§200. Нерівноточні вимірювання. Загальна арифметична середина

Якщо одна і та ж величина вимірюється в різних умовах або різною кількістю прийомів, станцій, то такі вимірювання будуть нерівноточними і характеризуються різними середньо квадратичними помилками.

Допустимо, маємо ряд з трьох вимірювань будь-якої величини , , , середнє арифметичне цих вимірювань буде , потім цю величину двічі міряли другий раз і одержали результати , , середнє арифметичне цих вимірювань буде: , потім ту саму величину міряли ще п’ять раз і одержали результати , , , , і середнє арифметичних вимірювань буде: ;

Арифметичні середини , , однієї і тієї величини нерівноточні тому, що кожне середнє арифметичне виведене з різної кількості вимірювань.

Виведемо формулу обчислення середнього арифметичного з нерівноточних вимірювань.

Маємо ряд рівноточних вимірювань одної і тої величини, але вимірювання велись групами, а саме:

, , ... – з числом вимірювань

, , ... – з числом вимірювань

....................................................................

, , ... – з числом вимірювань

Утворимо середнє арифметичне з кожної групи вимірювань.

(1)

.....................................

Ми одержали нерівноточні результати вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

– середнє арифметичне із вимірювань

а загальне число вимірювань дорівнює .

Одержані результати вимірювань в кожному окремому випадку є рівноточними вимірюваннями, тоді можна написати найімовірніше значення вимірюваної величини.

(2)

Перетворимо систему рівнянь (1)

........................................ (3)

Підставимо рівняння (3) в (2) одержимо

(4)

Цей вираз називається загальною арифметичною серединою нерівноточних вимірювань, а число вагою результатів вимірювань, тобто, вага загальної арифметичної середини дорівнює числу , яке показує з якого числа рівноточних вимірювань виведена дана загальна арифметична середина.

§201. Поняття і визначення ваги. Властивість ваг вимірювань

З визначення загальної арифметичної середини можна привести визначення ваги.

Вагою даного результату вимірювань називається число яке показує скільки необхідно виконати рівноточних вимірювань будь-якої величини, щоб середнє арифметичне з них мало таку точність, що і даний результат. Ваги результатів вимірювань мають відносний характер, їх можна зменшувати або збільшувати в однакове число разів, але від цього величина загальної арифметичної середини не зміниться.

Наприклад: Маємо ряд результатів нерівноточних вимірювань:

з вагою

з вагою

......................

з вагою

Найімовірніше значення величини буде:

Збільшимо вагу кожного результату на довільне число раз, наприклад, на “” разів, одержимо:

з вагою

з вагою

.........................

з вагою

Тоді найімовірніше значення з новими вагами буде:

Вага є показником точності даного результату вимірювань, тобто чим точніший результат, тим більша його вага. Так як точність результату вимірювання характеризується його середньою квадратичною помилкою “”, то за вагу, як правило, приймають величину обернену квадратові середньої квадратичної помилки даного результату. За цією умовою чим точніший результат вимірювань, тим менша його середня квадратична помилка, а значить, тим більша його вага.

Якщо ряд вимірювань , , ..., характеризується середніми квадратичними помилками , , ..., то ваги цих вимірювань будуть: , , ..., ; тобто – ваги вимірювань обернено пропорціональні квадратам середніх квадратичних помилок вимірювань.

Щоб спростити обчислення користуються формулою .

=1, 10, 100 ..., тоді ваги виразяться цілими і невеликими числами. Іноді за вагу приймають величину – де – число кутів, станцій, ходів і т. п.