8.2.5. Критерий Кронекера — Капелли

Подытоживая изложенные выше результаты, сформулируем общий критерий разрешимости произвольной системы линейных уравнений.

Теорема 8.5 (Кронекера — Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы:

¯

rank = rank = .

Если при этом ранг равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение. Если < , то система имеет бесконечное множество решений, определяемых − свободными неизвестными.

Применим критерий Кронекера — Капелли к однородным системам линейных уравнений.

Теорема 8.6. Однородная система линейных уравнений с неизвестными и основной матрицей имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

ранг основной матрицы меньше числа неизвестных, то есть rank < .

[Доказательство]

Следствие 8.1. Если число уравнений однородной системы меньше числа её переменных, то система имеет ненулевое решение.

Следствие 8.2. Если в однородной системе число уравнений равно числу неизвестных, то она имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда

Решение. Данная система однородная, поэтому для её решения будет достаточно привести с помощью элементарных преобразований строк к ступенчатому виду основную, а не расширенную, матрицу

Это уже было сделано нами в задаче 8.24 при нахождении ранга матрицы. Там мы пришли к ступенчатому виду

−

Отсюда находим, что

1 = −7 3 + 13 42 = −4 1 − 5 3 + 5 4 = −4(−7 3+13 4) − 5 3 + 5 4 = 23 3 − 47 4.

Переменные 3 и 4 свободные. Положив 3 = , 4 = , получим общее решение

Перепишем соотношения баланса (8.16) в виде системы линейных

где — единичная матрица.

Основная задача межотраслевого баланса состоит в отыскании такого валового объёма продукции для каждой из отраслей, который при известных прямых затратах обеспечивает заданный конечный продукт. Для её решения достаточно решить систему линейных алгебраических уравнений (8.17).

Пример 8.30. Определите вектор валового выпуска продукции трёх отраслей, если известны матрица прямых затрат и вектор конечного продукта

Домножим первую строку на 100, чтобы сделать её второй элемент кратным выбранному нами разрешающему элементу:

Итак, чтобы обеспечить конечный продукт , необходимо выпустить 700 единиц продукции первой отрасли, 500 — второй отрасли и 600 — третьей отрасли.