7.3. Метод потенциалов

Метод потенциалов линейного программирования применяется при решении задач, связанных с распределением на транспортной сети грузопотоков: закрепление потребителей грузов за поставщиками, рас­пределение парка подвижного состава по автотранспортным пред­приятиям, закрепление маршрутов работы подвижного состава за ав­тотранспортными предприятиями и другие задачи. Задача закрепле­ния потребителей за поставщиками получила название классической транспортной задачи. Решение такой задачи сводится к выбору транс­портных маршрутов, по которым продукция различных предприя­тий перевозится на несколько конечных пунктов назначения.

Математическая модель классической транспортной задачи в общем виде записывается в следующей форме: минимизировать

(7.28)

при ограничениях

(7.30)

(7.29)

226

227

для всех i и j, (7.31)

где m — число поставщиков; n — число потребителей; х_ij — объем перевозок между i и j пунктами; S_i — ограничения по предложению; D_j — ограничения по спросу; a_ij — расстояние от пункта i до пункта j. Условия задачи можно представить следующим образом. Каждый поставщик должен дать потребителям столько продукции, сколько у него есть. т. е.

(7.32)

Каждый потребитель должен получить столько, сколько ему требуется, т. е.

(7.33)

Необходимо найти такой вариант плана перевозок, чтобы транс­портная работа была минимальна, т.е.

(7.34)

Запись и решение транспортной задачи методом потенциалов вы­полняется в таблично-матричной форме. Совокупность всех элементов матрицы х называется планом перевозок или распределением поставок. Элементы матрицы называются показателями критерия оптимальности.

В каждой конкретной Транспортной задаче можно найти бесчис­ленное множество вариантов плана перевозок. План перевозок счита­ется допустимым, если все возможности поставщиков используются, а спрос всех потребителей удовлетворяется. Такая модель транспор­тной задачи называется скрытой в силу сбалансированности спроса и предложения. Транспортная задача, в которой спрос не равен пред­ложению, называется открытой моделью.

Е сли допустимый план удовлетворяет условию (7.34), то он яв­ляется оптимальным. В условии (7.34) сформулирована цель задачи или ее целевая функция. При решении транспортной задачи в каче­стве целевой функции могут приниматься следующие показатели: минимум тонно-километрового пробега, минимум провозных плат, минимум эксплуатационных расходов, минимум тонно-часов транспортирования и др.

Критерий «минимум тонно-километрового пробега» (показатель критерия - расстояние) наиболее прост для применения и опреде­ления. К его недостаткам следует отнести то. что при одинаковом

228

расстоянии транспортирования могут быть различные затраты (дви­жение подвижного состава по различным дорожным покрытиям, перевозки по дорогам с различной интенсивностью движения и т. д.).

Критерий «минимум провозных плат» (показатель критерия — тарифы) применяется для получения схемы грузопотоков, обеспе­чивающей минимальные затраты грузоотправителей. К недостаткам этого критерия следует отнести то, что тарифы не обладают свой­ством аддитивности, т. е. суммы тарифных плат от пункта А до пункт Б и от пункта Б до пункта В не идентичны тарифу от пункта А до пункта В. Это не дает возможности использовать тарифы в качестве критерия оптимальности при сетевой постановке задачи, а также при использовании машинных методов составления матриц.

Критерий «минимум эксплуатационных расходов на транспорти­рование грузов» (показатель критерия — себестоимость транспорти­рования) отражает затраты автотранспортного предприятия, осуще­ствляющего выполнение перевозок. Этот критерий может также ис­пользоваться при распределении перевозок между различными видами транспорта. Его недостатками являются: себестоимость транс­портирования рассчитывается на обезличенный груз и не учитывает затрат, возникающих при перевозке отдельных видов специальных грузов; не учитывает изменение затрат на погрузочно-разгрузочные работы при использовании различных видов подвижного состава; сложность расчета себестоимости транспортирования по отдельным участкам дорожной сети.

Критерий «минимум тонно-часов транспортирования груза» (по­казатель критерия — время транспортирования) может применяться при перевозке скоропортящихся грузов, овощей, живности и другой Продукции. К его недостаткам относится то, что он не учитывает зат­рат, связанных с транспортированием груза.

Линейные уравнения, описывающие условия транспортной чи. отражают пропорциональные зависимости. Наличие линейных за­висимостей - обязательное условие применения методов линейного программирования. Однако для транспортной задачи это требование условно. Например, затраты на транспортирование грузов не прямопропорциональны расстояниям транспортирования, однако они исполь­зуются в качестве показателей целевой функции.

Чтобы задача имела допустимое решение, требуется, чтобы общие ресурсы поставщиков были не меньше общего спроса потребителей, а также естественным представляется и требование неотрицательности объема поставок и спроса, т. е.

229

Рассмотрим применение метода потенциалов на следующем при­мере:

Задача 7.5. Из трех грузообразующих пунктов А₁, А₂, А₃ необходи­мо перевезти однородный груз четырем потребителям В₁, В₂, В₃, В₄. Количество груза в пункте А₁ = 300 т, в пункте А₂ = 500 т, А₃ = 800 т. Спрос потребителей на данный груз составляет: В₁ = 200 т, В₂ = 350 т, В₃= 650 т, В₄ = 400 т. Расстояния между грузоотправителями и грузополучателями приведены в табл. 19. Необходимо так закрепить потребите­лей груза за грузополучателями, чтобы общая транспортная работа была минимальной (показатель критерия оптимальности — расстояние).

Таблица 19

Расстояние между грузообразуюнщими и грузопотребляющими пунктами

Грузообразующие пункты	Грузопоглощающие пункты (потребители)
	В1	В2	В3	В4
А1 А2 Аз	11 5 3	Расстояние, км		5 8 9
		7	9
		13	7
		12	5

Для решения задачи обозначим через х количество тонн груза, которое должно быть перевезено от i-поставщика j-потребителю. Тогда математическая модель задачи выразится системой уравнений (7.35), а целевая функция, представляющая собой сумму произведений рас­стояний на соответствующий объем перевозок груза в тоннах, урав­нением (7.36).

(7.35)

Минимизировать

(11Х₁₁ + 7Х₁₂ +9Х₁₃ +5Х₁₄+5Х₂₁ + 13Х₂₂+7Х₂₃ +

+ 8 Х₂₄ + 3 Х ₃₁ +12X₃₂ +5X₃₃ +9Х₃₄). (7.36)

230

Полученная система уравнений (7.35) является линейно зависи­мой, так как любое ее уравнение можно представить в виде линейной комбинации остальных уравнений. Действительно, если из суммы урав­нений 1, 2, 3 вычесть сумму уравнений 4, 5, 6, то получим уравнение 7 и т. д. Число линейно независимых уравнений должно быть меньше на одно общего числа уравнений в системе, т. е. базис системы должен быть равен количеству уравнений в системе ограничений за вычетом единицы. Так как общее число уравнений в системе определяется сум­мой поставщиков и потребителей, то в базисе должно быть уравнений

т + п - 1, (7.37)

где т — число поставщиков;

п — число потребителей.

Для решения транспортной задачи методом потенциалов состав­ляется базисный план, который заносится в таблицу, называемую матрицей распределительного метода.

Матрица - прямоугольная таблица чисел, состоящая из т строк и/у столбцов, в которой на пересечении строк и столбцов, обычно в правых верхних углах, указывается расстояние между данным по­ставщиком и потребителем (в общем случае указывается показатель целевой функции).

К базисному плану предъявляются следующие требования: он должен быть допустимым, содержать т + п — 1 загруженных клеток, чтобы загруженные клетки были расположены в порядке вычерки­ваемой комбинации. Для сокращения числа итераций при последу­ющем решении желательно, чтобы базисный план был возможно ближе к оптимальному.

Напомним, Что план считается допустимым, если все возможнос­ти поставщиков используются, а спрос всех потребителей удовлет­воряется. Однако для решения транспортной задачи методом потен­циалов (или любым другим методом линейного программирования) необходимо, чтобы матрица имела определенное число загружен­ных клеток и чтобы загруженные клетки были расположены в по­рядке вычеркиваемой комбинации.

Число неизвестных х в задаче равно произведению числа арок т на число столбцов п. Максимальное число уравнений, которое мож­но получить при решении транспортной задачи, определяется сум­мой поставщиков и потребителей, т. е. т + п. В этом случае, как показано выше, система уравнений является линейно зависимой. Для решения транспортной задачи базис системы должен содержать т + n - 1 уравнений, а следовательно, в матрице должно быть т + п - 1 Загруженных клеток.

231

Условие вычеркиваемом комбинации загруженных клеток озна­чает, что если, последовательно проходя по строкам и столбцам мат­рицы, можно вычеркнуть все загружаемые клетки, то их комбинация считается вычеркиваемой. При этом загруженная клетка вычеркивает­ся, если она единственная в своей строке или своем столбце.

Самый простой способ составления базисного плана — это пак на­зываемый способ северо-западного угла. Сущность этого способа зак­лючается в следующем. Распределение груза по потребителям начина­ется с клетки А₁-В₁, (табл. 20). Если предложение больше спроса, то следующая цифра ставится в клетке A₁-В₂ и т. п.

Клетки таблицы, в которых отмечено количество груза, перевози­мого от грузоотправителя к данному грузополучателю, называются загруженными. Остальные клетки — незагруженными. Способ северо-западного угла является плохим способом составления базисного пла­на, так как в большинстве случаев дает базисный план, очень далекий от оптимального. Положительная сторона его заключается в том. что он очень прост и обеспечивает получение т + п — I загруженных клеток.

При полученном базисном плане закрепления поставщиков за по­требителями (табл. 20). транспортная работа составит

200 • 11 + 100 • 7 + 250 • 13 + 250 • 7 + 400 • 5 + 400 • 9 = 13500 т • км.

Несколько лучшими способами составления базисного плана яв­ляются способы наименьшего элемента по столбцу или наименьшего элемента по строке. При составлении базисного плана способом наи­меньшего элемент по столбцу поочередно в столбцах матрицы отме­чаются клетки с минимальным значением a_ij и в них заносятся по­ставки. Если при записи поставок спрос по столбцу удовлетворен не полностью, шлется следующий по величине показатель a_ij и так до

Таблица 20