Опорний конспект лекції „Визначники”

1772 р.

Лаплас (фр.) отримав загальне правило обчислення визначників будь-якого порядку, яке довів Лагранж та довів 9-у властивість визначників.

1815 р.

Коші (фр.) ввів термін „детермінант” і розробив основні питання теорії визначників.

1841 р.

Келі ввів для позначення квадратну схему з вертикальними рисочками.

1844 р.

Якобі розробив теорію, довів теореми. Ввів якобіані – функціональний визначник.

Це величина, яка представлена у вигляді впорядкованої квадратної таблиці числових або літерних значень, що розкривається за певним математичним законом.

Елементи

величини, що входять до визначника

(і – номер рядка, j – стовпця).

Порядок визначника

зумовлений кількістю його рядків і стовпців.

Головна діагональ

спрямована зверху донизу, зліва направо.

Побічна діагональ

протилежна головній діагоналі.

Квадратна таблиця

якщо кількість рядків і стовпців однакова.

Алгебраічні доповнення елементів (ад’юнкта)

мінори цих елементів, взяті із знаком =

- мінор елемента -

визначник на порядок нищий попереднього визначника, що залишається після викреслювання рядка та стовпця, які стоять на їх перетині.

Пропорційні рядки (стовпці)

якщо елементи одного з них отримані з іншого домноженням на одне число.

Транспонування

математична операція, при якій рядки становляться відповідними стовпцями

№

Формула

Формулювання

1

=

Величина визначника не зміниться при заміні всіх його рядків відповідними стовпцями, тобто при транспонуванні.

2

= -

При перестановці двох рядків або стовпців визначник змінює знак на протилежний.

3

= 0.

Наслідки:

Якщо рядки або стовпці визначника пропорційні іншим його рядкам або стовпцям, то визначник дорівнює нулю.

Визначник з однаковими рядками або стовпцями дорівнює нулю.

4

= 0.

Якщо будь-який рядок (стовпець) визначника має всі нульові значення, то визначник дорівнює нулю.

5

= k

Множник, загальний для елементів деякого рядка або стовпця можна виносити за знак визначника

6

=

Величина визначника не зміниться, якщо до елементів деякого рядка чи стовпця додати елементи іншого рядка або стовпця, заздалегідь до-множені на один і той же множник.

7

= +

Якщо елементи рядка або стовпця визначника представляють собою суму двох величин, то визначник можна ппредставити у вигляді суми двох визначників.

8

=

Якщо всі елементи визначника з одного боку від головної діагоналі дорівнюють нулю, то визначник дорівнює добутку елементів головної діагоналі

9

, де i j. Наприклад: = 0.

Сума добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на відповідні алгебраічні доповнення елементів будь-якого іншого рядка або стовпця дорівнює нулю.