Властивості матриць:

Добуток прямокутних матриць існує лише тоді, коли кількість стовпців лівої матриці дорівнює кількості рядків правої матриці.

Лише квадратну матрицю можна множити саму на себе.

1. А + В = В + А А, В, С, Е - матриці

2. А + 0 = А α, β - числа

3. АЕ = ЕА = А

4. А + (В + С) = (А + В) + С = А + В + С

5. k(А + В) = kА + kВ

6. (α + β)∙А = αА + βА

7. α(β∙А) = (αβ)А

8. А(ВС) = (АВ)С = АВС

9. α(АВ) = А(αВ) = (αА)В = αАВ

10. (А + В)С = АС + ВС

11. С(А + В) = СА + ВС

12. 1∙ А = А

13. А∙ А^-1 = Е, де А^-1 – обернена.

Специфічні властивості матриць:

1. А∙ В В ∙ А

2. Якщо А∙ В та В ∙ А існують, то отримані матриці можуть бути різних розмірів.

3. А∙ В існує, а В ∙ А можливо не існує.

4. А∙ В = 0, то з цього не випливає, що В =0, або А = 0.

Властивості транспонованих матриць:

1) : Визначники квадратної і транспонованої матриць рівні.

2) А^тт = (А^т)^т = А, тобто 2 рази транспонована матриця дорівнює

попередній матриці.

3) А , А^т . 4) (kА)^т = kА^т

5) (А + В)^т = А^т + В^т 6) (АВ)^т = В^тА^т

У будь-якої невиродженої матриці існує 1 обернена до неї.

1. За допомогою алгебраічних доповнень.

1) Обчислити визначник матриці: . Якщо для А.

2) Замінити елементи матриці її алгебраічними доповненнями.

- проміжна матриця

3) Транспонувати проміжну матрицю.

- матриця приєднання.

4) Записати обернену матрицю: А^-1 = .

5) Перевірити вірність оберненої матриці: А∙ А^-1 = Е.

2. За допомогою елементарних перетворень рядків: А/Е ~ Е/А

1) До матриці А праворуч приписати одиничну матрицю:

2) За допомогою елементарних перетворень рядків об’єднаної матриці привести А до Е:

, звідки А^-1 = - метод Гауса-Жордано.

1. Це порядок її найбільшого ненульвого мінору.

2. Це вищий порядок визначника із її елементів.

Елементарні - операції, що не змінюють ранг матриці:

1. Транспонування.

2. Множення рядка на ненульове число.

3. Перестановка рядків (стовпців).

4. Додаток до елементів рядка елементів іншого рядка, помножених на ненульове число.

5. Викреслення нульового рядка.

Теорема про ранг: Ранг матриці дорівнює максимально можливому числу її лінійно-незалежних стовпців (рядків), через які лінійно виражаються всі інші стовпці (рядки).

Базисний мінор матриці – це будь-яки її ненульовий мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці.

Матриця може мати не один, а декілька базисних мінорів.