Часть I. Теория Глава 7. Ряды
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Меню Назад Вперёд
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Определение. Функциональный ряд вида
|
|
∞ |
|
|
+ 1( − ) + 2( − )2 + . . . + ( − ) + . . . = |
∑ |
|
0 |
( − ) , |
(7.11) |
|
|
|
=0 |
|
где |
R, = 0, 1, . . . , R, называется степенным рядом. Числа |
||
0, 1, . . . , называются коэффициентами степенного ряда (7.11). |
|
||
|
Если = 0, то ряд (7.11) имеет вид |
|
|
|
∞ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
. |
|
(7.12) |
|
=0 |
|
|
|
Именно такие степенные ряды будем изучать. Если в (7.11) положить |
||
− = , то придем к ряду вида (7.12). |
= 0. Если ̸= 0, то |
||
|
Степенной ряд (7.12) всегда сходится в точке |
||
ряд (7.12) может сходиться, а может и расходиться. |
|
|
|
Важную роль в теории степенных рядов играет следующая теорема.
Теорема 7.13 (Абеля). Если степенной ряд (7.12) сходится в точке 0 ̸= 0, то он сходится абсолютно в любой точке , | | < | 0|. [Доказательство]
Следствие 7.1. Если в точке 1 ̸= 0 степенной ряд (7.12) расходится, то он расходится во всех точках таких, что | | > | 1|. [Доказательство]
Теорема Абеля и ее следствие дают ясное представление об области сходимости степенного ряда. Для наглядности воспользуемся следующим приемом. Окрасим мысленно в зеленый цвет каждую точку сходимости ряда (7.12), а в красный цвет — любую точку расходимости ряда (7.12). Ясно,
Часть I. Теория Глава 7. Ряды
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Меню |
Назад Вперёд |
что точка = 0 всегда будет зеленой. Если степенной ряд сходится всюду на R, то вся числовая ось будет зеленой. Если степенной ряд везде расходится, то вся ось, за исключением точки = 0, будет красной. Если какая-нибудь точка 0 ̸= 0 будет зеленой, то зелеными будут и все точки, лежащие ближе к точке = 0 по обе стороны от нее. Если какая-либо точка 1 ̸= 0 будет красной, то будут красными все точки, лежащие дальше от точки = 0 по обе стороны от нее.
Так как каждая точка числовой оси является либо зеленой, либо красной, то, идя от точки = 0 вправо по числовой оси, сначала будем встречать только зеленые точки, а затем — только красные точки, причем граничная или разделяющая эти разноцветные участки точка может быть или зеленого, или красного цвета. То же самое можно сказать, если идти налево от точки = 0, в частности, в точке = − ряд может или сходиться, или расходиться (рисунок 7.1).
расходится |
сходится |
расходится |
−R |
0 |
R |
x |
|
|||
|
|
Рисунок 7.1
Определение. Число такое, что при всех , | | < ряд (7.12) сходится, а при всех , | | > ряд (7.12) расходится, называется радиусом сходимости ряда (7.12).
Определение. Интервал (− , ) называется интервалом сходимости ряда (7.12).
Часть I. Теория Глава 7. Ряды
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Меню Назад Вперёд
Если ряд (7.12) сходится только в точке = 0, то = 0; если ряд сходится для всех R, то = ∞.
Подчеркнем, что в каждой точке (− , ) ряд (7.12) будет сходиться абсолютно, в точках = ± может сходиться, а может и расходиться.
Теорема 7.14. Если существует предел |
|
|
|
|
||||
|
|
+1 |
|
|
||||
lim |
|
|
|
|
|
= , |
||
|
|
|
|
1 |
||||
→∞ |
|
|
|
|
|
|||
то радиус сходимости ряда (7.11) |
равен |
, т.е. |
||||||
|
= |
1 |
|
|
||||
|
|
. |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
[Доказательство]
Теорема 7.15. Если существует предел
√
lim | | = ,
→∞
то радиус сходимости ряда (7.11) |
|
|
= |
1 |
|
|
. |
|
|
||
Доказательство этой теоремы |
аналогично доказательству теоре- |
|
мы 7.14. |
|
|
Пример 7.9. Найти радиус сходимости и интервал сходимости следующих
степенных рядов: |
|
=0 ! ; |
|
|
! ; |
|
=0 (1 + |
) |
( − 1) . |
||||
а) |
=0 2 ; |
б) |
в) |
=0 |
г) |
||||||||
|
∞ |
|
∞ |
|
∞ |
|
|
∞ |
1 |
|
2 |
||
|
∑ |
|
∑ |
|
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
Часть I. Теория Глава 7. Ряды
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Меню |
Назад Вперёд |
Решение. а) Для отыскания радиуса сходимости в данном случае применим формулу теоремы 7.15:
|
|
|
→∞ √ |
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
| |
|
| |
|
|
→∞ |
2 |
|
= |
→∞ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
= |
lim |
|
|
|
|
= |
lim |
|
|
|
lim = 2, |
= |
|
1 |
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Данный степенной ряд сходится абсолютно на интервале |
(− |
1 |
, 1 . |
|||||||||||||||||||||||
б) Здесь воспользуемся формулой теоремы 7.14: |
|
|
2 |
2 ) |
||||||||||||||||||||||
|
lim |
|
+1 |
|
= |
lim |
|
( + 1)! = |
lim ( + 1) = |
|
|
, |
|
|
|
= 0, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
→∞ |
|
|
|
|
→∞ |
|
! |
|
|
|
→∞ |
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||||
т.е. данный степенной ряд сходится только в точке = 0. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
в) Поступаем аналогично, как в примере б): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
+1 |
|
= lim |
|
+ 1 |
= 0, |
= |
∞ |
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= →∞ |
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т.е. ряд сходится на всей числовой прямой (−∞, +∞).
г) Этот ряд имеет вид (7.11). Найдем радиус сходимости по формуле теоремы 7.15:
= |
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
= −1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(1 + |
|
1 |
|||
lim |
|
|
| |
lim |
1 |
||||||
|
→∞ |
√| |
|
|
→∞ |
) |
|
|
|||
Интервалом сходимости является | − 1| < −1, или (1 − −1, 1 + −1).
Пример 7.10. Найти интервал сходимости следующих степенных рядов и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:
∞ |
|
|
∞ |
|
|
|
∑ |
|
|
∑ |
|
|
. |
а) |
|
; б) |
|
|
|
|
=1 |
3 |
|
=1 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Часть I. Теория Глава 7. Ряды
7.3. Степенные ряды. Формула Тейлора
Меню Назад Вперёд
Решение. а) Имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
lim |
|
= lim |
|
|
|
|
= 3. |
= |
|
|
|
|
|
→∞ ( + 1)3 +1 |
→∞ 3( + 1) = 3 |
, |
|
||||
→∞ +1 |
|
|
|
||||||||||
Значит, интервал сходимости есть (−3, 3). Исследуем поведение ряда в граничных точках. Пусть = 3, тогда
∞ |
3 |
|
∞ |
1 |
|
|
∑ |
= |
∑ |
|
|
. |
|
=1 |
3 |
=1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
||
Это гармонический ряд, и он расходится. Пусть теперь = −3. Имеем:
∑∞ (−3) ∑∞ (−1)
=1 3 = =1 .
Это знакочередующийся ряд, по признаку Лейбница он сходится. Таким образом, данный степенной ряд сходится на промежутке [−3, 3).
б) Имеем:
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
||||
= |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
= 1, |
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|||||||
|
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
→∞ |
|
|
||
|
|
+2 +1 |
|
|||||||||||||
|
+1 |
|
|
|||||||||||||
→∞ |
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
интервал сходимости: ( |
|
1, 1). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если = ±1, то |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
lim = |
lim |
|
(±1) ̸= 0. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
+ 1 |
|
||||||||||||||
|
|
→∞ |
|
|
→∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Согласно необходимому условию, данный ряд в точках = ±1 расходится. 