§197. Середня квадратична помилка одного вимірювання і середня квадратична помилка арифметичної середини, виражені через ймовірніші помилки

Якщо ми маємо ряд результатів рівноточних вимірювань однієї і тієї величини , , ..., , дійсне значення якої , а найімовірніше значення . Обчислимо дійсні “” і ймовірні помилки “”

(1) (2)

................. ................

Віднімаємо вія кожного рівняння системи (1) відповідно рівняння системи (2) одержимо:

(2)

........................

В лівій частині рівнянь системи (3) різниці є дійсними помилками арифметичної середини. Замінимо їх квадратичними помилками арифметичної середини М, тоді

................... ................... (4)

або

Піднесемо кожне рівняння системи (4) до квадрата і додамо

……………………….

(5)

Другий член правої частини рівняння (5) тому, що тоді

(6)

Рівняння (б) поділимо на , а замінимо його значенням, тобто

тоді , але

(7)

Розв’яжемо рівняння (7) відносно , одержимо

;

(8)

За формулою (8) обчислюють середню квадратичну помилку одного вимірюваний, коли відомі ймовірніші помилки. Ця формула відома в літературі під назвою формули Бесееля.

Підставимо значення (8) в формулу середньої квадратичної помилки арифметичної середини , одержимо:

(9)

Формулою (9) користуються для обчислення середньої квадратичної помилки, коли відомі ймовірніші помилки.

Контрольного формулою при обчисленні середньої квадратичної помилки за формулою Бесселя служить формула Петерса:

;

а середня квадратична помилка одного вимірювання .

Цією Формулою користуються для контролю правильності обчислення середньої квадратичної помилки, обчисленою за Формулою Бесселя.

§198. Опрацювання результатів ряду рівноточних вимірювань

Опрацювання ряду рівноточних вимірювань будь-якої величини виконують з метою:

1. обчислення найімовірнішого значення вимірюваної величини.

2. обчислення середньої квадратичної помилки одного результату вимірювання.

3. обчислення середньої квадратичної помилки найімовірнішого значення.

Зобразимо ряд , , ..., результатів рівно точних вимірювань у вигляді:

, , ..., (1), де

– довільне число (в більшості випадків – це найменший результат вимірювань ), а залишки обчислюють, як різниці, тобто

, , ...,

Додаючи рівняння (1), одержимо:

розділимо це рівняння на , одержимо:

, але

тоді

За цією формулою обчислюють найімовірніше значення вимірюваної величини, Приклад опрацювання результатів рівноточних вимірювань горизонтального кута приведено в таблиці 20.

Обчисливши , утворюють різниці ; ; ....; , тобто визначають ймовірніші помилки і обчислюють середні квадратичні помилки одного результату вимірювання , і найімовірнішого значення .

Контролюють правильність обчислення рівнянням:

; Таблиця 20

Примітка за рахунок закруглення .

§199. Оцінка точності результатів за різницями подвійних рівноточних вимірювань

На практиці є випадки застосування подвійних вимірювань однієї і тієї величини.

Наприклад, вимірювання ліній теодолітного ходу в прямому і зворотному напрямах, при геометричному нівелюванні перевищення визначають по чорній і червоній сторонах рейок і т. п. Різниці одержані між вимірюваннями однієї і тієї величини можуть бути використані для оцінки точності цих вимірювань.

Допустимо, маємо ряд величин виміряних двічі:

, , ...,

, , ...,

Утворимо різниці цих пар вимірювань:

(1)

................

Різниці виміряних значень є різницями випадкових помилок тому, що дійсні значення різниць повинні дорівнювати 0. Середню квадратичну помилку одної різниці можна визначити за формулою Гаусса, тобто

(2)

але кожна різниця є функцією виду , тому середню квадратична помилка різниці обчисляється за формулою , а так як , то .

і (3)

Підставляючи в рівняння (3) замість помилки її значення з (2) будемо мати:

(4)

Цією формулою можна користуватись тільки тоді, коли в різницях “” немає систематичних помилок і вони мають випадковий характер.

Якщо різниці “” мають різні знаки і сума цих різниць наближується до “0”, то вони мають випадковий характер і для оцінки точності вимірювань потрібно користуватись формулою (4).

Якщо в ряду різниць (1) подвійних вимірювань переважає один знак, тоді кожна різниця є результатом впливу на вимірювання, як випадкових, так і систематичних помилок.

Позначимо випадкову помилку різниці через , а систематичну помилку через . Систематичні помилки не володіють властивістю компенсації, то очевидно , а .

Виключаючи помилку із кожної різниці подвійних вимірювань, одержимо

.................

Величини , , ..., є відхилення різниць від їх арифметичної середини , отже вони є ймовірними помилками, тому середня квадратична помилка одної різниці обчислюється за формулою Бесселя

(5)

Підставляючи рівняння (5) в (2), аналогічно попередньому одержимо

За цією формулою обчислюється середня квадратична помилка одного вимірювання подвійних рівноточних вимірювань при спільній дії випадкових та систематичних помилок.

Наприклад, обчислити середню квадратичну помилку одного вимірювання із подвійних рівноточних вимірювань шести ліній. Приклад обчислень приведено в таблиці 21.

Таблиця 21

№ н/п	м	м	см		см
1 2 3 4 5 6	132.45 135.21 134.77 132.59 136.58 134.09	132.54 135.26 134.73 132.69 136.62 134.09	-9 -5 +4 -10 -4 0	81 25 16 100 16 0	-5 -1 +8 -6 0 +4	25 1 64 35 0 16
			-24	238	0	142

Середня квадратична помилка одного вимірювання без виключення систематичних помилок: см

Середня квадратична помилка одного вимірювання з виключенням систематичних помилок: см