8.4.1. Гипсометрический закон
Влияние теплового движения и гравитационного поля на распределение частиц можно рассмотреть количественно.
В соответствии с первым
законом Фика поток диффузии
.
Поток седиментации
,
где
- скорость седиментации,
- концентрация.
При равномерном оседании
вес частицы
уравновешивается силой трения
(
),
где
- коэффициент трения. Отсюда:
,
. (8.10)
Если соотношение
,
то системы грубо дисперсны, седиментационно
неустойчивы, диффузию для них можно не
принимать во внимание. Если
,
то системы обладают высокой седиментационной
устойчивостью. В расчет можно принимать
только диффузию, а седиментация ничтожна.
Такое положение характерно для истинных
растворов. Если
,
то есть
,
то следует учитывать оба процесса:
седиментацию и диффузию, при этом
устанавливается равновесное распределение
частиц дисперсной фазы по высоте. Такое
положение характерно для коллоидных
систем и растворов высокомолекулярных
соединений.
При условии равновесия
:
; 
;
;
Так как градиент
концентрации изменяется по высоте, то
.
После интегрирования от
до
и от нуля до
получим:
;
;
(8.11)
Это частный случай распределения молекул по Больцману.
Если значение заменить пропорциональным ей значением , получим:
или 
(8.12)
Это выражение известно под названием
гипсометрического закона, определяющего
распределение молекул газа по высоте
(Gypsos-высота (лат)). Согласно
формуле (8.12), давление воздуха на высоте
6 км уменьшается вдвое. Левая часть
уравнения (8.12) представляет собой работу
обратимого изотермического расширения
моля газа от давления
до давления
.
Правая часть уравнения является работой
поднятия моля газа на высоту
.
Таким образом, 1 моль
газа можно перевести от давления
до давления
двумя способами: изотермически и обратимо
расширить от давления
до
или поднять от поверхности земли на
высоту
.
Такое же действие можно осуществить с
коллоидным раствором. Если в длинную
трубку поместить раствор, то концентрация
частиц у поверхности земли будет равна
,
а на высоте
концентрация будет меньше и равна
;
.
Работа переноса одного моля вещества
от концентрации
к концентрации
равна работе поднятия одного моля
вещества на высоту
.
Гипсометрический закон для золей записывается в следующем виде:
, (8.13)
где
- плотность,
- поправка на плавучесть.
Для получения ощутимых разностей концентраций и определения массы частицы по уравнению (8.13) необходимы настолько длинные трубки (высотой 2÷3 км), что применять их не имеет смысла. Поэтому идут по другому пути, а именно, увеличивают не высоту в уравнении (8.13), а ускорение , применяя ускорения, в сотни тысяч раз большие ускорения силы тяжести. Это стало возможным благодаря применению ультрацентрифуги.
Гипсометрический закон достаточно точно соблюдается для лиозолей. Так, Перрен микроскопически определил равновесное распределение частиц гуммигута по высоте и рассчитал значение числа Авогадро, которое оказалось близким к значению, определенному другими методами.