Конспект – схема лекцій з

Це розділ математики, в якому геометричні об’єкти вивчають засобами алгебри на основі метода координат. Виникла в 17 ст. Декарт.

Предметом аналітичної геометрії є вивчення геометричніх образів алгебраічними методами.

Засоби досліджень: метод координат і алгебра.

Кожна точка на площині ототожнюється з упорядкованою парою, а в просторі – з трійкою чисел – координатами цієї точки.

Найпростіші задачі аналітичної геометрії:

1. Відстань між 2 точками. для М₁ і М₂

2. Ділення відрізка в заданому відношенні.

М₁ і М₂ . Точка М(х; у; z) поділяє відрізок М₁ М₂ в данному відношені: , , .

Якщо точка М поділяє відрізок навпіл: , ,

Основні задачі аналітичної геометрії:

1. Складання рівняння геометричного об’єкта, який розглядають як ГМТ – геометричне місце точок.

2. Дослідження і побудова геометричного об’єкта за його рівнянням.

Основні поняття:

Найпростіші геометричні образи: точки, прямі, площини, криві, поверхні 2 порядку.

Вісь – пряма лінія з вказани на ній напрямком.

Напрямлений – відрізок на вісі, якщо вказано яка з його граничних точок є початком і є кінцем.

Нульовий відрізок – напрямлений відрізок, коли точки початку і кінця співпадають.

Величина напрямленого відрізку – число, що дорівнює довжині відрізка (із знаком „+”, коли напрямок відрізка співпадає з напрямком вісі та із знаком „-„ в протилежному.

2 ненульові напрямлені відрізка рівні, якщо при суміщенні їх початків співпадають їх кінці.

Розрізняють скалярні величини та векторні.

Скалярна – величина, яка характеризується числовим значенням (модулем).

Вектор - величина, яка характеризується не лише числовим значенням, а й напрямком.

Нульовий – вектор, у якого початок і кінець співпадають, довжина дорівнює нулю. Він не має напрямку – напрям довільний.

- довжина вектора (модуль) – це відстань між його початком та кінцем: .

Колінеарні - вектори, які лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Кут між ними дорівнює 0, відповідні координати пропорційні .

Вектори рівні, якщо вони сполучаються паралельним переносом (рівні за величиною та співпадають за напрямком). У них рівні координати, довжини та напрями. Це колінеарні вектори.

Одиничний – вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Протилежні – паралельні вектори з однаковою довжиною і протилежного напрямку.

Компланарні - вектори, які лежать в одній площині або на паралельних площинах.

Вільні – вектори, початкова точка яких оберається довільно.

Приєднані (зв’язані) – вектори, для яких важлива точка приложення.

О – початок, М – кінець

Кут між векторами - кут між рівними їм векторами з загальним початком.

Координати , де А(х₁,у₁), В(х₂;у₂) - числа а₁ = х₂ – х₁, а₁ = у₂ – у₁, тобто

Властивості суми:

1.

2.

3. , що

4. , що

Колінеарні вектори: або . m, n, р – числа

Операции над векторами.

На площині:

Додавання:

1. Правило треугольников.

2. Правило параллелограмма.

3. Правило многокутника.

У просторі:

М

Різниця

Вектор :

а) збільшений у λ раз, якщо λ>1

б) в λ раз зменшений, якщо

0< λ< 1

в) протилежно спрямований, якщо

λ < 0.

Різниця – це третій вектор, проведений із кінця віднімаємого до кінця зменшуваного, який при складанні з вектором дає вектор .

Множення вектора на число – це новий вектор , довжина якого , а напрямок співпадає з напрямком , при λ > 0 і протилежно спрямований при λ < 0.

Властивості:

1 )

2)

3)

4)

5)

6) , якщо α = 0 або = 0.

- координати в базисі .

Вектори утворюють базис ортоспрямований.

Якщо вектор утворює з віссю ОХ кут φ, то проекція вектора на вісь – це добуток модуля вектора на :

Властивості:

1. Рівні вектори мають рівні проекції на одну вісь:

, якщо

2. Проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій векторів на цю вісь:

3. , де - дійсне число.

4. - гострий кут.

5. Проекція замкненої векторної лінії на вісь є нуль.

(2 і 3 – лінійні властивості проекції).

На площині

- довільний вектор площини,. = α + β -існує розкладання завжди. , - не колінеарні вектори.

Механічний сенс:

А = Fcosφ

,

= .

Механічний сенс – це момент вектора відносно точки А.

=

Орти - одинічні вектори, спрямовані вздовж вісі координат . Їх координати

d можна розкласти по 3 некомпланарним векторам: .

К ожний вектор представлені у вигляді:

Проекція вектора на вісь – це довжина напрямленого відрізку прямої, кінці якого – основи перпендикулярів, що проведені із початка і кінця вектора на вісь координат, причому із знаком „+” або „-„ в залежності від того, гострий або тупий кут між віссю і вектором.

Кут між вектором і віссю (або між двома векторами) – найменший кут, на який треба повернути вектор, щоб його напрямок співпав з напрямком вісі.

пр_х( + ) = np_x + np_х

a_х = a cos

а_у = a cos = a sinα

a_x + b_x = х( + ) - проекція суми векторів на кожну вісь дорівнює сумі проекцій вихідних векторів.

а = а_х+а_у +а_г - диагональ пааллелепипеда,

- діагональ паралелепіпеда, побудованого на своїх проекціях.

Проекції вектора на вісі:

.

- розкладання вектора за базисом (на компоненти) або .

, де

- напрямляючі косінуси векторів – це косінуси кутів, що утворюються вектором з осями декартової системи координат.

Радіус – вектор точки А – це вектор з початком в точці О (початок координат) і координати якого співпадають з координатами точки А.

Розкладання вектора

В просторі

- довільний вектор простору

, , - не компланарні вектори

Існує завжди розкладання: = α + β + γ

Скалярний добуток векторів

1) - добуток модулів векторів на косинус кута між ними

2) - сума добутків відповідних координат.

3)

Властивості:

1)

2)

3)

4) .

5) Умова перпендикулярності:

або , оскільки .

6) Умова паралельності:

.

Скалярний добуток використовується для знаходження кута між векторами:

Векторний добуток векторів

Df Векторний добуток двох векторів – це інший вектор , перпендикулярний площині, що утримує вектори , який задовольняє умовам:

1) Довжина дорівнює добутку довжин векторів на сінус кута між ними | | .

2) Вектор векторного добутку =

перпендикулярний обом векторам .

3) спрямований так, що вектори і мають ту саму орієнтацію, що і вектори базису.

Властивості:

1. Порядок множників важливий.

2. 

3. 

4. =

Векторний добуток використовується для обчислення площі паралелограма побудованого на двох неколінеарних векторах:

Умова колінеарності:

= 0 , .

Вектор, перпендикулярний до площини, в якій розташовані , спрямований в сторону, суміщення одного вектора з другим буде здаватися минаючим проти годинникової стрілки (величина його чисельно дорівнює пло­щі паралелограма на векторах).

Трійка векторів – три вектора, для яких визначений порядок наступності.

Трійка некомпланарних векторів , права (ліва), якщо після перенесення їх до спільного початку вектор розташовується по той бік від площини, обумовленої векторами , звідки здається, що найкоротший поворот від до проти стрілки годинникової (за годинниковою стрілкою).

права

трійка

ліва

Змішаний добуток трьох векторів:

це скалярно - век­торний добуток трійки векторів. ( )∙

Результат скалярного множення векторного добутку двох векторів на тре­тій. , , .

( )∙ = =

, ( )∙ =

Властивості:

1. Порядок множників важливий:

при круговій перестановці векторів їх добуток незмінний, при перестановці двох множників – змінює знак на протилежний.

2. Умова компланарності: = 0.

є ортогональним площині векторів , тобто .

3. = 0, якщо хоча б один вектор

дорівнює нулю.

4. =

Праві системи координат – системи, базисні вектори яких утворюють праву трійку.

Геометричний сенс:

Змішаний добуток використовується для обчислення об’єму паралелепипеда, побудованого на трьох некомпланарних векторах.

Рівняння лінії на площині – це рівняння із змінними х та у, якому задовольняють координати будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точки, що не належить лінії.

Найпростіша лінія на площині – пряма.

Вектор, що не дорівнює 0, спрямований вздовж прямой – (т,п) - її

направляючий вектор.

Вид рівняння

1.

2. ах + bу + с = 0

3.

4.

5.

6. у – у₀ = k(х – х₀)

пучок прямих

М₀ – центр пучка

7. у = kх + b

8.

9.

Рівняння лінії в просторі – це рівняння із змінними х, у, z, якому задовольняють координати будь-якої точки цієї лінії і не задовольняють координати точки, що не належить площині.

Вид рівняння

1.

2. ах + bу + сz + d = 0

3.

4. =

5.

6.

7. а₁ х + b₁ у + с₁ z + d ₁ + + (а₂х + b₂у+ с₂z + d₂)= 0

Вид рівняння

1.

2. Ах + Ву + Сz + D = 0

3.

4.

5.

6. = 0

7. = 0

ПРЯМА НА ПЛОЩИНІ

Пряма на площині визначається точкою та напрямком.

Напрямок задається:

1) Нормальним вектором (а,b), перпендикулярним до прямої;

2) Напрамляючим вектором (m,n), паралельним до а.

Назва та позначення

Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярно нормальному вектору (а,b).

Загальне рівняння прямої, де а,b – координати перпендикуляра до прямої.

Канонічне рівняння прямої.

, (m,n)- координати напрямного вектора , який паралельний прямій .

Рівняння прямої, що проходе через дві точки та , .

Рівняння прямої в відрізках.

На вісі ОХ відрізок а*= , на вісі ОУ -відрізок b*= .

Рівняння прямої, що проходе через точку з кутовим коефіцієнтом , де α-кут нахилу прямої до осі ОХ.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , де b – відрізок, який відтинає пряма на вісі ОУ.

Параметрична форма, де t – параметр,

, напрамляючий вектор (m,n).

Нормальне рівняня прямої, де , р – перпендикуляр із О(00) на пряму.

Перехід від (2) до (9):

Необхо­дно (2) домножити на

N = норміруючий множник (знак брати протилежний знаку с).

а,b,с – числа, - координати кожної точки прямої.

ПРЯМА В ПРОСТОРІ

Пряма в просторі визначається точкою та напрямком.

Напрямок задається:

1. Нормальним вектором (а,b,с), перпендикулярним до площини.

2. Напрамляючим вектором (m,n), паралельним до а.

Найпростіша лінія в просторі – пряма.

Назва та позначення

Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярно нормальному вектору (а,b,с).

Загальне рівняння прямої, де а, b, с – координати перпендикуляра до прямої

Канонічне рівняння прямої.

, (m,n,р)- координати напрямного вектора , який паралельний прямій .

Рівняння прямої, що проходе через дві точки та .

Параметрична форма, де t – параметр,

, напрамляючий вектор (m,n,р).

Векторне рівняня прямої.

радіуси – вектори точок М і М₀ – вектора з початку координат.

, , ,

, .

Рівняння пучка прямих (через точку перетину двох прямих) з центром в М.

ПЛОЩИНА В ПРОСТОРІ

Площина в просторі визначається точкою та напрямком.

Напрямок задається нормальним вектором (а,b,с), перпендикулярним до площини.

Назва та позначення

Рівняння прямої, що проходе через точку перепендикулярно нормальному вектору (А,В,С).

Загальне рівняння прямої, де а, b, с – координати перпендикуляра до прямої

прямої.

У векторній формі, де р – довжина перпендикуляра із О(0,0,0) на площину α. - одиничний вектор, перпендикулярний до площини α.

Через норміруючий множник

, (А,В,С)- нормальний вектор площини, задана М₁.

Рівняння прямої в відрізках. На вісі ОХ відрізок а*= , на вісі ОУ - відрізок b*= , на вісі ОZ відрізок с* = .

Рівняння площини, що проходе через точку , паралельно двом некомпланарним векторам і .

Рівняння площини, що проходе через 3 точки , та

що не належать одній прямій.

1. А₁ х + В₁ у + С₁ z + d₁ + + (А₂х + В₂у+ C₂z + D₂) = 0

Для кожного конкретного це рівняння визначає деяку пряму,що проходе через пряму .

Просторова теорема Піфагора:

2.

3.

4. = 0

Ах + Ву + Сz + D = 0

На площині

Між прямими -

між їх нормальними або напрямляючими векторами:

Якщо , то

На площині

Прямі: . Якщо

Якщо

Якщо

На площині

Прямі: . Якщо

, то

Якщо

Якщо , то

На площині

Від точки до прямої ах + bу + с = 0

завжди - довжина перпендикуляра із М до прямої.

Відхилення: . Норміруючий множник . -довжина вектора. Знак протилежний знаку коефіцієнта с в рівнянні прямої.

ГМТ – фігура, яка складається із усих точок площини або простора, що мають властивості певні.

Коло- частковий випадок еліпса з рівними осями і фокусами в одній точці – центрі кола.

Фокальні радіуси -вектори ( і ₁) точки - відстань точки М(х,у) еліпса від його фокусів: = а - х, r = MF,

= а + х, r₁= MF₁.

1)

або

2)

Будуємо прямокутник , і його

діагоналі - асимптоти, а потім гіперболу, яка перетинає дійсну вісь.

Відстань точки М(х,у) від її фокусів – це фокальні радіус-вектори данної точки.

у² = 2рх - симетрична відносно ОХ.

директриса.

х² = 2qу - симетрична відносно ОУ.

директриса.

Вершина – в початку системи координат фокальний радіус -вектор.

- рівняння лінії

- рівняння сфери з центром С і радіусом .

Приклади:

1. еліптична циліндрична поверхня з твірною паралельною ОZ

2. гіперболічна циліндрична поверхня з твірною паралельноюОХ

3. еліпсоід обертання навколо вісі ОZ (обертається еліпс

навколо ОZ).

4. еліпсоід обертання навколо вісі ОУ (обертається еліпс

навколо ОУ).

ПРЯМА І ПЛОЩИНА У ПРОСТОРІ

Рівняння пучка площин (через лінію перетину двох площин)

: А₁ х + В₁ у + C₁ z + D₁ = 0

α₂: А₂ х + В₂у + C₂z + D₂= 0

, де

= , = , =

Пряма належить площині

: Ах + В у + C z + D = 0,

.

Площина утримує точку .

Нормальний вектор .

Дві прямі належать одній площині

Якщо - зхрещені.

, .

, якщо напрямляючі коефіцієнти не пропорційні і , якщо пропорційні.

Дослідження загального рівняня площини:

1) D = 0 => Ax + By + Cz = 0 – площина проходе через початок координат.

2) A = 0 => By + Cz + D = 0 площина параллельна вісі ОХ.

3) B = 0 => Ax + Cz + D = 0 площина 41араллельно вісі ОУ.

4) C = 0 => Ax + By + D = 0 площина 41араллельно вісі OZ.

5) Ву + Cz = 0: у = - площина обертається навколо вісі OХ.

6) => Ах + Cz = 0: х = - площина обертається навколо вісі ОУ.

7) => Ах + Ву = 0: х = - - площина обертається навколо вісі ОZ.

8) => Cz + D = 0: = const площина проходе 42араллельно площині ХОУ.

9) => Ву + D = 0: = const площина проходе 42араллельно площині XOZ.

10) => Ах + D = 0: = const площина проходе 42араллельно площині УOZ.

Якщо в рівнянні площини відсутня координата, то площина паралельна цій вісі.

КУТИ

У просторі

Між прямими – між їх нормальними або напрямляючими векторами

, .

Між площинами – між їх нормальними векторами:

: А₁ х + В₁ у + C₁ z + D₁ = 0

α₂: А₂ х + В₂у + C₂z + D₂ = 0

= .

,

,

Між прямою та площиною – між прямою і її проекцією на площину.

: Ах + В у + C z + D = 0,

.

УМОВА ПАРАЛЕЛЬНОСТІ

У просторі

Прямих: , якщо для

, .

Площин: , якщо

: А₁ х + В₁ у + C₁ z + D₁ = 0

α₂: А₂ х + В₂у + C₂z + D₂= 0

Прямої та площини: ,

: Ах + В у + C z + D = 0,

УМОВИ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТІ

У просторі

Прямі:

, якщо для

, .

Площини: , якщо .

: А₁ х + В₁ у + C₁ z + D₁ = 0

α₂: А₂ х + В₂у + C₂z + D₂= 0

Прямої та площини: ,

: Ах + В у + C z + D = 0,

ВІДСТАНЬ

У просторі

Від точки до ах + bу + сz + d = 0 прямої. завжди - довжина перпендикуляра із М до прямої.

Від точки до площини :

Ах + В у + C z + D = 0. завжди.

Відхилення: ,

Норміруючий множник

- довжина вектора. Знак протилежний знаку коефіцієнта d в рівнянні прямої.

КРИВІ 2 ПОРЯДКУ

Це лінії, координати точок яких задовольняють рівнянням другого степеня.

Коло

Це геометричне місце точок площини (ГМТ), рівновіддалених від однієї точки – центра. С - центр, - радіус.

Коло з центром в початку координат 0(0,0)

.

Еліпс

Це геометричне місце точок (ГМТ), сума відстаней яких від двох точок F и f₁ (фокусів) є величина постійна.

С - центр, а, b – піввісі.

а – велика (на ОХ), b – мала (на ОУ).

1) Якщо а > b, то F и f₁ на вісі ОХ на відстані с = від початку координат.

- ексцентриситет.

2) Якщо а < b, то F и f₁ на вісі ОУ на відстані с = від початку координат.

4. Якщо а = b, то це коло х² + у² = а²

Директриси еліпса , - прямі паралельні малій вісі еліпса, що відстоять від неї на відстані .

Ексцентриситет еліпса = - це відношення відстаней будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси.

Гіпербола

Це геометричне місце точок площини (ГМТ), різ­ниця відстаней яких від двох даних точок F и f₁ (фоку­сів), є величина постійна: 2а (0 < 2а < FF₁). а, b – піввісі.

F(с; о) і f₁ (- с; о) - фокуси. |FF₁| = 2с.

1) а – на дійсній піввісі ОХ; х = - вершина гіперболи, b – на мнімій піввісі ОУ.

2) b – на дійсній піввісі ОУ; вершина гіперболи у = .

а – на мнімій піввісі ОХ. с =

с – відстань фокуса від початку координат. а – велика (на ОХ), b – мала (на ОУ).

= |- а + х|, = |а + х| - фокальні радіус-вектори асимптоти.

Ексцентриситет гіперболи =

Якщо а = b, то гіпербола рівнобічна

х² - у² = а². Асимптоти: у = х, х = у.

Сполучені: ,

Парабола

Це геометричне місце точок площини,

рівновіддалених від данної точки - фокуса і від данної прямой - директриси.

Фокус не належить директрисі.

Якщо , де , то це парабола із зміщеною вершиною. Вісь симетрії паралельна ОУ або співпадає з нею.

- гілки догори, - гілки донизу.

, - координати вершини , де

Директриса паралельна ОХ, то у = .

Якщо , де , то це парабола із зміщеною вершиною. Вісь симетрії паралельна ОХ або співпадає з нею.

- гілки догори, - гілки донизу.

, - координати вершини , де

Директриса паралельна ОУ, то х =

Для визначення геометричного образу, який описує алгебраічне рівняння вигляду

Ах² + Ву² + Сх + Dу + F = 0

треба звести його до одного з каноничних

рівнянь ліній другого порядку шляхом виділення повних квадратів:

1. А = В і одного знаку – то це рівняння кола.

2. А В і одного знаку – то це рівняння еліпса.

3. А і В різних знаків – то це рівняння гіперболи.

4. А = 0, В = 0, то це рівняння параболи.

ПОЛЯРНА СИСТЕМА КООРДИНАТ.

Беремо довільну точку О – полюс та одиницю масштабу.

З неї виходе півпряма - полярна вісь.

ОР - промінь.

Положення точки М на площині визначається двома величинами:

1) р - радіус – вектор > 0, відстань від М до полюса О: ρ = ОМ.

2) φ – полярний кут - величина кута, утвореного [ОМ] з віссю проти годинникової стрілки, < 0 – за годинниковою стрілкою .

Якщо 0 , то кожній точці площини (крім О) відповідає певна пара чисел ρ і φ.

Для полюса ρ = 0, кут φ – будь-який.

Зв’язок ПОЛЯРНИХ і прямокутних декартових координат.

,

Відстань між точками: ,

Приклади:

1. ρ = а = Const - коло з центром в О і

ρ = а, х²+у² = а²

2. ρ = аφ - спіраль Архимеда.

3. ρ = 2acosφ - коло з центром в точці

ρ₀ = а, φ = 0, R = a.

,

4. - лемніската

5. ρ = 2acos ³

6. ρ = a(1 + cosφ) - кардіоіда

ПОВЕРХНІ 2 ПОРЯДКУ

Це такі поверхні, рівняння яких містять хоча б одну з координат х, у, z у 2 степені.

Конічна – поверхня, яка утворена прямою лінією (твірною), що проходить через задану точку (вершину поверхні) і перетинає задану лінію (напрямну лінію).

Циліндрична – поверхня, яка утворена прямою лінією (твірною), що проходить паралельно до заданої прямої L (вісі поверхні) і яка проходить через задану лінію (напрямну лінію).

1.Твірна паралельна ОZ,

2.

3. Твірна паралельна ОУ,

4. Твірна паралельна ОХ,

Правило знаходження рівняня

проверхні обертання:

1. В рівнянні лінії обертання залишити

незмінною координату, одноіменну з віссю обертання.

2. Другу координату рівняння лінії

обертання замінити на квадратів двох інших просторових координату.

Застосовується метод перерізу.

Застосування кривих та

поверхонь обертання:

1. Будівництво водонапорних башт та

радіощогл (однополостні гіперболоіди).

2. В прожекторах, фарах, антенах

радіолокаторів (параболоіди обертання).

3. Закони Кеплера.

4. Орбіти штучних супутників Землі.

(коло, еліпс, парабола, гіпербола в залежності від швидкості і відстані)…