Методи визначення рангу матриць

1. Обчислення усих визначників із елементів матриці.

Спочатку визначники 2 порядку, що 0, потім 3, ...

2. Метод нулів та границь.

Усі рядки повинні містити всі елементи нулі, крім одного, 1.

Кількість одиниць дорівнює рангу матриці.

3. Метод окаймляючих мінорів.

Мінор , що містить у собі усі елементи мінора є окаймляючим. Якщо мінор , породжений матрицею дорівнює 0, а хоча б один 0, то ранг матриці А дорівнює R.

4. Приведення до матриці спеціального виду.

Кількість одиниць на головній діагоналі дорівнює рангу.

1. Не може перевищувати меншої з її розмірностей:

2. = 0 тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці А нулі.

3. Для квадратної матриці n-го порядку тоді і тільки тоді, коли матриц А невироджена.

4. + 6. -

5. 7.

8. , якщо В – квадратна матриця і 0.

9. + - n, де n – число стовпців матриці А або рядків матриці В.

Лінійна залежність рядків(стовпців) матриці означає, що хоча би один рядок (стовпець) є лінійною комбінацією інших.

Необхідна і достатня умова лінійної залежності рядків (стовпців) матриці є те, що один з них є лінійною комбінацією інших.

Теорема про ранг: Рядки та стовпці матриці, елементи яких входять в базисний мінор, лінійно незалежні. Будь-який рядок або стовпець матриці є лінійною комбінацією цих рядків (стовпців).

, ... , ... ,

Стовпець -лінійна комбінація стовпців , , ..., , якщо його можна представити у вигляді: = + + ... + , де

, , ... , - деякі числа.

Стовпці , , ..., називаються лінійно залежними, якщо існують числа , , ... , , які одночасно не рівні нулю, що їх лінійна комбінація стовпців дорівнюють нульовому стовпцю:

= + + ... + = 0.

Якщо лінійна комбінація стовпців дорівнюють нульовому стовпцю тоді і тільки тоді, коли усі коефіцієнти , , ... , дорівнюють нулю, то стовпці , , ..., лінійно незалежні.