Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной

3.4.Исследование функции с помощью производной

3.4.1.Условие постоянства функции.

3.4.2.Достаточное условие монотонности функции.

3.4.3.Необходимые и достаточные условия локального экстремума

3.4.4.Наибольшее и наименьшее значения функции

3.4.5.Выпуклые функции

3.4.6.Асимптоты графика функции

3.4.7.Общая схема исследования поведения функций и построения графиков функций

3.4.1. Условие постоянства функции.

Теорема 3.12. Пусть функция непрерывна на промежутке и имеет внутри

него производную ′( ). Для того, чтобы функция ( ) была постоянной в, необходимо и достаточно, чтобы ′( ) = 0 внутри . [Доказательство]

3.4.2. Достаточное условие монотонности функции.

В этом пункте рассмотрим достаточное условие строгой монотонности непрерывной функции на промежутке.

Теорема 3.13. Если функция непрерывна на промежутке , дифференци-

Решение. Рассматриваемая функция определена на числовой прямой. Най-

3.4.3.Необходимые и достаточные условия локального экстремума

Из определения локального максимума и минимума следует, что эти понятия носят локальный характер в том смысле, что неравенство ( ) < ( 0) ( ( ) > ( 0)) может и не выполняться для всех значений в области определения функции, а должно выполняться лишь в некоторой -окркестности точки 0. Следовательно, функция может иметь несколько локальных экстремумов (рисунок 3.6).

y

Теорема 3.14 (необходимое условие экстремума). Пусть функция определена на интервале ( ; ) и в некоторой точке 0 ( , ) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке 0 существует производная, то она равна нулю, т.е. ′( 0) = 0.

Заметим, что приведенное условие повторяет теорему Ферма. Другими словами, теорема Ферма является необходимым условием экстремума функции.

Определение. Значение аргумента , при которых производная ′( ) равна нулю, бесконечности или не существует, называется критической точкой функции.

Определение. Стационарной точкой функции называется критическая точка, в которой производная ′( ) равна нулю.

Только стационарные точки могут быть точками возможного экстремума у дифференцируемой функции. Однако не каждая стационарная точка является точкой экстремума. Например, функция = 3 имеет стационарную точку = 0 ( ′ = 3 2), но эта точка, очевидно, не является точкой экстремума. Поэтому целесообразно найти достаточные условия локального экстремума.

Теорема 3.15 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция

минимум. Если ′( ) имеет во всей -окрестности один и тот же знак, то в точке 0 локального экстремума нет. [Доказательство]

Таким образом, если производная ′( ) меняет знак при переходе через точку 0, то функция имеет в точке 0 локальный экстремум. Причем если производная меняет знак с «+» на «−», то точка 0 является точкой максимума, если же с «−» на «+», — точкой минимума. Очевидно, теорема 3.15 имеет простой геометрический смысл.

Пример 3.16. Найти точки экстремума функции = 3 + 3 2 − 9 + 1.

Решение. Данная функция дифференцируема на всей числовой прямой. Найдем ее производную:

′ = 3 2 + 6 − 9 = 3( 2 + 2 − 3).

Точки 1 = −3, 2 = 1 являются точками возможного локального экстремума. Воспользуемся первым достаточным условием экстремума. Для этого изучим знак производной при переходе через эти точки. Очевидно,

Часто удобно применять при исследовании точек возможного локального экстремума следующую теорему.

Теорема 3.16 (второе достаточное условие экстремума). Пусть точка 0 есть стационарная точка функции , в которой существует вторая производная′′( 0). Тогда, если ′′( 0) < 0, то точка 0 является точкой локального мак-

симума функции , если ′′( 0) > 0, то точка 0 является точкой локального минимума. [Доказательство]

Второе достаточное условие экстремума удобно тем, что в данном случае исследуется знак второй производной ′′( ) только в самой стационарной точке.

Обратимся теперь к примеру 3.16. Найдем вторую производную функции , ′′ = 6( + 1). Очевидно, ′′(−3) = −12 < 0, ′′(1) = 12 > 0.

Следовательно, в соответствии со вторым достаточным условием тоже можно сделать заключение, что точка = −3 является точкой локального максимума, а точка = 1 — точкой локального минимума.