Обчислення визначників

Порядок

Закон

Формула

І

Число

ІІ

2 рядка та 2 стовпця

= а а - а а

ІІІ

3 рядка та 3 с товпця

1. За

елементами

будь-якого рядка або стовпця - Правило Лапласа: Визначник дорівнює сумі додатків єлементів рядка (стовпця) на відповідні алгебраічні доповнення

2. Правило

трикутника

∆ =

3. Штучного доповнення

3. Правило Саруса:

Визначник доповнюється двома першими рядками або стовпцями і записується сумма добутків елементів, що стоять на діагоналях

∆ = = a₁(-1)¹⁺¹ +

+ b₁(-1)¹⁺² +

+ c₁(-1)¹⁺³

∆ =

«+» ; „-” .

=

= =

= + + .

= = =

= _ =

+

=

n

Визначники

вищих порядків Розкриття

здійснюється двома шляхами:

1. За елементами будь-якого рядка або стовбця із зниженням порядку визначника.

2. Створенням як можна більшої кількості нулів в будь-якому рядку або стовбці.

Визначник n-го порядку дорівнює сумі добутків елементів:

1) будь-якого стовбця на відповідні алгебраічні доповнення:

2) будь-якого рядка на відповідні алгебраічні доповнення:

Це впорядковані таблиці числових або літерних значень з m рядків та n стовпців

А , або А =

1. Елементи - величини, що входять до матриці (і – номер рядка, j – стовпця) і знаходятьсмя на перетині і –го рядка, j – стовпця. ,

2. Розмір матриці - зумовлений кількістю його рядків і стовпців.

3. Головна діагональ – спрямована зверху донизу, зліва направо.

4. Побічна діагональ – протилежна головній діагоналі.

5. Алгебраічні доповнення (ад’юнкта) елементів - мінори цих елементів, взяті із знаком : =

6. - мінор елемента - визначник на порядок нищий попереднього визначника, що залишається після викреслювання рядка та стовпця, які стоять на їх перетині.

7. Пропорційні рядки (стовпці) – якщо елементи одного з них отримані з іншого домноженням на одне число.

8. Транспонування – математична операція, при якій рядки становляться відповідними стовпцями.

9. Елементи з однаковими індексами називаються діагональними.

10. Матриці еквівалентні, якщо одна з них отримана з іншої

шляхом елементарних перетворень. А ~ В.

№

Назва та означення

Формула

1

Матриця - рядок

,

2

Матриця - стовпець

,

3

Квадратна матриця –

якщо кількість рядків і стовпців однакові:

,

4

Прямокутна матриця –

якщо кількість рядків і стовпців різні:

,

5

Нульова матриця –

якщо всі елементи дорівнюють нулю.

,

6

Особлива (вироджена) -квадратна матриця, виз-начник якої дорівнює 0.

,

7

Невироджена -квадратна матриця, визначник якої відмінний від нуля.

,

8

Ступінчата - квадратна матриця, якщо в окремих рядках один елемент відмінний від 0, а всі інші дорівнюють нулю.

,

9

Діагональна - ступінчата матриця, якщо відмінні від 0 елементи стоять на головній діагоналі.

,

10

Скалярна - діагональна матриця, елементи якої рівні між собою.

,

11

Одинична – скалярна матриця, елементи якої на головній діагоналі 1.

.

Матрицю неможливо обчислити!

При будь-яких діях над матрицями завжди отримують матрицю.

Матриці рівні тоді і тільки тоді, коли вони мають однаковий розмір та однакові відповідні елементи:

А = В

№

Дія, закон

Формула

1

Додавання матриць.

Сума двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів

матриць А і В.

+ =

А + В = С, тобто

2

Віднімання матриць.

Різниця двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює різниці відповідних елементів матриць А і В.

- =

А - В = Д, тобто

3

Множення матриць на число.

Добутком матриці А на число k – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює добутку відповідних елементів

матриці А на число k.

kА = k =

kА = С, тобто

4

Множення матриць.

Добуток двох матриць А і В – інша матриця, кожен елемент якої дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.

А∙В = ∙ = = ,

А∙В = С, де

5

Піднесення матриці А до степеня n (можливе лише для квадратних матриць) – множення матриці саму на себе n разів.

6

Транспонування матриць

А = ,

7

Обертання – процес знаходження оберненої матриці

А^-1 =

8

Ділення матриць

= С, де В^-1 – обернена до В матриця