7.5. Применение теории массового обслуживания в организации перевозок

Известно, что процесс перевозки грузов представляет собой сис­тему массового обслуживания, для которой характерны следующие особенности: моменты прибытия отдельных единиц подвижного со­става в пункты погрузки-разгрузки, как правило, не могут быть абсо­лютно точно предсказаны; длительность их обслуживания в этих пун­ктах резко меняется как от вида перевозимых грузов, так и от разме­щения перевозок во времени; погрузочно-разгрузочные посты имею! неодинаковую загрузку, и в результате сильно загруженные проме­жутки времени чередуются с промежутками слабой загрузки.

На рис. 46 показан график прибытия автомобилей на бетонный завод. Если производительность бетонного завода будет представлена линией АБ, то все прибывающие автомобили будут тут же загружать­ся. Но это будет неэкономично, так как, например, в часы с 11 до 12. с 13 до 14 и особенно во вторую смену работы мощность завода будет значительно недоиспользоваться. Поэтому ориентироваться на пико­вые потребности будет неэкономично. Пропускная возможность заво­да, представленная линией ВГ, будет лучшей. При этом в моменты пикового прибытия подвижного состава не все автомобили тут же заг­ружаются, а будут какое-то время ожидать погрузки. В эти периоды вре­мени будут образовываться очереди автомобилей, ожидающих погруз­ки, которые будут обслуживаться в последующие менее загруженные

Рис. 46. График прибытия автомобилей в пункт погрузки

периоды. Если пропускная возможность завода представлена линией ДЕ, то простои автомобилей в ожидании погрузочных работ сильно возрастут, и может оказаться даже, что не все автомобили будут заг­ружены.

Появление очередей требует ответа на следующие вопросы: сколь­ко автомобилей будет стоять в очереди, сколько времени автомобиль будет стоять в очереди, ожидая погрузки (разгрузки), сколько време­ни погрузочный (разгрузочный) механизм будет простаивать в ожи­дании подвижного состава, сколько автомобилей должно работать сданным погрузочным механизмом. Для того, чтобы ответить на эти вопросы, можно использовать либо математический аппарат теории массового обслуживания, либо моделирование. Вероятностный под­ход делает расчеты сложнее обычных, однако дает возможность на стадии планирования получить более объективные данные об исполь­зовании подвижного состава автомобильного транспорта и погрузочно-разгрузочных средств.

Чтобы использовать в расчетах вероятностные методы, необходи­мо знать средние значения и средние квадратические отклонения рас­сматриваемых величин, а также типы их распределения.

Среднее квадратическое отклонение характеризует рассеивание рассматриваемого параметра. Оно выражается в тех же единицах, что и рассматриваемое математическое ожидание. Среднее квадратичес­кое отклонение есть корень квадратный из среднего значения квадра­тов отклонении.

Тип распределения входящего потока автомобилей в пункты по­грузки или разгрузки и времени их обслуживания в этих пунктах мо­жет быть пуассоновский, эрланговский или регулярный. Чаще всего число автомобилей, прибывающих в пункт погрузки или разгрузки

248

249

в заданный интервал времени, описывается предельным случаем "би­номинального распределения, известного как распределение Пуассо­на. В этом случае вероятность поступления автомобилей в пункт по­грузки (разгрузки) определяется выражением

(7.43)

где Р_n — вероятность поступления п автомобилей в заданный ин­тервал времени;

λt - среднее значение п для заданного временного интервала;

п! = n• (n-l)•(n-2)…3• 2• 1;

е = 2,71828.

З адача 7.7. Экскаватор, работающий в карьере, за интервал време­ни 9 мин может погрузить 3 автомобиля. В течение 9 мин к экскава­тору в среднем прибывает 2 автомобиля. Входящий поток автомоби­лей имеет пуассоновское распределение. Определить, какая часть ав­томобилей будет загружаться сразу же по прибытии.

Вероятность того, что интенсивность прибытия автомобилей бу­дет меньше или равна 3 за интервал 9 мин, определится из уравнения

=0,1353 + 0,2707 + 0,2707 + 0,1804 = 0,8571.

Получено, что 85,71% прибывающих автомобилей будут загру­жаться немедленно, а 14,29% — с некоторой задержкой, с некоторым ожиданием.

В нашем примере пункт погрузки можно рассматривать как сис­тему, в которой оборудование (экскаватор) имеет определенный коэффициент использования. Под коэффициентом использования оборудования понимается отношение времени занятости оборудо­вания погрузочными (разгрузочными) работами к общему времени его функционирования. Экскаватор за выбранный интервал време­ни 9 мин может загрузить 3 автомобиля, а фактически загружает только два автомобиля.

Таким образом, коэффициент использования оборудования (эк­скаватора)

ρ=2/3

Иными словами, 66% рабочего времени экскаватор будет грузить автомобили, а 34% будет простаивать в ожидании прибытия подвиж­ного состава. В теории массового обслуживания под этим понимается приведенная плотность потока автомобилей, которая определяется как

ρ= λ / μ

250

Чем больше значение коэффициента использования погрузочно-разгрузочного оборудования, тем больше простои подвижного состава в очереди, и наоборот.

О сновные формулы теории массового обслуживания с одним об­служивающим устройством были получены Хинчиным и Поллачеком:

(7.44)

где М(t₁) — среднее время ожидания погрузки (разгрузки) за ездку;

λ — интенсивность входящего потока автомобилей;

д — интенсивность обслуживания;

μ — дисперсия времени обслуживания;

ρ — приведенная плотность входящего потока автомобилей (коэффициент использования оборудования).

(7.45)

где М(A) - число автомобилей,находящихся в пункте погрузки

(под погрузкой и в ожидании погрузки).

При постоянном времени обслуживания D(t₀) = 0, при эрлан го ве­ком - D(t)=1 / [1 / (K μ²)], при экспоненциальном D(t) = 1 / μ ². При этом можно отметить два характерных, крайних случая. Первый, когда время обслуживания постоянно, т. е. D(t₀)=0. В этом случае

(7.46)

Второй случай, когда время обслуживания имеет экспоненци­ альное распределение, т. е. D(t₀) = 1 / μ ²

При этом

(7.47)

т. е. в два раза больше, чем в первом случае. Экспоненциальное рас­пределение времени обслуживания является не наихудшим случаем, с которым приходится иметь дело в действительности. Имеются два типа ситуаций, в которых задержки в ожидании погрузки более продолжительны, чем при экспоненциальном распределении. Пер­вый случай, когда в течение короткого времени в пункт погрузки

251

прибывает большое число автомобилей (например, в начале смены). Второй, когда время обслуживания значительно превышает нор­мальные пределы (подготовка экскаватором забоя, незначительные поломки погрузочного механизма, заправка топливом и др.).

Время обслуживания, равное постоянной величине, встречается крайне редко. С другой стороны, в реальных условиях разброс време­ни обслуживания несколько меньше, чем в случае экспоненциально­го распределения, т. е. σ(t₀)редко достигает величины математическо­го ожидания.

Анализ показывает, что при характер распределения време­ни обслуживания не играет значительной роли как в образовании очереди автомобилей, ожидающих обслуживания, так и в продолжи­тельности простоя в очереди. При дальнейшем увеличении, особенно когда коэффициент использования оборудования приближается к 0,8, кривые простоя подвижного состава в ожидании погрузочных работ начинают очень быстро расти. При этом незначительное изменение увеличения интенсивности прибытия автомобилей может привести к резкому снижению эффективности функционирования системы. Если в пункте погрузки находится несколько погрузочных механизмов, то первым освободившийся механизм начинает загру­жать очередной автомобиль. Уравнения, которые применяются в та­ких моделях, основаны на следующих допущениях:

прибытие автомобилей в пункт погрузки распределяется по за­кону Пуассона;

время обслуживания распределяется согласно экспоненциальному распределению;

автомобили загружаются по принципу «первым прибыл - пер­вым обслужен»;

все погрузочные механизмы имеют одинаковое распределение значений времени обслуживания.

В многоканальных системах обслуживания среднее число автомо­билей, ожидающих обслуживания,

(7.48)

и среднее ожидание обслуживания

(7.49)

где В — вероятность того, что все посты обслуживания заняты в данный момент времени;

S — число погрузочных постов (число каналов обслуживания).

252

Минимальные затраты, связанные с погрузочными работами и транспортированием, будут в случае, когда затраты, связанные с простоями погрузочного механизма и подвижного состава, будут иметь минимальную величину. Математическая модель для этого слу­чая приведена в формуле (7.2).