8.5. Вопросы для самоподготовки к лабораторной работе № 7

1. Система независимых регрессионных уравнений. Ее формальная запись. Метод ее решения.

2. Система рекурсивных регрессионных уравнений. Ее формальная запись. Метод ее решения.

3. Система одновременных уравнений. Ее формальная запись.

4. Вид структурной формы модели одновременных регрессионных уравнений. Эндогенные и экзогенные переменные.

5. Приведенная форма модели одновременных регрессионных уравнений. Причины, вызывающие необходимость построения приведенной формы модели.

6. Примеры практической постановки задач систем одновременных уравнений: модель 1 спроса и предложения; модель 2 – кейнсианская модель спроса и предложения. Эндогенные лаговые переменные.

7. Идентификация переменных. Предопределенные переменные системы одновременных уравнений.

8. Классы структурной модели относительно идентифицируемости регрессионных уравнений.

9. Необходимое и достаточное условие идентифицируемости уравнений структурной формы модели. Показать на примере.

10. Алгоритм косвенного метода решения систем одновременных уравнений.

11. Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов для решения систем одновременных регрессионных уравнений.

9. Лабораторная работа № 8. Статистический анализ рядов динамики.

9.1. Теоретические замечания.

Определение. Временной ряд – это набор чисел, привязанных к последовательным, обычно равноотстоящим моментам времени. Временной ряд – это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов.

Числа, составляющие временной ряд и полученные в результате наблюдения за ходом какого-либо процесса, называются уровнями (или элементами) ряда.

Длиной временного ряда называют количество входящих в него уровней.

Временной ряд обычно обозначают или , где .

В моделях временного ряда выделяют две основные составляющие:

детерминированную (систематическую);

случайную.

Определение. Детерминированной составляющей временного ряда называют числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определённому правилу как функция времени .

Исключив детерминированную составляющую из данных, получим колеблющийся вокруг нуля ряд, который может представлять или случайные скачки, или плавное колебательное движение, так называемую остаточную компоненту.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты: тренд; сезонную; циклическую.

В общем случае каждый уровень временного ряда можно представить как функцию четырёх компонент: , , , , отражающих закономерность и случайность развития, где

– тренд (долговременная тенденция) развития;

– сезонная компонента;

– циклическая компонента;

– остаточная компонента.

Определение. Тренд, или тенденция , представляет собой устойчивую закономерность, наблюдаемую в течение длительного периода времени. Он описывается с помощью некоторой неслучайной функции , где – время.

Определение. Сезонная компонента описывает регулярные колебания, которые носят заранее известный периодический или близкий к нему характер и заканчиваются в течение периода наблюдения (года, квартала, месяца).

Определение. Циклическая компонента – неслучайная функция, описывающая длительные периоды (более одного года) относительного подъема и спада, состоящая из циклов переменной длительности и амплитуды (вековые циклы, экономические циклы Кондратьева и так далее).

Определение. Случайная компонента – это составная часть временного ряда, оставшаяся после выделения систематических компонент. Она отражает воздействие многочисленных факторов случайного характера.

В зависимости от вида связи между перечисленными компонентами может быть построена либо аддитивная модель временного ряда

, (9.1)

либо мультипликативная модель

. (9.2)

Не всегда предполагается участие всех четырёх компонент, но случайная составляющая рассматривается всегда.

Основной целью исследования временных рядов является составление прогноза.

Предварительный анализ временных рядов и экономических показателей заключается в выявлении аномальных значений уровней ряда, которые не соответствуют реальным возможностям рассматриваемой экономической системы, а также определению наличия тренда.

Наиболее распространённым приемом для устранения аномальных значений показателя является сглаживание временного ряда. При этом производится замена фактических уровней временного ряда расчётными, что способствует более чёткому проявлению тенденции.

Существующие методы сглаживания делятся на две группы.

Аналитические методы. Для сглаживания используется кривая, проведенная относительно фактических значений ряда так, чтобы она отражала тенденцию, присущую ряду и одновременно освобождала его от мелких незначительных колебаний. Такие кривые называются кривыми роста, применяемые главным образом для прогнозирования экономических показателей.

Методы механического сглаживания. Сглаживается каждый отдельный уровень ряда с использованием фактических значений соседних с ним уровней.

Для сглаживания временных рядов используются разные методы.

Метод простой скользящей средней состоит в следующем. Определяется количество наблюдений , входящих в интервал сглаживания. При этом, если необходимо сгладить мелкие беспорядочные колебания, то интервал сглаживания берут по возможности большим. Если нужно сохранить более мелкие волны, но освободиться от периодических, повторяющихся колебаний, то интервал сглаживания уменьшают. Если нечётное число, то сглаживание производится по формуле

, (9.3)

где – сглаженный уровень , – количество наблюдений, входящих в интервал сглаживания, – количество наблюдений, стоящих по разные стороны от сглаживаемого. При применении этой формулы несглаженными остаются первые и последние уровней ряда. Чтобы сгладить последние уровни ряда используют следующую формулу скользящей средней

. (9.4)

Экспоненциальное сглаживание определяется формулой

, (9.5)

где , сглаженные уровни ряда. Наиболее часто выбирают . параметр сглаживания, имеет название коэффициента дисконтирования или фактора затухания.

При использовании экспоненциального сглаживания возникает проблема выбора и . Формула также может изменятся. В компьютерной программе Excel, экспоненциальное сглаживание используется

, , (9.6)

При использовании компьютерных программ надо просматривать формулы, которые в них используются.

Адаптивные модели прогнозирования – это модели дисконтирования данных, способные быстро приспосабливать свою структуру и параметры к изменению условий. При оценке параметров адаптивных моделей наблюдениям присваиваются различные веса в зависимости от того, насколько сильным признаётся их влияние на текущий уровень. Это позволяет учитывать изменения в тенденции, а также любые колебания, в которых прослеживается закономерность. К адаптивным моделям относится метод Брауна. Метод Брауна представляет процесс развития как линейную тенденцию с постоянно изменяющимися параметрами. Метод Брауна применяется при прогнозировании макро- и микроэкономических параметров экономических систем, в том числе торговых. Он позволяет получить хороший прогноз тренда для коротких рядов с постоянным трендом, достаточно часто используется для прогноза продаж различных пищевых продуктов.

Под сезонными колебаниями понимают регулярные, периодические внутригодовые, внутриквартальные, внутримесячные подъёмы и спады производства, деловой активности, грузооборота, товарооборота и прочего, в основном связанного со сменой времён года.

Определение. Временной ряд, в котором наблюдаются тренд и сезонные колебания, называется тренд-сезонным временным рядом.

Сезонность отрицательно влияет на экономические процессы, поэтому её необходимо уметь измерять, анализировать и учитывать в строящихся моделях.

Для исследования и прогнозирования тренд-сезонных экономических процессов независимо от причин, порождающих сезонные колебания, необходимо решать следующие задачи:

определять наличие во временном ряде тренда;

выявлять присутствие во временном ряде сезонных колебаний;

осуществлять фильтрацию временного ряда, то есть разделять ряд на составляющие его компоненты: тренд, сезонную и случайную компоненты;

анализировать динамку сезонной волны, то есть выявлять изменяется ли со временем ее амплитуда, и происходит ли перемещение точек экстремума сезонной волны;

составлять прогноз тренд-сезонного экономического процесса.

Порядок решения перечисленных задач, их состав, может изменяться в зависимости от цели исследования, методов решения, используемых пакетов прикладных программ и других факторов.

Решение задачи определения наличия во временном ряде тренда можно осуществить или визуально, путём нанесения на график соответствующего исходного временного ряда, или аналитическими методами.

При использовании визуального метода необходимо последовательно нанести на график все уровни тренд - сезонного временного ряда, либо для каждого года строить отдельную кривую, причём кривые, соответствующие каждому году, будут располагаться друг над другом.

Степень тесноты статистической связи между уровнями временного ряда, сдвинутыми на единиц времени, определяется величиной коэффициента корреляции . Так как измеряет тесноту связи между уровнями одного и того же временного ряда, то его принято называть коэффициентом автокорреляции. При этом – длину временного смещения – называют обычно лагом.

Коэффициент автокорреляции вычисляют по формуле

. (9.7)

Это формула вычисления коэффициента корреляции

. (9.8)

Массивы с лагом выбираются по схеме

(9.9)

Порядок коэффициентов автокорреляции определяется временным лагом первого порядка (при ), второго порядка (при ) и т.д.

Последовательность коэффициентов автокорреляции уровней первого, второго и последующих порядков называют автокорреляционной функцией. Значения автокорреляционной функции могут колебаться от -1 до +1. График автокорреляционной функции называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции и коррелограммы позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, т.е. при помощи анализа автокорреляционной функции и коррелограммы можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции первого порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию.

Если наиболее высоким окажется коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени.

Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, то можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и сезонных колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительные исследования.

Поэтому коэффициент автокорреляции уровней и автокорреляционную функцию целесообразно использовать для выявления во временном ряде наличия или отсутствия трендовой компоненты и сезонной компоненты .

Замечание. Временной ряд нельзя исследовать как регрессионную модель методом наименьших квадратов. В регрессионной модели считается, что значение объясняемой переменой получается, как мгновенная реакция на изменение объясняющей переменной. Во временных рядах значение объясняемой переменной получается, как правило, с опозданием на некоторое время, которое называется лагом. Существенным является и то, что кроме тенденции временные ряды имеют и сезонные колебания. Если же описывать временной ряд регрессионной моделью, то вместе с ошибками мы погасим и колебания.

Рассмотрим примеры выполнения заданий лабораторной работы № 8.

9.2. Методы сглаживания временных рядов. Собраны сведения о потреблении электроэнергии жильцами 107-го дома по ул. Партизанской г. Донецк (кВт/час), y_t за три года (январь 2009 г - декабрь 2011 г). Данные внесены в табл. 9.1.

Задание 1

1. Сгладить ряд с помощью скользящей средней.

2. Сгладить ряд с помощью экспоненциального сглаживания.

3. Сделать прогноз потреблении электроэнергии на январь 2012 г.

Таблица 9.1