Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vyshaya_matem.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

13.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179180 / 206180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 > Следующая >>>

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования

Меню	Назад Вперёд

Глава 3

Теория дифференцирования

3.1.Производная. Вывод таблицы

3.2.Дифференцируемость функции. Основные теоремы дифференци- ального исчисления

3.3.Правила Лопиталя. Формула Тейлора

3.4.Исследование функции с помощью производной

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

3.1. Производная. Вывод таблицы

229.Найдите производные функций:

1)= 3 + 3 2 − 4;

2)= 2 4 − 23 3 − 4 + 5;

3)		4					√		8		1				;
	=			− 5 +						−		3√3
		4							2
		4							2
4)			5				√3		1		10					;
			5				√3		1		10
	= 3				− 3			−			+		√5
									2 3
									2 3					4
5)	= sin · ;
6)	= · arcctg ;
7)	= √4			· ln ;
7)	= √4			· ln ;
8)	= 2 tg ;
9)	=	cos				;
9)	=	ln				;
		ln
10)	=		3				;
10)	=	2 + 1					;
11)	=	2 + 1					;
11)	=	2 −				1	;
		2 −				1
12)	=	1 +					;
12)	=	1 −					;
		1 −
13)	=	ln				+ ctg ;
13)	=	sin				+ ctg ;
		sin

[Решение] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню Назад Вперёд

14)

= sin 2 ;

[Ответ]

15)

= arcsin 4 ;

[Ответ]

16)

= log3(2 − 5);

[Ответ]

17)

= tg(5 + 1);

[Ответ]

18)

= (3 − 8)7;

[Ответ]

19)

= ln √

;

[Ответ]

20)

= sin2 ;

[Ответ]

21)

= cos3 ;

[Ответ]

22)

= arcsin

;

[Ответ]

23)

= ln 3 ;

[Ответ]

24)

arctg

;

[Ответ]

25)

= arctg ;

[Ответ]

26)

−

;

[Ответ]

27)

= ln( + √

[Ответ]

+ 1);

= ln( + √

28)

+ 1);

[Ответ]

29)

= ln sin ;

[Ответ]

30)

= ln cos ;

[Ответ]

√

31)

√

1 − 2;

[Ответ]

32)

1 + 5 cos ;

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

33)= 12 (sin + cos );

34)= ln ln ;

35)= arcsin √ .


230.	Найдите производные функций:
1)	= tg2 3 ;

3) = 3√4 2−5 +1;					+ 1);
2)	=	arcsin(5
4)	= sin2 · 4 +1;
5)	= arccos3		(	2	+ 1);
				2
6) = ln		3 − 2 + 1				;
		2 + 4
7)	= cos (2 3 );

4 +1

8)= ctg 3 ;

√

9)= 3 sin2 3 + cos2 3 ;

10)= √ 2 − 2 + 2 arcsin ; 2 2


11)	=	2		√ 2	+ 2 +		2	ln ( + √ 2 + 2
							2
12)	=		ln sin			;
12)	=	ln cos				;
		ln cos

)

;

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню

13)= (2 + 3 2)4;

14)= tg + 13 tg3 + 14 tg4 ;

√

15)

5 cos(1 − 2);

16)

ctg 7

;

( 2 + 1)3

17)

;

4(1 + 3 cos )7

18)

;

4(1 + 3 cos )7

19)

2 − + 1

;

2 + + 1

20)

= √

;

+ 1

21)

= 2arccos 3 + (1 − arcsin 3 )2;

22)

= √3

+ ln7 ;

3 + 2 − 1

23)

√

1 −

9 2 arccos 3 ;

24)

= sin(

+ 4 );

25)

√

;

2 + + 1

26)

= sin3

;

27)

= ln (

);

11 +

√

+ + 1

28)

= arctg

;

1 −

29)

= √

;

cos(4 + 4− )

Назад Вперёд

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ] [Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню

	= 4√					;
30)	= 4√	2+2 +2				;
	arccos							8		3
31)	= (5 3				− tg				4) ;
32)	= (5 3								4) ;
32)	= sin		(√ + lg )							;
	√
33)	= ln			2 − 1					;
33)	= ln			( 2 + 1)3					;
				( 2 + 1)3
34)	= tg6 5 + 7						2	;
34)	= tg6 5 + 7						3 −1	;
35)	= ln5( − 2− );

Назад Вперёд

[Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

[Ответ] [Ответ]

231.Применяя логарифмическое дифференцирование, найдите производные следующих функций:

(sin ) ;

(tg 2 ) 2 ;

3) = ( 2 + 3 ) −2;

= 2 ;

= ( + 1)( + 2)2( + 3)3;

6) =

√5

;

(

( − 3)3

+ 1)( + 3)

+√

cos 2 4 (2 − 3)3

;

(

1)2 ctg

2 2−3 · (1 − 5 )3 · √

3 + 1

;

(6 + 5)10 · √3 2 + 2

= (arcsin 5 )tg √

;

[Решение] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ] [Ответ]

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню

Назад Вперёд

10)

;

[Ответ]

= (3 + 1)

11)

= + + ;

;)

[Ответ]

13)

= (tg(

7 )lg(3 +1)

cos 6 ;

[Ответ]

12)

ctg(4 − 1)3

[Ответ]

14)

= (sin 5 )cos 5 + cos 5 ;

[Ответ]

15)

+ ;

[Ответ]

16)

= (ctg 5 ) 3−1;

[Ответ]

17)

= (sin(5 − 1))ctg ;

[Ответ]

18)

= (6 − 9) 2 ;

[Ответ]

19)

= (arcsin 8 )tg(3 −8);

[Ответ]

20)

= (tg )sin(3 +7).

[Ответ]

232.

Найдите значение производной функции в указанной точке:

= √5 4 − 3 5 + 4 2ln 4, ′(1)−?;

[Решение] [Ответ]

, ′ ((10)

= ln(sin 5 ) − 4

+ 5

−?;

[Ответ]

√ · (4 − 5), ′(ln 2)−?;

[Ответ]

= ln

( −

4)3

+ ( −

4)3, ′(5)−?;

[Ответ]

= ( + 1) arctg −2 , ′(0)−?;

[Ответ]

= ln 2 − tg , ′

(

3 )−?;

[Ответ]

2 + tg

− ;

[Ответ]

= arcsin

− 1

′

(5)

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню									Назад Вперёд
8)	= (4 2			− 3 + 1)3, ′′(0)−?;					[Ответ]
9)	= sin(7 2				+ ), ′′(0)−?;				[Ответ]
10)	= 4 2−5 , ′′(0)−?;								[Ответ]
11)				1	, ′′(2)−?;				[Ответ]
	= arcsin
	= arcsin						4 )−?;
12)	= 8 −			4 cos2 , ′′′ (			4 )−?;		[Ответ]
		1		1
13)	= cos( 2 + 3 ), ′′′(0)−?;								[Ответ]
14)	= sin(2 2				+ 5 ), ′′′(0)−?;				[Ответ]
15)	= 4 2− , ′′′(0)−?;								[Ответ]
16)	6 2 − − 2 + 18 − 8 = −12, ′ в точке (−2, 0)−?;								[Ответ]
17)		= − , ′ в точке (0, 1)−?;							[Ответ]
18)	4	− + 4 = 1, ′′ в точке (0, 1)−?;							[Ответ]
19)		+ − = 0, ′′ в точке (1, 0)−?;							[Ответ]
233.	Найдите производные второго порядка от функций:
1)	= 3 2 − + 5;							[Решение] [Ответ]
2)	= 2 ;								[Ответ]
3)	= ctg ;								[Ответ]
4)	= √					;			[Ответ]
4)	= √		1 + 3			;			[Ответ]
5)	= arcsin 2 ;								[Ответ]
6)	= cos2 .								[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню Назад Вперёд

234.	Найдите производные третьего порядка от функций:
1)	= 5 2 − 104 − 3;			[Решение] [Ответ]
2)	= sin ;			[Ответ]
3)	= 2 2 cos ;			[Ответ]
4)	= arctg		;	[Ответ]

	3
5)	= − ;			[Ответ]
6)	= ln .			[Ответ]
235.	Найдите производные -го порядка от функций:
1)	= − ;			[Решение] [Ответ]
2)	= sin 2 ;			[Ответ]
3)	= cos	;		[Ответ]

	3
4)	= 4 − 3 3 + 2 − − 1;			[Ответ]
5)	= 23 −5;			[Ответ]
6)	= 2 ln .			[Ответ]

236.Применяя формулу Лейбница, найдите производные указанного порядка порядка от функций:

1)	= sin , (100)−?	[Решение] [Ответ]
2)	= 2 2 , (20)−?	[Ответ]
3)	= 2 sin 2 , (50)−?	[Ответ]
4)	= cos , (4)−?	[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню					Назад Вперёд
		ln
5)	=		, (5)−?		[Ответ]

		2
6)	=			, (8)−?	[Ответ]
		1 −

237.Напишите уравнения касательной и нормали к кривой = ( ) в точке

= 0. Найдите угол наклона этой касательной к оси . Постройте грацик функции, искомую касательную и нормаль.

= ln , 0 = 1;

[Решение] [Ответ]

= 2 − 2 , 0 = −1;

[Ответ]

= sin , 0 =

;

[Ответ]

= , 0 = 0;

[Ответ]

= 3, 0 = 2;

[Ответ]

= arctg , 0 = 0;

[Ответ]

= 2 − 7 + 3, 0 = 1;

[Ответ]

, 0 = −1;

[Ответ]

= √

, 0 = 5.

[Ответ]

+ 4

238.

Выяснить, в каких точках

кривой

= 3

−

5 2

+ 7 + 4 касательная

составляет с осью угол

4 .

[Ответ]

239.

Найти точки на кривой =

−

9 2

+ 20 − 7, в которых касательная

составляет параллельна оси .

[Ответ]

240.

Найти точку на кривой

= −3 2

+ 4 + 7, касательная в которой

перпендикулярна прямой − 20 + 5 = 0.

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню Назад Вперёд

241.	Найти точку на кривой = 3 2 − 4 + 6, касательная в которой парал-
	лельна прямой 8 − − 5 = 0.	[Ответ]
242.	На кривой = 3 найти точки, в которых касательные параллельны
	биссектрисе I и III координатных углов. Сделать рисунок.	[Ответ]

243.Записать уравнения касательных и нормалей к кривой = 4 − 3 в точках ее пересечения с осью .

244.Составить уравнения касательных к графику функции = −+53 в точках его пересечения с прямой + 2 + 3 = 0. Сделать рисунок.

245. Определить угловой коэффициент касательной к кривой

2 − 2 + − 11 = 0 в точке (3; 2).

246.Найти точки на кривых, в которых касательные к графикам функций( ) = 3 − − 1 и ( ) = 3 2 − 4 + 1 параллельны.

247.Записать уравнения касательных к гиперболе = 4 в точках с абс-

циссами 1 = 1 и 2 = −4 и найти угол между этими касательными. Сделать рисунок.

248. Составить уравнение касательной к графику функции =	√
248. Составить уравнение касательной к графику функции =	2 − 5,
проходящей через точку (−1; −3). Сделать рисунок.

249.Найти точку на кривой = ln , в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки (1; 0) и ( ; 1) этой кривой.

250.Найти угол наклона касательной к графику функции, проходящей через точку .

1)( ) = 12 2 + 2 − 0, 5, (1; 2);

2)( ) = 32 2 − 4 + 6, (2; 4).

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

251.Найти расстояние от вершины параболы = 2−4 +5 до касательной, проведенной в точке пересечения параболы с осью .

252.В какой точке параболы = 2 − 2 + 5 надо провести касательную, чтобы она была перпендикулярна биссектрисе первого координатного угла.

253.В уравнении параболы = 2 + + определить и , если парабола касается прямой = в точке 0 = 2.

254.	Найти	уравнение	общей касательной	к	графикам	функций
	( ) = 3 2 − 5 − 2 и ( ) = 2 2 − − 6.					[Ответ]
255.	Найти	угол между касательными		к	графику	функции
	( ) =	3 3 − 7 2	+ 3 + 5, проведенными в точках с абсциссами

1 = 0 и 2 = 1.

256.Найти угол между двумя касательными, проведенными из точки (0; −1) к графику функции ( ) = 2.

257.Найти координаты центра окружности, описанной около треугольника, образованного осями координат и касатеьной к гиперболе = 7 в

	точке (7; 1).	[Ответ]
258.	Найти угол, под которым пересекаются кривые. Сделать рисунок.
1)	2 = 2 и 2 + 2 = 8;	[Решение] [Ответ]

2)2 = 2 и = 4 − 12 2;

3)= 0, 5 и = cos ;

4)= 1 и = √ ;

5)= 8 и 2 − 2 = 12.

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

259.Пусть функция = ( ) характеризует зависимость издержек производства от количества выпускаемой продукции. Определите средние и предельные издержки при объеме продукции = 0 ед.

1)	( ) = 50 − 0, 05 3, 0 = 10;			[Решение] [Ответ]
	2 + 2
2)	( ) =		, 0 = 4;	[Ответ]
		2 + 4
3)	( ) = 2 +1, 0 = 1;			[Ответ]
4)	( ) = ln( 3 + 3 + 1), 0 = 10.			[Ответ]

260.Зависимость между себестоимостью единицы продукции (тыс.руб.) и выпуском продукции (млн.руб.) выражается функцией = ( ). Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном

	= 0 млн.руб.
1)	( ) = −0, 5 + 80, 0 = 60;								[Решение] [Ответ]
2)	( ) = sin 2 ,			0 =				;	[Ответ]
2)	( ) = sin 2 ,			0 =			3	;	[Ответ]
							3
3)	( ) = 3 + + 1,						0 = 2;		[Ответ]
4)	( ) = 4 ln ,			0 = 2.					[Ответ]
261.	Объем продукции , произведенный бригадой рабочих, может быть
	описан уравнением = ( ) (ед.), 1 6								6 8, где — рабочее вре-
	мя в часах. Вычислите производительность труда, скорость и темп ее
	изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.
	5			15
1)	( ) = −		3 +			2 + 100 + 50;			[Решение] [Ответ]
1)	( ) = −	6	3 +		2	2 + 100 + 50;			[Решение] [Ответ]
2)	( ) = ln(2 + 5);								[Ответ]
3)	( ) = − 3 + 7 2 + 100 + 25;								[Ответ]
4)	( ) = − + .								[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.1. Производная. Вывод таблицы

Меню	Назад Вперёд

262.Опытным путем установлены функции спроса = ( ) и предложения= ( ), где и — количество товара, покупаемого и предлагаемого на продажу соответственно, — цена товара. Найти: а) равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.

1)	( ) =	+ 8		, ( ) = + 0, 5;		[Решение] [Ответ]
		+ 2

2)	( ) =	4		, ( ) = 2 − 1;		[Ответ]

		+ 3
3)	( ) =	12		, ( ) = log2( + 5);		[Ответ]

		+ 1
4)					, ( ) = ( − 1)2 + 1.	[Ответ]
	( ) = sin
			2

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

Меню	Назад Вперёд

3.2.Дифференцируемость функции. Основные теоремы дифференциального исчисления

263.Найдите дифференциалы первого порядка следующих функций:

= arcsin 2 ;

[Решение] [Ответ]

+ 1

;

[Ответ]

− 1

= √

;

[Ответ]

arccos 2

= 2 tg 3 ;

[Ответ]

= 2 ;

[Ответ]

= ln (2 2 − 3 + 1).

[Ответ]

264.

Используя дифференциал первого порядка, вычислите приближенно:

√

;

[Решение] [Ответ]

√

;

[Решение] [Ответ]

1, 2

log2 1, 9;

[Решение] [Ответ]

arctg 1, 01;

[Ответ]

5, 993;

[Ответ]

arcctg 0, 99;

[Ответ]

√4

;

[Ответ]

√3

;

[Ответ]

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

Меню

Назад Вперёд

arctg

;

[Ответ]

10)

arcsin

;

[Ответ]

100

11)

sin 29 ;

[Ответ]

12)

(3, 01)4;

[Ответ]

13)

;

[Ответ]

14)

sin 31 ;

[Ответ]

15)

√

;

[Ответ]

16)

√3

;

[Ответ]

126

17)

√5

;

[Ответ]

18)

√4

;

[Ответ]

19)

cos 91 ;

[Ответ]

20)

tg 44 ;

[Ответ]

21)

ln( + 1);

[Ответ]

22)

arctg 0, 98;

[Ответ]

23)

(3, 03)4;

[Ответ]

24)

ln 0, 96.

[Ответ]

265.

Найти приближенные значения функций:

= 3 + 2

при = 2, 01;

[Ответ]

√

при = 2, 9;

[Ответ]

+ 16

Часть II. Задачи

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

Меню										Назад Вперёд
	=	√					= 3, 02
3)		4			−	при			;	[Ответ]
		√
			1		+
4)		√						при = 1, 3.		[Ответ]
	=			2 − 5 + 12

<<< < Предыдущая 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179180 / 206180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019147.83 Кб10vse_krome_10-go_1.docx
#
22.09.20192.13 Mб31vse_new_format.docx
#
14.04.2019642.56 Кб20vse_nuzhnoe_33_ped_33__33.doc
#
20.09.2019295.94 Кб6Vse_shpory_po_OOP_polnye.doc
#
21.09.2019605.7 Кб10vsyo.doc
#
19.02.201613.06 Mб85vyshaya_matem.pdf
#
29.08.2019298.91 Кб2xr_3.docx
#
05.09.201928.28 Кб4Yarik.docx
#
18.02.2016316.63 Кб99ya_shpory.docx
#
18.02.2016671.78 Кб41zadachi_1-25.pdf
#
25.09.201938.62 Кб4Zadachi_33__33__33.docx