |
Дни |
ξi |
Si |
1 |
|
20 |
14 |
0,303629 |
17,89816 |
2 |
0,004151 |
19,34343 |
15 |
0,157201 |
17,68042 |
3 |
0,076022 |
19,0038 |
16 |
0,944304 |
18,04635 |
4 |
0,003265 |
18,36064 |
17 |
0,359355 |
17,97424 |
5 |
0,104984 |
18,07977 |
18 |
0,825587 |
18,19731 |
6 |
0,713523 |
18,21881 |
19 |
0,67098 |
18,30938 |
7 |
0,955077 |
18,6199 |
20 |
0,767541 |
18,48888 |
8 |
0,104831 |
18,33486 |
21 |
0,985504 |
19,0099 |
9 |
0,305277 |
18,22702 |
22 |
0,091342 |
18,70013 |
10 |
0,435743 |
18,19993 |
23 |
0,146458 |
18,46182 |
11 |
0,30549 |
18,09302 |
24 |
0,407361 |
18,41743 |
12 |
0,043214 |
17,71076 |
25 |
0,212653 |
18,24202 |
13 |
0,897916 |
18,00513 |
26 |
0,932737 |
18,59754 |
Во втором столбце расположены значения нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1, которые определяют случайную часть цены акции. В третьем столбце вычислены цены акции по формуле
.
Ниже (рис. 6.4.1) графически показана динамика цены акции.
Рис. 6.4.1
Из графика цены акции видно, что первые пять дней наблюдается убывающий тренд, затем следует боковой, возрастающий и убывающий тренды.