8.1.4.Свойства определителей

1 (равноправность строк и столбцов). При транспонировании матрицы её определитель не меняется, то есть | | = | |.

2.При перестановке двух параллельных рядов знак определителя меняется на противоположный.

3.Общий множитель всех элементов любого ряда определителя можно вынести за знак определителя.

Пример 8.15. Вынесем множитель из второй строки определителя третье-

4.Определитель, содержащий нулевой ряд, равен нулю.

5.Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

6.Если элементы какого-либо ряда определителя представляют собой суммы двух слагаемых, то этот определитель может быть разложен на сумму двух соответствующих определителей.

Пример 8.16. Применим рассмотренное свойство к первой строке следующего определителя третьего порядка:

7.Определитель, два параллельных ряда которого одинаковы или пропорциональны, равен нулю.

8.Определитель не изменяется, если к элементам одного из его рядов прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.

Пример 8.17. В определителе третьего порядка прибавим ко второму столбцу первый, умноженный на некоторое число :

9. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

| | = | | = | | · | |.

10 (теорема Лапласа). Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Замечание 8.8. Теорема Лапласа является основной теоремой теории определителей. Она утверждает, что для вычисления определителя его можно раскладывать не только по элементам первой строки, но и по элементам любой другой строки или столбца. Результат всегда будет одинаковым.

11 (теорема аннулирования). Сумма произведений элементов любого ряда определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого ряда равна нулю.

Пример 8.18. Пользуясь теоремой Лапласа, вычислить определитель из примера 8.11, раскладывая его по третьему столбцу.

Результат, естественно, оказался в точности таким же, как в примерах 8.11 и 8.13.

8.1.5. Элементарные преобразования

Как мы уже могли заметить, решая пример 8.14, нахождение определителя 4-го и больших порядков требует значительных вычислительных затрат. Рассмотрим способ существенного сокращения этих затрат.

Определение. Будем называть элементарными преобразованиями матриц

1)перестановку местами двух параллельных рядов;

2)умножение всех элементов ряда матрицы на число , отличное от нуля;

3)прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.

Определение. Две матрицы и называются эквивалентными, если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований. При этом пишут .

Применяя свойства определителей, проверим, как влияют элементарные преобразования квадратной матрицы на значение её определителя. Итак, элементарное преобразование с номером

1)по свойству 2 изменяет знак определителя;

2)по свойству 3 приводит к умножению значения определителя на число

;

3)по свойству 8 не влияет на значение определителя.

Подвергая квадратную матрицу порядка элементарным преобразованиям, можно добиться того, чтобы в каком-либо из её рядов все элементы, кроме одного, обратились в нуль. Тогда, разложив определитель преобразованной матрицы по элементам такого ряда, мы сведём вычисление определителя порядка к вычислению одного определителя порядка − 1.

Пример 8.19. Применяя элементарные преобразования, вычислить определитель из примера 8.14.

Решение. Применяя элементарное преобразование 3), преобразуем данный определитель так, чтобы все элементы его первой строки, кроме элемента 1, который мы будем называть разрешающим, стали равны нулю. Для этого будем брать первый столбец и, домножая его на −5 и 7, добавлять к третьему и четвёртому столбцам соответственно. Выбор элемента 1 в качестве разрешающего обусловлен тем, что на него без остатка делятся остальные элементы первой строки. Данный приём позволит избежать дробей в вычислениях:

способом. Начнём с того, что вынесем за знак определителя множитель 3 из первой строки, а также множители 2 и 5 из второго и третьего столбцов:

=30 · 1 · (−1)2+3 5 1 = −30(5 · 2 − 11 · 1) = −30 · (−1) = 30.

11 2

Как и следовало ожидать, результат оказался таким же, как и в примере 8.14, причём вычислительные затраты существенно сократились.