7.1.2. Необходимое условие сходимости числового ряда.

Исследование сходимости ряда является важнейшей задачей теории числовых рядов.

[Доказательство]

Итак, если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю при→ ∞. Отсюда следует, что если

lim ̸= 0

→∞

или не существует, то ряд ∑∞ расходится. Однако подчеркнем, что усло-

=1

вие (7.4) не является достаточным, т.е. если оно выполняется, то это не означает, что ряд сходится.

Пример 7.2. Исследовать на сходимость ряд

называемый гармоническим.

Решение. Очевидно, необходимое условие сходимости числовых рядов выполняется

lim 1 = 0.

→∞

Однако этот ряд расходится. Действительно, предположим противное. Пусть ряд (7.5) сходится и

т.е. данный ряд расходится.

7.1.3. Достаточные условия сходимости.

Вначале достаточные условия сходимости будем искать для рядов с неотрицательными членами, т.е. будем рассматривать ряды:

∑+∞

=1

Теорема 7.4. Для того, чтобы ряд (7.7) сходился, необходимо и достаточно,

чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.

[Доказательство]

Теорема 7.5 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными

Тогда из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А), а из расходимости ряда (А) — расходимость ряда В.

Образно говоря, признак сравнения свидетельствует о том, если сходится некоторый ряд с неотрицательными членами, то ряд с меньшими неотрицательными членами также сходится. Наоборот, если ряд с неотрицательными членами расходится, то ряд с большими неотрицательными членами также расходится.

∑∞ 1

Пример 7.4. Исследовать сходимость ряда =1 , 0 < < 1.

Решение. Применим признак сравнения, воспользовавшись тем, что гармонический ряд (пример 7.2) расходится. Очевидно,

достаточно быстро.

Теорема 7.6 (признак Даламбера). Пусть дан ряд с неотрицательными чис-

лами

∑∞

=1

и существует предел

lim +1 = .

→∞

Тогда, если < 1, то ряд сходится, если > 1, то ряд расходится. Если= 1, то ряд может сходиться, а может и расходиться. [Доказательство]

Приведем без доказательства еще один признак.

Теорема 7.7 (признак Коши). Пусть дан ряд

∑∞

=1

с неотрицательными членами и существует предел

√

lim = .

→∞

Тогда, если < 1, то ряд сходится, если > 1, то ряд расходится. Если

= 1, то ряд может сходиться, а может и расходиться.

Внекоторых случаях удобно пользоваться следующим признаком.

Теорема 7.8 (интегральный признак). Пусть дан ряд

∑∞

, > 0, N.

=1

Если его члены могут быть представлены как числовые значения некоторой непрерывной, монотонно убывающей на промежутке [1, +∞) функции ( ) так, что ( ) = , N, то для сходимости ряда необходимо и достаточно сходимости несобственного интеграла 1-го рода

∫+∞

( ) .

1

Пример 7.5. Исследовать сходимость следующих рядов:

Ряд сходится.

б) К данному ряду удобно применить признак Коши:

Ряд расходится.

Приведенные выше достаточные условия сходимости относятся к рядам с неотрицательными членами. Теперь рассмотрим еще один тип рядов — знакочередующиеся ряды.

Определение. Знакочередующимся рядом называется ряд вида

где > 0, N.

Теорема 7.9 (признак Лейбница). Если члены ряда (7.8) удовлетворяют условиям:

1) > +1 N;

2) lim = 0,

→∞

то ряд (7.8) сходится и его сумма не превосходит 1, т.е. 6 1.

∑∞ (−1) +1

Пример 7.6. Исследовать сходимость ряда .

=1

Решение. Данный ряд является знакочередующимся. Он удовлетворяет условиям признака Лейбница, так как

Значит рассматриваемый ряд сходится.