7.7. Симплексный метод Общие положения

Симплексный метод — это универсальный метод линейного про­граммирования, в котором осуществляется направленное движение по базисным планам до нахождения оптимального решения. При рас­смотрении этого метода важно не только установить последователь­ность действий при решении оптимизационных линейных моделей, но и определить системный подход, позволяющий анализировать лю­бую конкретную модель.

Когда рассматриваемая модель содержит т уравнений ограниче­ний, вычислительная процедура симплексного метода заключается в следующем:

Шаг 1. Выберем т переменных, задающих допустимое пробное реше­ние. Исключим эти переменные из выражения для целевой функции.

Шаг 2. Проверим, нельзя ли за счет одной из переменных, прирав­ненных вначале к нулю, улучшить значение целевой функции, прида­вая ей отличные от нуля (причем только положительные) значения. Если это возможно, перейдем к шагу 3. В противном случае прекратим

вычисления.

Шаг 3. Найдем предельное значение переменной, за счет которой можно улучшить значение целевой функции. Увеличение значения этой переменной допустимо до тех пор, пока одна из т переменных, во­шедших в пробное решение, не обратится в нуль. Исключим из выра­жения для целевой функции только что упомянутую переменную и введем в пробное решение ту переменную, за счет которой резуль­тат может быть улучшен.

Шаг 4. Разрешим систему т уравнений относительно переменных, вошедших в новое пробное решение. Исключим эти переменные из выражения для целевой функции. Вернемся к шагу 2.

Симплексная вычислительная процедура формальна, и ее исполь­зование не обязательно должно связываться с конкретным содержа­нием задачи. Ниже приведено несколько типичных задач, решаемых симплексным методом.

Задача 7.9. Корма трех видов В₁, В₂, В₃ содержат определенное количество питательных веществ А₁, А₂, А₃. Цены, по которым поку­паются эти корма, различны. Требуется составить кормовой рацион, состоящий из указанных кормов, так, чтобы в нем было не менее заданных количеств питательных веществ и чтобы он был самым де­шевым.

258

Задача 7.10. Есть три вида станков: А₁, А₂, А₃. На этих станках пос­ледовательно обрабатываются детали четырех видов: В₁, В₂, В₃, В₄. Известно сколько часов каждая деталь изготавливается на каждом станке, сколько времени может проработать каждый станок и какая прибыль может быть получена от продажи детали каждого типа. Требуется найти оптимальный план работы станков, чтобы получить максимальную прибыль.

Задача 7.11. Имеются автомобили трех типов А₁, А₂, А₃, работающие на перевозке однородного груза у трех потребителей В₁, В₂, В₃. Изве­стна производительность каждого автомобиля у каждого потребите­ля и себестоимость использования автомобиля. Требуется так закре­пить автомобили за потребителями, чтобы была наименьшая себес­тоимость (максимальная производительность) и др.

Вычислительная процедура симплексного метода

Чтобы получить представление о сущности симплексного метода, рассмотрим следующую задачу.

Задача 7.12. В авторемонтном предприятии, выпускающем нео­днородную продукцию, руководитель стремится определить, какими должны быть уровни производства для каждого узла и агрегата в те­чение некоторого наперед заданного периода. Эти уровни ограниче­ны технологическими и другими «внутренними» для данного пред­приятия условиями, приведенными в табл. 35.

В рамках этих ограничений руководство данного предприятия пы­тается оптимизировать целевую функцию.

Таблица 35 Технологические условия производства продукции

Показатели	Количество на единицу продукции для технологических процессов				Имеется в наличии всего
	№ 1	№2	№3	№4
Трудовые ресурсы Материал типа А Материал гипа В Доход с единицы продукции Объем выпускаемой продукции	1 7 3 4 Х1	1 5 5 5 Х2	1 3 10 9 Х3	1 2 15 11 Х4	max -

259

В китом случае целью является получение максимальной прибы­ ли, т. е. максимизировать Z= 4X₁ + 5X₂ + 9X₃ + 11 X₄ → max (7.53)

при ограничениях (7.54)

Обозначим через Х₀ значение целевой функции и введем в рас­смотрение свободные переменные. В результате получим следующую систему уравнений:

(7.55)

где все переменные могут принимать лишь неотрицательные значения. Введение в рассмотрение переменной Х₀ позволяет записать выра­жение для целевой функции в виде уравнения.

Задача шага 1 заключается в том, чтобы выбрать первоначальное допустимое решение системы уравнений (7.55). Существует множе­ство таких решений, однако удобнее всего начать с Х₀ = 0, Х₅ = 15, Х₆ = 120, Х₇ = 100 при нулевых значениях остальных переменных. Другими словами, строится первое пробное решение с помощью только свободных переменных. Назовем его исходным базисным ре­шением, а переменные Х₀, Х₅, Х₆, Х₇ — базисными переменными или сокращенно оазисом. Остальные переменные логично назвать внебазисными (небазисными) переменными.

Так как под Х₀ понимается в задаче прибыль, то предложенное проб­ное решение является не очень выгодным. Но его можно улучшить. Обра­тим внимание на коэффициенты при тех переменных, которые фигури­руют в строке 0 и которые в предложенном выше пробном варианте не являются базисными (т. е. на коэффициенты при Х₁,Х₂, Х₃, Х₄). Каждый коэффициент в этой строке определяет величину положительного при­ращения Х₀, при увеличении значения соответствующей переменной на единицу. Таким образом, каждый коэффициент в строке 0 опре­деляет положительное (если перед ним стоит знак минус) или отри­цательное (если перед ним стоит знак плюс) приращение Х₀ при увеличении на единицу соответствующей небазисной переменной.

260

Шаг 2 симплексного метода устанавливает правило, позволяю­щее определить, какие переменные должны войти в очередной проб­ный базис.

Правило 1 (максимизация). Если в строке 0 имеются небазисные переменные, коэффициенты при которых отрицательны, следует выб­рать переменную (обозначим ее через Х_j) с наибольшим абсолют­ным значением стоящего перед ней коэффициента, т. е. ту перемен­ную, которая обеспечивает наибольшее удельное приращение значе­ния целевой функции. В случае когда все небазисные переменные строки 0 имеют положительные или нулевые коэффициенты, опти­мальное решение можно считать полученным.

В соответствии с правилом 1 в базис следует ввести переменную Х₄, так как каждое единичное приращение Х₄ приводит к увеличению значения Х₀ на 11. Увеличение значения Х₄ возможно лишь за счет уменьшения значений базисных переменных в каждой строке, со­держащей Х₄ с положительным коэффициентом. Так. например, при увеличении Х₄ на единицу

значение Х₅ должно быть уменьшено на 1, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 1:

значение Х₂ должно быть уменьшено на 2, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 2;

значение Х₇ должно быть уменьшено на 15, чтобы удовлетворялось ограничение, приведенное в строке 3.

Сколь велико должно быть значение Х₄ чтобы значение одной из выбранных вначале базисных переменных достигло своей нижней гра­ницы, т. е. нуля. Такой предел для Х₄ равняется 100/15 = 6,67, при Х₇= 0. Следовательно, в базис нужно включить Х₄ исключив из него Х₇.

Обобщая вышеизложенное, сформулируем следующее правило для шага 3 . Правило 2:

а) рассмотрим отношения чисел, стоящих в правых частях огра­ничений (7.55), к соответствующим коэффициентам при новой базисной переменной Х_j (не обращая внимание на отношения, в которых знаменатель равен нулю или представляет собой отрица­тельное число);

б) выберем отношение с наименьшим значением — в очередном пробном решении Х_j приравнивается именно этому значению. Пусть наименьшее из всех отношении правых частей (7.55) к соответству­ющим коэффициентам при Х_j соответствует переменной Х_k, входив­ шей в предыдущее решение; тогда в очередном пробном решении следует положить Х_k= 0.

Результаты вычислений приведены в табл. 36.

261

Таблица 36