7.2. Графоаналитический метод

Чтобы понять основные свойства линейных моделей и из чего складывается процесс получения решения задач линейного програм­мирования, рассмотрим геометрическую интерпретацию линейного Программирования, получившего название графоаналитического ме­тода. Необходимо учитывать, что графоаналитический метод может быть использован только в том случае, если задача содержит два, мак­симум три неизвестных. В последнем случае приходится пользовать­ся пространственной моделью. Несмотря на простоту решения задач этим методом, его применение при разработке технологических про­цессов весьма ограничено.

Сущность графоаналитического метода рассмотрим па решении следующей задачи:

максимизировать функцию 10Х₁ + 13Х₂ (7.11)

п ри наличии ограничении

(7.12)

(7.13)

(7.14)

Решение задачи может быть найдено графически, как показано на рис. 39. Ограничения (7.12) и (7.13) на рис. 39 изображены прямыми линиями как уравнения, полученные заменой неравенств на равенства. Площадь под каждой из двух прямых эквивалентна математической

221

формулировке, имеющей направленный смысл «меньше, чем» (<). Так как Х₁ и Х₂ не могут принимать отрицательных значений, об­ласть допустимых значений переменных ограничивается осями ко­ординат. Таким образом, многоугольник ОАВС содержит в себе об­ласть значений Х₁ и Х₂ удовлетворяющих всем имеющимся ограни­чениям. Множество точек, принадлежащих области, ограниченной линиями ОАВС (вместе с граничными точками), называется мно­жеством решений. Это множество является выпуклым, т. е. любой отрезок, соединяющий две произвольным образом выбранные точ­ки данного множества, лежит внутри или проходит вдоль границы ОАВС. Вершины О, А, В, С носят название экстремальных точек. Они не могут принадлежать внутренней части ни одного из отрезков, соединяющих две различные точки рассматриваемого множества.

Параллельные прямые на рис. 39 являются графическим изобра­жением различных значений целевой функции, которую можно за­писать как

Z₀ = P₁X₁ + P₂X₂ (7.15)

Изменяя степень достижения цели Z₀, получаем на рис. 39 семей­ство параллельных изолированных прямых, уравнение которых

X₂= Z₀ / P₂-( P₁ / P₂) X₁ (7.16)

Из уравнения (7.16) следует, что чем выше степень достижения цели, тем выше располагается соответствующая изоцелевая прямая. Оптимальное решение определяется экстремальной точкой В, для которой X₁ = 0,95, Х₂= 1,8, 10 X₁ + 13Х₂ =32,9.

Если в формуле для целевой функции (7.11) изменить коэффи­циенты при переменных (при этом угол наклона параллельных ли­ний по отношению к оси абсцисс также будет другим), то в резуль­тате точка, задающая оптимальное решение, может перемещаться. Если при наличии ограничений (7.12), (7.13), (7.14) целевая функ­ция будет иметь вид

Z₀ = 4X₁ + 14X₂ (7.17)

то в этом случае все точки, лежащие на отрезке АВ, будут являться оптимальными (рис. 40). Решение X₁ = 0,95, Х₂= 1,8 будет оптималь­ным. Однако оптимальным будет и решение X₁ = 0, Х₂= 2. Опти­мальное значение целевой функции будет равно 28,0.

Проведенный анализ показывает, что решение задачи дается ко­ординатами вершин выпуклой области допустимых решений. Если решение задается координатами двух вершин, то оно дается коорди­натами всего отрезка, соединяющего эти вершины.

222

Изменение целевой оптимизирующей функции в определенных пределах не приводит к изменению решения задачи.

В случае, когда в задаче имеются три переменные величины и три уравнения ограничений, например, максимизировать

A₁X₁ + A₂ X₂ +A₃X₃ = Z₀ (7.18)

при наличии ограничений

(7.19)

(7.20)

(7.21)

то приходится пользоваться пространственной моделью.

Когда ограничения являются уравнениями, то каждое из них можно считать уравнением плоскости, лежащей в трехмерном пространстве, и точка, общая этим трем плоскостям, есть единственная точка, пред­ставляющая собой допустимое решение (рис. 41, а). Если ограничения

223

являются неравенствами, то область оптимальных решений образу­ют точки некоторого выпуклого многогранника, расположенного в первом октанте. Придавая переменной Z₀, формула (7.18), различ­ные значения, получим семейство параллельных изоцелевых плос­костей (см. рис. 41, а), причем большим значениям Z₀ будут соответ­ствовать плоскости, расположенные дальше от начала координат. Решение задачи дается координатами одной из вершин выпуклого многогранника допустимых решений.

Если вместо трех уравнений ограничений имеется лишь два, до­пустим, уравнения (7.19) и (7.20), то в этом случае областью допус­тимых решений окажется линия пересечения плоскостей, являющих­ся изображениями уравнений ограничений (рис. 41, б). При одном уравнении ограничений областью допустимых решений будет яв­ляться треугольник, образованный линиями пересечения плоскости, изображающей это уравнение, с плоскостями координат (рис. 41, в).

В случае, когда необходимо получить не максимум, а минимум функции, то многоугольник будет вогнутым.

Особенности решения задач графоаналитическим методом рас­смотрим на следующих примерах.

З адача 7.3. От поставщика А груз перевозится автомобилями КамАЗ-5320 двум потребителям В₁ и В₂ на расстояние 15 и 25 км соответственно. При перевозке груза потребителю В₁, на одну ездку затрачивается 1,23 ч, а потребителю В₂ - 1,8 ч. Продолжительность работы автомобилей на линии - 8 ч. Работая на маршруте В₁, води­тель делает 6 ездок, затрачивая на это 7,38 ч рабочего времени. На маршруте В₂ водитель делает 4 ездки и затрачивает 7,2 ч рабочего времени. Требуется организовать работу так, чтобы максимально ис­пользовать рабочее время водителей.

Рис. 42. Графическое решение задачи 7.3

Математическая модель запишется в следующем виде: максимизировать

1,23X₁ + 1,8X₂ = Z₀ (7.22)

при наличии ограничения

(7.23)

где X₁ - число ездок на маршруте В₁;

X₂ - число ездок на маршруте В₂.

Решение может быть найдено графически, как показано на рис. 42. При X₁ = 0, Х₂ = 4.4. При Х₂ = 0, X₁ = 6,5. Соединив полученные точки А и В, получим область допустимых решений X₁ и Х₂.

Левые части уравнений целевой функции (7.22) и ограничения (7.23) совпадают. Это значит, что все точки, лежащие на линии

1,23X₁ + 1,8X₂ = Z₀

будут оптимальными. Точки С₁, С₂ и так далее, заключенные между прямой АВ и осями координат, имеющие координатами целые числа, изображают все возможные варианты работы автомобиля. Точки, ко­торые ближе расположены к прямой пли лежат на ней, дают наилуч­шие - оптимальные решения.

В рассматриваемом примере точки С₁ с координатами X₁ = 5 и Х₂= 1 и С₄, с координатами X₁= 2, Х₂ = 3 ближе всех расположены к линии АВ. В первом случае продолжительность работы водителя на линии составит 1,23 • 2 + 1,8 • 3 = 7,95 ч, а во втором

1,23•2+ 1,8• 3 = 7,86 ч.

Рис. 41. Области оптимальных решений 224

225

Задача 7.4. Определить потребное число поддонов для перевозки грузов пакетами, упакованными в потребительскую тару двух раз­меров — А и В. Количество грузов в таре типа А составляет 600 еди­ниц и типа В — 300 единиц. Количество тары, загружаемой на поддон различными способами, приведено в табл. 18.

Таблица 18

Тин тары	Способы размещения тары на поддоне
	1	2	3	4
А в	3 1	2 3	1 6	0 8

Математическая модель задачи будет сформулирована следующим образом:

минимизировать X₁ + X₂ +Х₃ + Х₄ = Z₀, (7.24)

п ри наличии ограничений

где Х_i - число поддонов, загруженных по i-способу размещения тары.

Для решения задачи начертим прямоугольную систему координат

АОВ (рис. 43) и каждому возможному способу размещения тары на

поддоне поставим точку, координаты которой соответствуют числу

с

оответствующей тары, размещаемой на поддоне. Буквой С с индексом обо­значим номер способа размещения тары на поддоне. Множество всевоз­можных планов размещения тары на поддоне изображается совокупностью точек выпуклого многоугольника С₁С₂С₃С₄. Например, точки на отрез­ке С₁С₂ будут указывать своими ко­ординатами количество тары типа А и типа В, приходящейся на один под­дон в различных способах размеще­ния их, сочетающих собой размеще­ния но способу С₁ и С₂ (рис, 43). Из всех решений нас интересует выпол­нение условия комплектности, т. е. отношение числа тары А к числу та­ры В. В соответствии с заданием это

соотношение равно 2 (600:300). Если из начала системы координат про­вести луч, координаты которого А = 2, В = 1, то оптимальным будет план размещения тары на поддоне, которому соответствует точка, од­новременно принадлежащая многоугольнику и лучу, и имеющая наи­большие координаты, т. е. соответствующая плану наибольшего исполь­зовании плошали поддонов. Такой точкой будет Р, лежащая на отрезке С₁С₃. Это указывает на то, что оптимальный план размещения тары на поддонах представляет собой комбинацию размещения тары по спосо­бу С₁ и С₃. Обозначим через δ долю поддонов, загружаемых по способу С₁, а остальную часть (1- δ) - по способу С₃, долю одного и другого способа размещения поддонов найдем из условия комплектности

(7.26)

Минимальное число поддонов Z_Q определится из уравнения

(7.25)

(11/12)3 Z₀ + (1/12) Z₀ = 600 (7.27)

откуда Z₀ = 212. Таким образом, по способу С₁ будет загружено 194 под­дона и по способу С₃-18.