Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Для самостійної роботи - частина 1.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
15.11.2019
Размер:
7.32 Mб
Скачать

Властивості матриць:

Добуток прямокутних матриць існує лише тоді, коли кількість стовпців лівої матриці дорівнює кількості рядків правої матриці.

Лише квадратну матрицю можна множити саму на себе.

    1. А + В = В + А А, В, С, Е - матриці

    2. А + 0 = А α, β - числа

    3. АЕ = ЕА = А

    4. А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С

    5. k(А + В) = kА + kВ

    6. (α + β)∙А = αА + βА

    7. α(β∙А) = (αβ)А

    8. А(ВС) = (АВ)С = АВС

    9. α(АВ) = А(αВ) = (αА)В = αАВ

    10. (А + В)С = АС + ВС

    11. С(А + В) = СА + ВС

    12. 1∙ А = А

    13. А∙ А-1 = Е, де А-1 – обернена.

Специфічні властивості матриць:

  1. А∙ В В ∙ А

  2. Якщо А∙ В та В ∙ А існують, то отримані матриці можуть бути різних розмірів.

  3. А∙ В існує, а В ∙ А можливо не існує.

  4. А∙ В = 0, то з цього не випливає, що В =0, або А = 0.

Властивості транспонованих матриць:

1) : Визначники квадратної і транспонованої матриць рівні.

2) Атт = (Ат)т = А, тобто 2 рази транспонована матриця дорівнює

попередній матриці.

3) А , Ат . 4) (kА)т = т

5) (А + В)т = Ат + Вт 6) (АВ)т = ВтАт

Алгоритми знаходження оберненої матриці:

У будь-якої невиродженої матриці існує 1 обернена до неї.

1. За допомогою алгебраічних доповнень.

1) Обчислити визначник матриці: . Якщо для А.

2) Замінити елементи матриці її алгебраічними доповненнями.

- проміжна матриця

3) Транспонувати проміжну матрицю.

- матриця приєднання.

4) Записати обернену матрицю: А-1 = .

5) Перевірити вірність оберненої матриці: А∙ А-1 = Е.

2. За допомогою елементарних перетворень рядків: А/Е ~ Е/А

1) До матриці А праворуч приписати одиничну матрицю:

2) За допомогою елементарних перетворень рядків об’єднаної матриці привести А до Е:

, звідки А-1 = - метод Гауса-Жордано.

Ранг матриці

  1. Це порядок її найбільшого ненульвого мінору.

  2. Це вищий порядок визначника із її елементів.

Елементарні - операції, що не змінюють ранг матриці:

  1. Транспонування.

  2. Множення рядка на ненульове число.

  3. Перестановка рядків (стовпців).

  4. Додаток до елементів рядка елементів іншого рядка, помножених на ненульове число.

  5. Викреслення нульового рядка.

Теорема про ранг: Ранг матриці дорівнює максимально можливому числу її лінійно-незалежних стовпців (рядків), через які лінійно виражаються всі інші стовпці (рядки).

Базисний мінор матриціце будь-яки її ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Матриця може мати не один, а декілька базисних мінорів.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.