Часть I. Теория

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных 5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

5.1. Функция двух переменных. Дифференциал

5.1.1.Определения

5.1.2.Предел функции двух переменных

5.1.3.Непрерывность функции двух переменных

5.1.4.Частные производные

5.1.5.Частные производные высших порядков

5.1.6.Дифференцируемость и дифференциал

5.1.7.Производная сложной функции

5.1.8.Производная по направлению. Градиент

5.1.9.Производственная функция Кобба — Дугласа

5.1.1. Определения

Определение. Пусть — некоторое множество точек ( , ) плоскости R2. Правило , ставящее в соответствие каждой упорядоченной паре действительных чисел ( , ) единственное число из множества действительных чисел R называется функцией двух переменных и обозначается

= ( , ) либо : → R.

Множество при этом называется областью определения функции. Множество значений, принимаемых функцией в области определения, называется множеством значений функции.

Множество значений является подмножеством множества действительных чисел R, а область определения — подмножеством точек плоскости

.

Функцию двух переменных можно изобразить графически. Для этого в каждой точке ( , ) вычисляется значение функции = ( , ). Тогда тройка чисел ( , , ) = ( , , ( , )) определяет в системе декартовых координат в пространстве некоторую точку (смотрите рисунок 5.1).

Определение. Совокупность точек ( , , ( , )) (смотрите рисунок 5.1) представляет собой поверхность в трехмерном пространстве, которая называется графиком функции = ( , ).

Пример 5.1. Графиком линейной функции = + + является плос-

кость.

√

Пример 5.2. Для функции = 1 − 2 − 2 область определения ( ) есть единичный круг 2 + 2 6 1, а множество значений — отрезок [0; 1]. График этой функции представляет собой верхнюю полусферу радиуса 1 с центром в начале координат (рисунок 5.2).

Наглядное представление о функции двух или трех переменных может дать картина ее линий уровня.

z

f (x, y)

z = f (x, y)

b P

y

O

y

x

Рисунок 5.1

Определение. Линией уровня функции = ( , ) называется множество точек ( , ) плоскости , удовлетворяющих равенству ( , ) = , где— константа.

Другими словами, линия уровня — это кривая, во всех точках которой функция принимает одно и то же постоянное значение . Геометрически линии уровня получаются как проекции на плоскость линий пересечения графика функции и горизонтальных плоскостей = .

Пример 5.3. Построить семейство линий уровня параболоида вращения

= 2 + 2.

Решение. Придавая постоянной значения 0, 1, 2, . . . (константа , очевидно, не может быть отрицательной), получим уравнения некоторых линий уровня. Например,

z

z = x2 + y2

> 0, которые получаются в результате пересечения поверхности параболоида = 2 + 2 с плоскостями = (смотрите рисунок 5.3).

Линии уровня используются в картографии. Так, например, на топографических картах рисуют линии равной высоты над уровнем моря, на метеорологических картах изображают линии одинакового давления — изобары.

По линиям уровня, построенным для некоторой рассматриваемой функции с одинаковыми промежутками между значениями 1, 2, 3, . . . ,, . . . , можно получить представление о графике функции (то есть о форме поверхности). В тех местах, где линии располагаются «гуще», функция при переходе от одного значения к другому меняется быстрее, чем там, где линии распределены реже.

Определение. Пусть множество R вместе с каждой точкой ( ; ) содержит точки ( ; ) для всех R. Функция : → R называется однородной степени , если

( , ) = ( , ).

Число называется степенью однородности.

Пример 5.4. Так как для функции ( , ) = 5 + 9

( , ) = 5 + 9 = (5 + 9 ) = ( , ),

то эта функция является однородной степени = 1.

Значит, функция однородная степени = 0.