Завдання 2.
Довести властивість 9 для будь-яких стовпців (рядків) в загальному вигляді.
=
=
0.
Доведення:
=
=
+
+
+
=
=
=
=
-
=
-
-
-
+
+
-
=
0.
Завдання 3.
Обчислити
визначник 4 способами (правило трикутника,
правило Сарюса, по будь-якому рядку
(стовпцю), штучного доповнення) 4
способами:
.
Розв’язання:
1)
По першому столбцю: ∆ =
=
=
5.
2) По правилу трикутника:
∆ =
=
= 4 - 6 - 2 - 2 + 8 + 3 = 5.
3) По правилу Саруса:
∆
=
=
= 4 - 6 - 2 - 2 + 8 + 3 = 5.
4) Штучного доповнення:
∆
=
=
= 4 - 6 - 2 - 2 + 8 + 3 = 5.
Завдання 4.
Обчислити визначник: . Розв’язання:
1
спосіб:
=
+
+
+
=
=
-
-2
-
=
= 3 – 50 + 9 – 15 + 5 – 18 – 2(6 + 50 -9 – 30 – 5 + 18) – 4(-2 + 10 + 6 + 20 – 1 – 6) = - 66 - 2·30 - 4·27 = - 234
2
спосіб:
=
=
= -3·
=
=
-3·
=
-3·2·
=
-6·
=
-18·
= -8·
=
= -18 ·(-9 – 4) = - 234.
Відповідь: - 234.
Завдання 5.
Розв’язати нерівність:
Розв’язання:
=
= 3·5 - 1· 4 + 3х = 3х + 11.
,
,
Відповідь:
Завдання 6.
Знайти А·В та В·А, якщо: А= , В =
Розв’язання:
.
В нашому випадку
існує.
·
=
=
=
=
,
а
не
існує.
Завдання 7.
Знайти ранг матриці двома способами: А = .
Розв’язання:
1 способ – зведення до діагонального
вигляду.
=
2, оскільки
,
то
та І·(-3)+ІІ = ІІ*,
ІІІ - І·(-3) = ІІІ*, ІІ*·(-3) – ІІІ* = ІІІ**
2
спосіб – перевірка мінорів.
,
,
,
,
,
= 2.
Відповідь:
=
2
Завдання 8.
Розв’язати рівняння: 5А + 2Х – В = 0, якщо , . Розв’язання: 2Х = В – 5А.
2Х
=
-
5·
=
,
2Х
=
,
Х
=
=
.
Завдання 9.
Знайти обернену матрицю двома способами:
Розв’язання: 1 способ –за допомогою алгебраічних доповнень.
,
- проміжня матриця з алгебраїчних
доповнень елементів матриці системи:
,
де
- мінори.
А*-
транспонована матриця.
- визначник
матриці
;
;
;
,
,
,
,
. Обернена матриця має вигляд:
,
,
=
2 спосіб – за допомогою елементарних перетворень рядків матриці
А/Е Е/А-1, ІІ – І = І*, І - ІІІ·2 = ІІІ*, ІІ - ІІІ·3 = ІІ*,
І*-ІІ*= І**, ІІІ*-ІІ* =ІІІ**, І*·5 – ІІІ**·2 = І***,
ІІ*·5 – ІІІ**·3 = ІІІ***, І***: 5 = І****
.
Відповідь: А-1
=
.