Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для самостійної роботи - частина 1.doc
Скачиваний:
11
Добавлен:
15.11.2019
Размер:
7.32 Mб
Скачать

Теорія границь

Окол точки х0 – інтервал (а,b), який утримує її.

Послідовністьце множина чисел, яка пронумерована усіма натуральними числами, що розташовані у порядку зростання. або .

Числова послідовність – функція натурального аргумента , тобто за деяким законом кожному натуральному числу відповідає число , де числа - члени послідовності. - загальний член.

Скінчена – послідовність, яка має фіксоване число членів.

Нескінчена – послідовність, яка має нескінчене число членів.

Означення границі

Число - границя числової послідовності , якщо для будь-якого наперед заданого і як завгодно малого існує номер N такий, що для усих виконується умова .

або при

Послідовність збіжна, якщо вона має границю і розбіжна, якщо ні.

Геометричний сенс: число є границею числової послідовності , якщо для будь-якого наперед заданого і як завгодно малого існує номер N, починая з якого (при ) всі члени послідовності будуть знаходитися в -околі точки , якою б вузькою вона не була.

Число - границя функції при х , якщо для будь-якого наперед заданого і як завгодно малого існує число таке, що для усих виконується умова .

або при

Функція визначена в будь-якому околі граничної точки, але не обов’язково в ній.

Геометричний сенс: число є границею функції при х , якщо для будь-якого наперед заданого і як завгодно малого існує - число таке, що для усих , відповідні ординати графіка функції будуть знаходитися в смузі - , якою б вузькою вона не була.

Число - границя функції при х , якщо для будь-якого наперед заданого і як завгодно малого існує число таке, що для усих х х0 і які задовольняють нерівності виконується умова . або при

Однобічні границі:

Якщо при х змінна приймає лише значення, меньші за або лише більші за і при цьому функція , має місце однобічна границя зліва - лівостороння границя ( , при х ) або справа - правостороння границя ( , при х ).

Якщо , то .

Властивості границь

  1. Якщо послідовність має границю, то ця границя єдина.

  2. Послідовність, що має границю є обмеженою.

  3. Теорема Вейєрштраса (існування границі монотонної обмеженої послідовності):

    1. Якщо послідовность не спадає і обмежена зверху .

    2. Якщо послідовность не зростає і обмежена знизу

  1. Якщо послідовность має границю та послідовність має границю , то:

1) + .

2) .

3)

4) .

  1. Якщо , то .

  2. Якщо існує послідовність , де та , то .