Методи розв’язання систем
Назва, сутність |
Формули та пояснення |
Пекреваги та недоліки |
Метод Гауса – метод послідов-ного виключен-ня невідомих |
Елементарними перетвореннями система зводиться до еквівалентної ступінчатого виду (трикутного або трапеціідального):
Існує 3 способа:
через інші і підставляють його в інші рівняння, доки не отримають 1 рівняння з 1 невідомим.
допомогою розширеної матриці системи, зводячи її поступово до діагональної матриці.
приравнюючи коефіцієнти при 1 з невідомих і потім складаючи або віднімаючи одне рівняння з іншим (2 рази почленно).
|
Переваги:
1. Можливість використовувати при розв’язанні і однорідних, і неоднорідних систем з будь- яким співвідношенням числа невідомих і числа рівнянь. 2. Система легко піддається дослідженню. 3. Не треба попередньо досліджувати умову сумісності системи рівнянь.
Недоліки: немає |
Різновиди метода Гауса |
1. Метод головних елементів – якщо система розв’язується наближено (на кожному кроці вибирають головний елемент - найбільший по модулю в підсистемі коефіцієнт). 2. Метод Жордано - Гауса – метод повного виключення ведучого невідомого на кожному кроці з рівнянь підсистеми і з ведучих рівнянь попередніх кроків.
|
Недолік: Великий обсяг роботи.
Переваги: Можна розв’язувати системи з багатьма невідомими. |
Метод Крамера – складання і обчис-лення 4 визначни-ків |
∆= головний Допоміжні: ∆х
= ∆z
= Висновок: 1)
2) ∆ = 0, а хоча б 1 з ∆і 0 рішень немає. 3) ∆ = 0, ∆і = 0 система сумісна або має безліч рішень.
|
Недолік:
Лише для систем n лінійних рівнянь з n невідомими. |
За допо-могою оберненої матриці – розв’язан-ня матрич-ного рівняння |
А-1 = = , =
|
Недолік: Труднощі - в знаходженні оберненої матриці, якщо n > 3. Лише для систем n лінійних рівнянь з n невідомими. |
,
∆у
=
.
х =
,
у =
,
z =
0
завжди є розв’язки
,
,
АХ = В, Х = А-1В,