5.2.4. Метод множителей Лагранжа

На примере 5.20 мы могли убедиться, что задача нахождения условного экстремума может быть сведена к задаче нахождения экстремума функции одной переменной. Такой подход, однако, подвержен следующим недостаткам:

1)из уравнения связи приходится находить явное выражение одной переменной через другую, что может быть весьма сложной, а иногда и неразрешимой, задачей;

2)функцию приходится исследовать в искусственно выбираемых точках, с помощью которых линия, задаваемая уравнением связи, разбивается на части.

Преодолеть эти недостатки позволяет так называемый метод множителей Лагранжа.

Определение. Функция переменных , и

( , , ) = ( , ) + ( , ),

где ( , ) — уравнение связи, называется функцией Лагранжа, а — множителем Лагранжа.

Метод множителей Лагранжа состоит в применении следующей теоре-

мы.

Теорема 5.9. Если точка 0( 0; 0) является точкой условного экстремума функции = ( , ) на множестве, определяемом уравнением связи( , ) = 0, то существует такое значение 0, при котором точка ( 0, 0, 0) является точкой безусловного экстремума функции Лагранжа ( , , ).

значения ( ) = −√2 и ( ) = √2 в которых являются искомыми минимумом и максимумом функции .

5.2.5. Экстремум выпуклых функций

Определение. Множество R2 называется выпуклым, если вместе с любыми своими точками и оно целиком содержит соединяющий их отрезок.

На рисунке 5.15 изображены выпуклые множества, а на рисунке 5.16 — множества, не обладающие свойством выпуклости.

Определение. Функция, заданная на выпуклом множестве , называется выпуклой вниз, если все точки графика этой функции, соответствующие произвольному отрезку [ , ] из множества , лежат не выше хорды, соединяющей точки ( , ( )) и ( , ( )).

Аналогично функция называется выпуклой вверх, если для всякого отрезка из множества график функции в точках этого отрезка лежит не ниже соответствующей хорды (рисунок 5.17).

Можно доказать, что для выпуклой функции равенство нулю частных производных является не только необходимым условием экстремума, но и достаточным. В частности, выпуклая функция не может иметь седловых точек. Более того, экстремум выпуклой функции является глобальным, то есть наименьшим значением во всей области определения в случае функции, выпуклой вниз, и наибольшим — в случае функции, выпуклой вверх.

z

f (a) b

b f (b)

O

y

a b

x

Рисунок 5.17