Часть I. Теория
Глава 3. Теория дифференцирования 3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
Меню |
Назад Вперёд |
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора
3.3.1.Правила Лопиталя
3.3.2.Формула Тейлора
Часть I. Теория |
|
Глава 3. Теория дифференцирования |
|
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора |
|
Меню 3.3.1. Правила Лопиталя |
Назад Вперёд |
3.3.1. Правила Лопиталя
Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки= , ( ) = ( ) = 0 и ′( ) ̸= 0 при ̸= . Тогда, пользуясь теоремой Коши, можно записать:
|
|
( ) − ( ) |
= |
′( ) |
, |
|
|
||||
|
( ) − ( ) |
|
|
||||||||
|
|
′( ) |
|||||||||
где точка находится между точками и . Иначе говоря, |
|||||||||||
|
|
|
|
( ) |
′( ) |
||||||
|
|
|
|
|
= |
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
( ) |
′( ) |
||||||
Если → , то |
→ |
и, следовательно, если существует lim |
′( ) |
, |
|||||||
′( ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
||
то существует и предел |
lim |
( ) . Это утверждение и называют правилом |
|||||||||
|
→ |
( ) |
|
|
|
|
|
|
|||
Лопиталя. Сформулируем его более строго в виде следующей теоремы.
Теорема 3.10 (правило Лопиталя). Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , за исключением, может
быть, самой точки . Пусть функции и являются БМФ при
′( ) ̸= 0 в окрестности точки . Тогда, если существует lim ′′( ) , то
→ ( )
lim |
( ) |
= |
lim |
′( ) |
. |
|||
|
|
|||||||
|
→ |
( ) |
|
|
′( ) |
|||
|
|
|
|
|
→ |
|||
→ и
(3.20)
Таким образом, в данном случае предел отношения двух БМФ сводится к пределу отношения их производных, что часто является весьма удобным приемом при вычислении пределов. Проиллюстрируем это на примере.
Пример 3.11. Найти предел lim |
sin 4 |
. |
|
||
→0 |
tg 2 |
|
Часть I. Теория |
|
Глава 3. Теория дифференцирования |
|
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора |
|
Меню 3.3.1. Правила Лопиталя |
Назад Вперёд |
Решение. В данном случае условия правила Лопиталя выполняются. Функ-
ции ( ) = sin 4 и ( ) = |
tg 2 |
являются дифференцируемыми функция- |
||||||||||
ми, например, на интервале |
|
; |
|
и (0) = (0) = 0. Применим форму- |
||||||||
лу (3.20): |
|
|
|
(− 4 |
4 ) |
|
|
|
|
|
||
lim |
sin 4 |
= lim |
(sin 4 )′ |
= |
lim |
|
4 cos 4 |
= 2 lim cos 4 cos2 2 = |
||||
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
→0 |
tg 2 |
→0 |
(tg 2 )′ |
→0 |
2 · |
|
→0 |
|||||
cos2 2 |
||||||||||||
|
|
= 2 lim cos 4 lim cos2 2 = 2. |
|
|||||||||
|
|
→0 |
→0 |
|
|
|
|
|
|
|||
Таким образом, первоначально мы имеем неопределенность вида 00 , после перехода к пределу отношения производных такая неопределенность уже отсутствует.
Если функции и дважды дифференцируемы в некоторой окрестно-
сти точки , ( ) = ( ) = ′( ) = ′( ) = 0 и существует lim |
′′( ) |
, то имеет |
|||||
место равенство: |
|
|
′′( ) |
→ |
′′( ) |
|
|
lim |
( ) |
= |
lim |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
→ ( ) |
|
→ ′′( ) |
|
|
|||
Это означает, что если ′( ) и ′( ), в свою очередь, являются БМФ
при → , то правило Лопиталя применимо к пределу lim |
′( ) |
. |
|
||||||
′( ) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
||
Нетрудно сформулировать условия, при которых справедлива следую- |
|||||||||
щая формула: |
|
|
( )( ) |
|
|||||
lim |
( ) |
= lim |
(3.21) |
||||||
|
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||
→ ( ) |
→ |
( )( ) |
|
||||||
Пример 3.12. Найти предел lim |
− sin |
. |
|
|
|
|
|
||
→0 |
3 |
|
|
|
|
|
|||
Решение. Функции ( ) = − sin и ( ) = 3 являются БМФ при → 0. Применяя правило Лопиталя, найдем:
lim |
− sin |
= lim |
( − sin )′ |
= lim |
1 − cos |
. |
||||
3 |
( 3)′ |
|
||||||||
0 |
|
→ |
0 |
|
→ |
0 |
3 2 |
|||
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часть I. Теория |
|
Глава 3. Теория дифференцирования |
|
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора |
|
Меню 3.3.1. Правила Лопиталя |
Назад Вперёд |
Очевидно, ′( ) = 1 − cos и ′( ) = 3 2 также являются бесконечно малыми при → 0. Поэтому имеем:
lim |
− sin |
= lim |
(1 − cos )′ |
= lim |
sin |
. |
||||
3 |
(3 2)′ |
|
||||||||
|
→ |
0 |
|
→ |
0 |
0 |
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
||
Последний предел есть первый замечательный предел. Однако и его можно вычислить с помощью правила Лопиталя:
lim |
− sin |
= |
1 |
lim |
(sin )′ |
= |
1 |
lim cos = |
1 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||||
3 |
6 |
( )′ |
6 |
|
||||||||
0 |
|
0 |
|
0 |
6 |
|||||||
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
→ |
|
|
При вычислении этого предела можно было воспользоваться формулой (3.21), положив = 3.
Правило Лопиталя остается в силе и в случае = ∞ или = ±∞. В
частности, если функции и |
являются БМФ при |
|
→ ∞ |
и существует |
||||||||||||||||||
lim |
′( ) |
, то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
→∞ ′( ) |
|
|
|
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
′( ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
= |
lim |
. |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
→∞ ( ) |
|
|
→∞ |
′( ) |
|
|
|
|
|
||||||
|
Действительно, |
( ) |
|
|
′ ( |
)( |
2 ) |
|
|
′ ( |
) |
|
|
|||||||||
→∞ ( ) |
→0 |
→0 |
→0 |
→∞ ′( ) |
||||||||||||||||||
|
lim ( ) = lim |
|
1 |
|
|
|
′ |
1 |
|
− |
1 |
|
|
|
′ |
1 |
|
= lim ′( ) . |
||||
|
|
|
|
= lim |
|
|
2 |
|
= lim |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
( |
1 |
) |
|
|
( |
1 |
)(− |
1 |
) |
|
|
( |
1 |
) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итак, мы рассмотрели случай отыскания предела частного (( )) , когда функции ( ) и ( ) являются БМФ при → . Теперь рассмотрим такой же предел, когда функции ( ) и ( ) являются ББФ при → . Можно показать, что в этом случае имеет место утверждение, аналогичное теореме 3.10. При этом можно полагать, что = ∞ или = ±∞.
Пример 3.13. Найти lim |
ln2 |
. |
|
||
→+∞ |
|
|
Часть I. Теория |
|
Глава 3. Теория дифференцирования |
|
3.3. Правила Лопиталя. Формула Тейлора |
|
Меню 3.3.1. Правила Лопиталя |
Назад Вперёд |
Решение. Функции ( ) = ln2 и ( ) = являются ББФ при → +∞. |
||||||||
Применим правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
||
lim |
ln2 |
= |
lim |
2 ln · 1 |
= 2 |
lim |
ln |
. |
|
1 |
|
||||||
→+∞ |
|
→+∞ |
|
→+∞ |
|
|||
Очевидно, целесообразно еще раз применить правило Лопиталя. Получим
|
ln2 |
1 |
|
1 |
|
||
lim |
|
= 2 lim |
|
= 2 |
lim |
|
= 0. |
|
|
|
|||||
→+∞ |
→+∞ 1 |
|
→+∞ |
|
|||