5.1.7. Производная сложной функции

Теорема 5.4 (о производной сложной функции). Если = ( , ) — дифференцируемая по переменным , функция и ( ), ( ) — функции, дифференцируемые по переменной , то сложная функция ( ) = ( ( ), ( )) также дифференцируема, и ее производная может быть вычислена по формуле:

Замечание 5.5. Требование дифференцируемости функции в теореме 5.4 является существенным. Действительно, формула (5.5) теряет силу, например, для рассмотренной в примере 5.12 функции

Эта функция непрерывна, имеет равные нулю частные производные, но не дифференцируема в начале координат. Если положить = и = , то по формуле (5.5) окажется, что

′(0) = ′ (0, 0) ′(0) + ′ (0, 0) ′(0) = 0 · 1 + 0 · 1 = 0.

5.1.8. Производная по направлению. Градиент

Определение. Выберем на плоскости точку 0( 0, 0). Построим луч , выходящий из точки 0. Тем самым мы зададим в точке 0 направление (рисунок 5.7).

Определение. Луч, задающий направление , образует с положительными направлениями осей координат и углы и . Величины cos и cos называются направляющими косинусами направления (рисунок 5.7).

Определение. Приращением функции = ( , ) в точке 0( 0, 0) по направлению называется величина

= ( 0 + cos , 0 + cos ) − ( 0, 0), (5.6)

где cos и cos — направляющие косинусы, задающие направление (смотрите рисунок 5.8).

Определение. Производной функции = ( , ) в точке 0 по направлению

называется предел отношения приращения этой функции в точке 0 по

Замечание 5.7. Величина ∂∂ характеризует быстроту изменения функции( , ) в точке 0 по направлению .

Если направление совпадает с положительным направлением оси , то производная по направлению ∂∂ совпадает с частной производной функции ( , ) по переменной . Если совпадает с положительным направлением оси , то ∂∂ есть частная производная функции ( , ) по .

Теорема 5.5. Если функция = ( , ) дифференцируема, то ее производная по направлению существует и может быть вычислена по формуле

Пример 5.14. Вычислить производную функции = 2 + 2 в точке (1; 2)

−→

по направлению вектора , где (3; 0).

Решение. Найдем единичный вектор e, имеющий заданное направление:

Вычислим частные производнгые функции в точке (1; 2):

Определение. Градиентом функции = ( , ) называется вектор, координаты которого равны частным производным этой функции:

Если направление задано единичным вектором e(cos , cos ), то по формуле (5.7)

что свидетельствует о справедливости следующего утверждения.

Теорема 5.6. Производная по направлению есть скалярное произведение градиента и единичного вектора, задающего направление.

Замечание 5.8. Как известно, скалярное произведение двух векторов максимально, если они одинаково направлены. Следовательно, градиент характеризует направление и величину максимального роста функции в выбранной точке, причем

Замечание 5.9. Умея находить градиент, можно с некоторой погрешностью строить линии уровня функции. Вдоль своей линии уровня функция не меняется, а по направлению градиента растет с максимальной скоростью. Это делает понятным с наглядной точки зрения тот факт, что градиент перпендикулярен линии уровня. Строгое математическое доказательство данного утверждения мы опускаем.

С учетом сделанного замечания линии уровня можно строить следующим образом. Выбирается, вообще говоря произвольно, некоторая точка0( 0; 0). Строится градиент в этой точке. Задается направление, перпендикулярное градиенту. Строится небольшой участок линии уровня. Рассматривается близкая к 0 точка 1( 1; 1) и строится градиент в ней. Далее построения повторяются.

Пример 5.15. Найти направление и величину максимального роста функции

= 3 2 + − 2 2 в точке (2; 1).

Решение. Вычислим частные производные функции в точке :

Отсюда grad (2; 1) = (13, −2). Этот вектор задает искомое направление максимального роста. Величина максимального роста равна