Решения и указания

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

vyshaya_matem.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

13.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193194 / 206194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 > Следующая >>>

Часть II. Задачи Решения и указания

Меню	Назад Вперёд

Найдём три первые элемента:

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню	Назад Вперёд

Глава 1. Аналитическая геометрия

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 2 Назад Вперёд

Решение задачи 2

Искомая точка имеет координаты (0; ). Применяя формулу (1.1) для нахождения расстояния между двумя точками, получаем и решаем уравнение для нахождения :

√

5 = (3 − 0)2 + (−8 − )2, 25 = 9 + (8 + )2, (8 + )2 = 16, |8 + | = 4.

Имеем два решения: 1 = −4 и 2 = −12. Итак, условию задачи удовлетворяют две точки: 1(0; −4) и 2(0; −12). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 10 Назад Вперёд

Решение задачи 10

Как известно, диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Тогда точка ( ; ) пересечения диагоналей может быть найдена как середина отрезка по формулам (1.3):

=	2 + (−6)	=	−	2,	=	4 + 6	= 5.
	2					2

Обозначим через ( ; ) четвертую вершину параллелограмма. Тогда найденная точка (−2; 5) делит пополам диагональ . Применяя формулы середины отрезка (1.3), составляем и решаем уравнения для определения координат точки :

−3 +

−

3 + =

−

4, = 1;

7 +

= 5,

7 + = 10, = 3.

−

Итак, четвертая вершина (−1; 3).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 13	Назад Вперёд

Указание к задаче 13

Воспользуйтесь тем, что точка пересечения медиан делит медианы в отношении 2 : 1. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 15	Назад Вперёд

Указание к задаче 15

Воспользуйтесь тем, что по свойству биссектрисы внутреннего угла тре-

угольника	=	.	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 18 Назад Вперёд

Решение задачи 18

Воспользуемся формулой (1.4) и найдем площадь треугольника с вершинами в данных точках:

1				1
=		(5 − 2)(15 − 3) − (11 − 2)(7 − 3) =			3 · 12 − 9 · 4 = 0.
	2			2
Площадь треугольника			равна нулю. Это и означает,			что его вершины	лежат
на одной прямой.						[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 22.3	Назад Вперёд

Решение задачи 22.3

Угол наклона данной прямой к оси равен 4 . Значит угловой коэффициент = tg 4 = 1. В уравнение прямой с угловым коэффициентом (1.5) подставляем значения = 1 и = −2:

= 1 · + (−2),

= − 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 24 Назад Вперёд

Решение задачи 24

Угловой коэффициент данной прямой = tg arctg 3 = 3. Подставляем значение и координаты точки в уравнение (1.6):

−	2	= 3( + 2),	5 − 2 = 15 + 30,	15 − 5 + 32 = 0.
	5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 28.1	Назад Вперёд

Решение задачи 28.1

Подставляем координаты точек и в уравнение (1.8):

− 7

− 4

− 7

− 4

− 7

− 4

4 − 7

−3

−8 − 4

−12

4( − 7) = − 4,

4 − − 24 = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 36.1	Назад Вперёд

Решение задачи 36.1

Приведём данное уравнение к уравнению прямой с угловым коэффициентом:


				2					1
5 = −2 + 1,			= −					+			.
5 = −2 + 1,			= −			5		+		5	.
Из (1.5) следует, что	2			1
= −	2	,	=	1			.

	5				5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 40.1	Назад Вперёд

Решение задачи 40.1

Чтобы построить прямую, достаточно знать координаты любых ее двух точек. Полагая = 0, получаем = −4, полагая = 1, получаем = −2. Имеем две точки (0, −4) и (1, −2). Проводим через них прямую (рисунок Р.1).

y
1
O	x
b	B
b A
Рисунок Р.1

y
	2
	b	x
O		x
−4	b
−4
Рисунок Р.2

Задачу можно решить иначе, преобразуя данное уравнение к уравнению прямой в отрезках:

2 − − 4 = 0,

2 − = 4,

−

= 1,

= 1.

−4

Теперь на оси отложим 2 единицы вправо, а на оси — 4 единицы вниз. Получаем две точки на осях координат, через которые проводим прямую (рисунок Р.2). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 51.1	Назад Вперёд

Решение задачи 51.1

Преобразуем данные уравнения прямых к уравнениям с угловым коэффициентом:

2 − 3 + 10 = 0,	=		2		+	10			;		5		− + 4 = 0,					= 5 + 4.

				3			3
Выписываем угловые коэффициенты: 1											=		2 , 2 = 5. Тогда по форму-
ле (1.11)													3
ле (1.11)											3
											3	·
		2								5	−	·				13
tg =			− 1				=							=			= 1.

		1 + 1 2								1 + 2			5		13
		1 + 1 2								1 + 2			5		13
Значит, угол между прямыми =								.									[Вернуться к условию]
Значит, угол между прямыми =							4	.									[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 59.1	Назад Вперёд

Решение задачи 59.1

В силу параллельности искомая прямая и прямая имеют общий угловой коэффициент , который может быть вычислен по координатам точек ииз формулы (1.7):

=	−1 − (−2)			=	1		= 1.
					−
	4	−	5			1	−

Итак, нам известны угловой коэффициент и точка искомой прямой. Выписываем ее уравнение по формуле (1.6):

− 1 = −1( − 3),

+ − 4 = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 60.1	Назад Вперёд

Решение задачи 60.1

По формуле (1.7) вычисляем угловой коэффициент прямой :

=	−5 − (−4)	=	−1	= 1.
	−4 − (−3)		−1

Согласно условию перпендикулярности двух прямых (1.13) угловой коэффициент искомого перпендикуляра

= −	1	= −	1	= −1.

			1

Зная точку и угловой коэффициент, выписываем искомое уравнение по формуле (1.6):

− 1 = −1( + 1),

+ = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 61 Назад Вперёд

Решение задачи 61

По формуле (1.7) находим угловой коэффициент стороны :

=	5 − (−6)	=		11	.
	8 − 6		2

Тогда угловой коэффициент искомой высоты

= − 1 = − 2 .

Зная угловой коэффициент и точку высоты, по формуле (1.6) выписываем ее уравнение:

− (−3) = −	2	( − 2),	11 + 33 = −2 + 4,	2 + 11 + 29 = 0.
	11

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 67.1	Назад Вперёд

Решение задачи 67.1

Найдем уравнение стороны по формуле (1.8):

− (−2)

− 5

+ 2

− 5

+ 2 =

−

+ 7 = 0.

−

( 2)

По формуле (1.14) вычислим высоту как расстояние от точки до пря-

мой :

− √−12 + 12

√2

8 (−5) + 7

= 2√2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 76 Назад Вперёд

Решение задачи 76

Обозначим первую из данных прямых через 1, а вторую — через 2. Пусть точка ( ; ) лежит на одной из искомых биссектрис. Тогда по свойству биссектрисы расстояние 1 от точки до прямой 1 равно расстоянию 2 от точки до прямой 2. По формуле (1.14) расстояния от точки до прямой

|3 + 4 − 1|

√32

+ 42

|5 + 12 − 2|

√52

+ 122

Тогда условие 1 = 2 порождает уравнение

|3 + 4 − 1|

|5 + 12 − 2|

Решаем его:

13|3 + 4 − 1| = 5|5 + 12 − 2|,

13(3 + 4

−

= 5(5 + 12 − 2),

14 −

8 − 3 = 0,

[13(3 + 4

−

5(5 + 12

−

2),

[64 +

112

−

23 = 0.

−

Итак, мы нашли две биссектрисы:

14 − 8 − 3 = 0,

64 + 112 − 23 = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 77	Назад Вперёд

Указание к задаче 77

Найдите обе биссектрисы углов, образованных прямыми и . Затем выберите ту, от которой точки и находятся по разные стороны.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 79.1	Назад Вперёд

Решение задачи 79.1

Найдем уравнение диагонали как уравнение прямой (1.8), проходящей через две точки:

− (−10)

− (−16)

+ 10

+ 16

+ 10

+ 16

−3 − (−10)

12 − (−16)

4( + 10) = + 16,

4 − + 24 = 0.

Аналогично найдем уравнение диагонали :

− (−15)

− (−2)

+ 15

+ 2

+ 15

+ 2

20 − (−15)

19 − (−2)

3( + 15) = 5(

+ 2),

3 − 5 + 35 = 0.

Для нахождения общей точки диагоналей составим из полученных уравнений систему, а затем решим ее:

	4 − + 24 = 0,			4 − + 24 = 0,
Отсюда		−	5 + 35 = 0,	−	17	−	85 = 0.
	3

= −5, = 4 + 24 = 4 · (−5) + 24 = 4.

Итак, точка пересечения диагоналей четырехугольника имеет координаты (−5, 4). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 102.1	Назад Вперёд

Решение задачи 102.1

По условию ежегодная амортизация составляет 2,4 тыс. у. е. Тогда стоимость автомобиля через лет

12( ) = 24 − 5 .

Соответственно через 5 лет стоимость автомобиля будет равна

(5) = 24 − 125 · 5 = 12 тыс. у. е.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 106	Назад Вперёд

Решение задачи 106

Для нахождения требуемого расстояния приравниваем транспортные расходы:

20 + 100 = 25 + 70,

5 = 30,

= 6.

Итак, при перевозке на = 6 сотен километров транспортные расходы совпадают и составляют = 20 · 6 + 100 = 220 денежных единиц. Поэтому, начиная с 600 км, более экономичным становится первый вид транспорта.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 108	Назад Вперёд

Решение задачи 108

По формуле (1.8) построим функцию издержек ( ), где — количество произведенной продукции, как прямую, проходящую через точки 1(8, 635)

и 2(13, 750):

( ) − 635

− 8

( ) − 635

− 8

( ) − 635

− 8

750 − 635

13 − 8

115

( ) − 635 = 23( − 8),

( ) = 23 − 184 + 635 = 23 + 451.

Функция выручки по условию имеет вид ( ) = 64 . Находим точку безубыточности как абсциссу точки пересечения линий издержек и выручки:

23 + 451 = 64 ,

41 = 451,

= 11.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 112.1	Назад Вперёд

Решение задачи 112.1

Равновесие на рынке определяется равенством спроса и предложения. С геометрической точки зрения точка рыночного равновесия — это точка пересечения линий спроса и предложения (смотрите рисунок Р.3):

+ 3 = −2 + 12,

3 = 9,

= 3.

Таким образом, равновесная цена 0 = 3 денежные единицы, равновесный объем продаж 0 = 6 единиц.

Q0 = 6

	D

O p0 = 3	x
Рисунок Р.3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 112.2	Назад Вперёд

Решение задачи 112.2

Закон спроса не изменится, а закон предложения примет вид:

1 = + 3 = + 6.

Находим точку рыночного равновесия в новых условиях:

+ 6 = −2 + 12,

3 = 6,

= 2.

Получена новая точка равновесия ′(2, 8). Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличится на 2 единицы, а равновесный объем уменьшится на 1 единицу.

y		S1
y

Q0 = 8		S
		S
		D

O	p0 = 2	x
Рисунок Р.4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 112.3	Назад Вперёд

Указание к задаче 112.3

После введения субсидии закон спроса не изменится, а закон предложения примет вид:

= + 3 − .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 112.4	Назад Вперёд

Указание к задаче 112.4

Если налог составляет 20 %, то вся рыночная цена составляет 120 %, из них 100 % получают поставщики товара, 20 % — государство. После введения данного налога закон спроса не изменится, а закон предложения примет

вид:

120= 100( + 3).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 119.2	Назад Вперёд

Решение задачи 119.2

Выделяем полные квадраты в левой части уравнения:

( 2 −4 + 4) −4 + ( 2 + 8 + 16) −16 −16 = 0, ( −2)2 + ( + 4)2 −36 = 0.

Таким образом, центр окружности находится в точке (2, −4), ее радиус равен 6. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 126.2	Назад Вперёд

Решение задачи 126.2

Найдем квадрат большой полуоси :

2 = 2 + 2 = 62 +	(2)			= 36 + 4 =		4	=	( 2 )	= 6,52.
	5		2	25		169		13	2

Следовательно, уравнение эллипса имеет вид:

2		2
	+		= 1.
6,52		62

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 127.4	Назад Вперёд

Решение задачи 127.4

Преобразуем уравнение к каноническому виду:

	24 2		49 2		2		2		2			2
		+		= 1,		+		= 1,		+					= 1.
	1176		1176		49		24		72		(2√			)2
													6
Отсюда следует, что										√25 = 5, =						= 7.
= 7, = 2√6, = √ 2 − 2 = √49 − 24 =
																5
Координаты фокусов: 1(−5, 0), 2(5, 0).											[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Указание к задаче 136.2	Назад Вперёд

Указание к задаче 136.2

Касательной к эллипсу называется прямая, пересекающая эллипс в единственной точке. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 142.1	Назад Вперёд

Решение задачи 142.1

Выделим полный квадрат по переменным и :
16( 2		− 4 + 4) − 64 − 9( 2			+ 6 + 9) + 81 − 161 = 0,
16(	−	2)2	−	9( + 3)2 = 144,		( − 2)2	−	( + 3)2	= 1.
					9			16

Отсюда следует, что центр гиперболы находится в точке (2; −3), действи-

√ √

тельная полуось = 9 = 3, мнимая полуось = 16 = 4.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 152.1	Назад Вперёд

Решение задачи 152.1

Преобразуем данное уравнение к равносильному виду:

= 3√	,	2 = 9 ,
= 3√	,	2 = 9 ,

		> 0.

Полученная система уравнений определяет часть параболы 2 = 9 , лежащую в верхней полуплоскости, а точнее в первом квадранте.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 154	Назад Вперёд

Решение задачи 154

Проверим, нет ли у данных параболы и прямой общих точек. Для точек прямой имеет место равенство 4 = −3 − 44. Подставляя его в уравнение параболы, получим:

2 = 16 · (4 ),

2 = 16(−3 − 44),

2 + 48 + 704 = 0.

Дискриминант данного квадратного уравнения, очевидно, отрицательный. Таким образом, данные парабола и прямая не пересекаются. В таком случае ближайшая к прямой точка параболы является общей точкой этой параболы и ее касательной, параллельной данной прямой. Такая касательная имеет уравнение

4 + 3 + = 0,

где константа подлежит определению. Касательная — это прямая пересекающая параболу в единственной точке, называемой точкой касания. Чтобы найти касательную, подберем число так, чтобы система уравнений

2 = 64 ,

4 + 3 + = 0

имела единственное решение. Из второго уравнения находим: 4 = −3 − . Подставляя это значение в первое уравнение, получим:

2 = 16(−3 − ),

2 + 48 + 16 = 0.

Данное квадратное уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю. На этом основании вычисляем :

242 − 16 = 0, = 242 = 42 · 62 = 36. 16 16

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 154	Назад Вперёд

Подставляя полученное значение обратно в квадратное уравнение, находим его решение:

2 + 48 + 16 · 36 = 0, ( + 24)2 = 0, = −24.

Подставляя найденное значение	в уравнение параболы, находим :
(−24)2 = 64 ,	82 · 32 = 64 ,	= 9.

Итак, ближайшей к прямой 4 +3 +44 = 0 точкой параболы 2 = 64 является точка 0(9, −24). Вычисляем расстояние от точки 0 до данной

прямой:	\|4 · 9 + 3 · (−24) + 44\|		8
=		=		.

	√42 + 32		5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 159.1	Назад Вперёд

Решение задачи 159.1

Выделяем полные квадраты и проводим преобразования:

( 2 + 2 + 1) − 1 − 9( 2 − 4 + 4) + 36 − 44 = 0,

( + 1)2		9(		2)2 = 9,	( + 1)2		( − 2)2	= 1.
	−		−		9	−	1

Получили каноническое уравнение гиперболы с центром в точке (−1; 2). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 1. Аналитическая геометрия

Меню Решение задачи 160.1

Назад Вперёд

Решение задачи 160.1

Приведем данное уравнение гиперболы к каноническому виду:

		2			2			2			2
			−			= 1,				−			= 1.
	3648				3648			64			57
	57			64
Таким образом, для данной гиперболы
2 = 64,	2 = 57,			= √					= √					= √		= 11.
							2 + 2
												64 + 57			121

Значит, правый фокус гиперболы 2 = (11; 0) (смотрите рисунок Р.5).

y
√57	C
	b
	8	F2
		b
O		11	x
O
Рисунок Р.5

Окружность с центром в точке (2; 8) имеет уравнение:

( − 2)2 + ( − 8)2 = 2,

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 160.1	Назад Вперёд

где радиус подлежит определению. Подставим в это уравнение координаты найденной ранее точки 2 по условию принадлежащей окружности:

(11 − 2)2 + (0 − 8)2 = 2,

81 + 64 = 2,

2 = 145.

Итак, искомое уравнение окружности ( − 2)2 + ( − 8)2 = 145. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 161.2	Назад Вперёд

Решение задачи 161.2

расстояние между точками ( ; ) и , а также расстояние от точки до прямой = −1 могут быть вычислены по формулам:

					= √												,			= \| + 1\|.
					= √				( − 1)2 + ( − 5)2								,			= \| + 1\|.
Так как по условию 4 = , то
																16(( − 1)2 + ( − 5)2) = ( + 1)2,
4 ( − 1)2			+ ( − 5)2 = \| + 1\|,													16(( − 1)2 + ( − 5)2) = ( + 1)2,
√		16(		2				+ 1			)	− (		2 + 2 + 1					+ 16(							5)2		= 0,
		16(				−		2	2		)	− (						)				2			−
								15		− 34 + 15 + 16( − 5)														= 0,
15		( 2 − 2 · 15 +									(	15) )			− 15			+ 15 + 16( − 5)2 = 0,
								17				17		2	172
	(																	(					2)
		−									−
		−	15								−				15					8								2	2
					)		2	+ 16(					5)2 =		64,					15	1517			2	+	(		√15	5)2	= 1.
	15		17				2	+ 16(					5)2 =		64,				−		1517			2	+	(		−	5)2	= 1.
																			(		)						(		)

Получено каноническое уравнение эллипса со следующими полуосями и цен-

тром:	= √15,	(15; 5).
= 15,
8	2	17

Чертеж полученного эллипса изображен на рисунке Р.6.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 1. Аналитическая геометрия
Меню Решение задачи 161.2	Назад Вперёд

	b	r
	5	b	b O
	A

−1	O	1	x
	Рисунок Р.6

Часть II. Задачи Решения и указания Глава 2. Теория пределов

Меню	Назад Вперёд

Глава 2. Теория пределов

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 162.2	Назад Вперёд

Решение задачи 162.2

Подставляя в формулу общего члена значения = 1, 2, 3, 4, последовательно находим

	=	(−1)1	=	−	1,				=	(−1)2	=	1	,
1		1						2		2		2

	=	(−1)3	=	−		1	,		=	(−1)4	=	1	.
3		3			3			4		4		4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 162.8	Назад Вперёд

Решение задачи 162.8

Общий член последовательности = ! представляет собой произведение всех натуральных чисел от 1 до :

! = 1 · 2 · 3 · . . . · ( − 2) · ( − 1) · .

Поэтому

1 = 1,

2 = 1 · 2 = 2,

3 = 1 · 2 · 3 = 6,

4 = 1 · 2 · 3 · 4 = 24.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 162.11	Назад Вперёд

Решение задачи 162.11

Данная последовательность задана рекуррентно: каждый последующий член последовательности вычисляется через предыдущий. Имеем:

1 = 1,	2 = 1 + 2 = 1 + 2 = 3,
3 = 2 + 2 = 3 + 2 = 5,	4 = 3 + 2 = 5 + 2 = 7.
	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 164.8	Назад Вперёд

Решение задачи 164.8

Так как для всякого N верно, что ограничена снизу. Так как, кроме того,

=	+ 1	= 1 +	1

> 0, то последовательность { }

6 1 + 1 = 2,

то { } также ограничена сверху и, следовательно, ограничена. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 165.1	Назад Вперёд

Решение задачи 165.1

В данном случае для всех натуральных

+1 = 2( + 1) + 1 = 2 + 3 > 2 + 1 = .

Поэтому последовательность строго возрастающая.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 165.2	Назад Вперёд

Решение задачи 165.2

Отсюда видно, что с одной стороны 1 < 2, а с другой — 2 > 3. Значит, данная последовательность не является монотонной.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 165.3	Назад Вперёд

Решение задачи 165.3

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 165.5	Назад Вперёд

Решение задачи 165.5

В данном случае для всех натуральных
+1 = [√ + 1]	> [√ ]	= .

Следовательно, последовательность { } возрастает. Отсутствие строгого возрастания следует из того, что 1 = 2 = 1. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 169.1	Назад Вперёд

Решение задачи 169.1

Пусть — произвольное положительное число. Тогда требование | |

влечёт за собой неравенства

< ,

Так как номер должен быть натуральным числом, положим

[ ] + 1.

При > будем иметь

[

]

+ 1

= .

Это и означает, что последовательность бесконечно малая.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 171.1	Назад Вперёд

Решение задачи 171.1

Зададимся произвольным положительным числом и обозначим =

−1

Тогда

−

| − |

−

1 =

− 1)

−

(

| − 1| < ,

−

< ,

1 >

> 1 +

− 1

Если теперь положить

[

] + 2,

то при всех >

окажется, что | − 1|

< . А это и доказывает, что

последовательность сходится к единице.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 172.4	Назад Вперёд

Решение задачи 172.4

Вынесем из числителя и знаменателя в старшей, в данном случае второй, степени:


3 2 − + 2		2		3 − 1 +		2		3 − 1 +		2	.
	=					2	=			2
5 2 + 2		2	5 +		2			5 +	2

					2				2

Теперь мы можем применить свойство 4 сходящихся последовательностей:

lim 3 2 − + 2 = lim

3 − 1 + 22

→∞ (

−

2 )

lim

→∞ 5 2 + 2

→∞ (5 + 2 )

→∞

5 +

lim

3 − lim

lim

−

0 + 0

→∞

5 + 0

lim 5 +

lim

→∞

Мы воспользовались тем, что предел константы — константа, а последовательности {1 } и { 12 } — бесконечно малые. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 172.14	Назад Вперёд

Решение задачи 172.14

Используя определение факториала из задачи 162.8, разделим числитель и знаменатель на ( + 1)!:

lim

( + 1)! + ( + 2)!

lim

1 + ( + 2)

( + 3)!

→∞

→∞ ( + 2)( + 3)

+ 3

0 + 0

= lim

= 0.

5 +

→∞ 2

+ 5 + 6

→∞ 1 +

1 + 0 + 0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 172.31	Назад Вперёд

Решение задачи 172.31

Домножим и разделим выражение под знаком предела на сопряжённое к

нему, после чего применим к числителю формулу разности квадратов:

+ 1 − + 1 =

(

−

√ + 1)+(

√ − 1

)

√

+ 1

√

− 1

√

+ 1

+ √

− 1

(

√ +)1 +

(

− 1 )

+ 1 + − 1

√

+ 1

−

√

− 1

= ( + 1)

− ( − 1)

Тогда

√

(

)

−1

→∞ √ + 1 + √ − 1

→∞

−

lim

√

+ 1

√

lim

· √1 + 0 + √1 − 0

→∞ √ √1 + 1 + √1 − 1

= lim

= 0

= 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 172.34	Назад Вперёд

Указание к задаче 172.34

Дополнить данное выражение до разности кубов, умножив и разделив его на сопряжённое ему выражение. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 172.38	Назад Вперёд

Решение задачи 172.38

Вынесем, как всегда, из числителя и знаменателя в старшей степени:

√

3/2

lim

√

= lim

lim

= ∞ · 1 = ∞.

+ 1

1/2

→∞

1 +

√

→∞

→∞ 1 +

√

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 172.46	Назад Вперёд

Указание к задаче 172.46

Привести дроби к общему знаменателю. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 172.51	Назад Вперёд

Решение задачи 172.51

Применив формулу суммы арифметичекой прогрессии

1 + 2 + 3 + · · · + = ( + 1), 2

получим:

+ 2· · ·

− 2 )

→∞ (2( + 2)

− 2( + 2) )

→∞ (

1 + 2 + 3 +

( + 1)

( + 2)

lim

= lim

−

= lim

−1

−

→∞ 2 + 4

2 + 0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 172.54	Назад Вперёд

Указание к задаче 172.54

Воспользуйтесь формулой

1 + 4 + 9 + · · · + 2 = ( + 1)(2 + 1). 6

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 172.58	Назад Вперёд

Указание к задаче 172.58

Примените формулу суммы геометрической прогрессии

1 + + 2 + · · · + = 1 − +1 . 1 −

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 179	Назад Вперёд

Решение задачи 179

Выясним, является ли эта последовательность монотонной. Действительно, запишем ( + 1)-й член:

∑+1 1

+1 = =1 + 1 + .

Сравним члены и +1. С этой целью преобразуем их следующим образом:

−1

∑

+1 =

+ (1 + )

2 + 1

2 + 2

−1

∑

+ (1 + )

+ 1

+ (1 + )

Остается заметить, что

2 + 1

2( + 1)

+ 1

Таким образом, N < +1, т.е. последовательность возрастающая. Покажем, что она ограничена. Во-первых, очевидно, что N > 0.

Во-вторых, N
	1			1	1
∑			∑
=	+	<	=1		=	= 1.
=1			=1

Значит, N 0 < < 1.

Следовательно, последовательность { } является возрастающей, ограниченной и имеет предел. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 180	Назад Вперёд

Решение задачи 180

Поскольку

√ √ √ √ √ √ √ √

= + + . . . + + 0 < + + . . . + + = +1,


		+ 1 корней
+ 1	корней

то последовательность возрастает.

Докажем что ограничена сверху, например, числом деле, для первого элемента это верно:

√ √

1 = < + 1.

Для N имеет место представление

√

+1 = + ,

и, если предположить, что 6 √ + 1, то

+1 6 √ + √ + 1 < √ + 2√ + 1 = √(√ + 1)2

√ + 1. В самом

(Р.1)

√

=+ 1,

что и доказывает ограниченность всех элементов последовательности.

По теореме 2.4 возрастающая и ограниченная последовательность сходится. Обозначим ее предел через . Факт существования предела последовательности делает возможным предельный переход при → ∞ в рекуррентном равенстве (Р.1). В результате получаем и решаем уравнение отностительно :

= √

√

2 = + ,

−

1 ± 1 + 4

= 0,

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 180	Назад Вперёд

Итак, предел необходимо равен одному из двух полученных значений. Так как отрицательное значение не подходит, то

	1 + √		.
=		1 + 4
	2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 184.1	Назад Вперёд

Решение задачи 184.1

Подставим значение = 0 в аналитическое выражение данной функции:

√ √

(0) = 1 + 02 = 1 = 1.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 185.5	Назад Вперёд

Решение задачи 185.5

В выражении функции заменяем на 1 :

( )								1			1			1
1			1		+ 3					+ 3 2				3 2		+
	=								=				=					.
	=	(	1	)		2	−		=		−	2	=		−		2	.
		(		)			−				−				−

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 186.5	Назад Вперёд

Решение задачи 186.5

Заменяем на 3 в выражении функции ( ):

(3 ) = (3 )3 · 23 = 33 · 3 · (23) = 27 3 · 8 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 187.2	Назад Вперёд

Решение задачи 187.2

Так как логарифм задан для положительных значений аргумента, то область определения находится из условия:

2 +

2 −

> 0.

Этому условию удовлетворяет интервал (−2, 2).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 188.1	Назад Вперёд

Решение задачи 188.1

Выделим полный квадрат:

= 2 + 4 + 4 − 3 = ( + 2)2 − 3.

Множеством значений функции = ( + 2)2 является промежуток [0, +∞). Так как ( ) = ( ) − 3, то для функции множество значений= [−3, +∞). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 189.1	Назад Вперёд

Решение задачи 189.1

Область определения ( ) = (−∞, +∞) симметрична относительно начала координат, и

(	−	) =	(− )3	=	− 3	=	−	( ).
			(− )2 + 1		2 + 1

Следовательно, функция ( ) нечетная.								[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 189.3	Назад Вперёд

Решение задачи 189.3

Здесь ( ) = (−∞, ∞), и

(− ) = − − 2 ̸= ± ( ).

Значит, функция ( ) не является как четной, так и нечетной, то есть имеет общий вид. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 190.1	Назад Вперёд

Решение задачи 190.1

Основной период функции sin равен 2 . Функция ( ) = sin 4 получается из нее путем сжатия в 4 раза вдоль оси . Следовательно, функция ( ) периодическая, и ее основной период = 14 · 2 = 2 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 190.2	Назад Вперёд

Решение задачи 190.2

Так как			1 + cos 10		1			1
	cos2	5 =	1 + cos 10	=	1	+		1	cos 10 ,

			2		2			2
			2		2			2
								1
то функция	периодическая и ее период =								· 2 =		.
то функция	периодическая и ее период =						10		· 2 =	5	.
									[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 190.4	Назад Вперёд

Указание к задаче 190.4

Убедитесь, период суммы двух периодических функций равен наименьшему общему кратному их периодов. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 191.4	Назад Вперёд

Решение задачи 191.4

Функции ( ) определена на всей вещественной оси. Её областью значений является интервал (− 2 , 2 ). Выразим аргумент через значение функции :

= arctg 3 ,			tg = 3 ,	=	1	tg .

					3
Таким образом, =	1	tg является искомой обратной функцией.
Таким образом, =	3	tg является искомой обратной функцией.
	3					[Вернуться к условию]
						[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 192.1	Назад Вперёд

Решение задачи 192.1

Вычисляем искомые суперпозиции:

( ( )) = √ 2 = | |, ( ( )) = (√ )2 = , > 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 193.2	Назад Вперёд

Решение задачи 193.2

Данная функция является суперпозицией линейной функции = 3 , тригонометрической функции = tg и логарифмической функции = lg .

[Вернуться к условию]

	Часть II. Задачи
	Решения и указания
	Глава 2. Теория пределов
Меню	Решение задачи 194.11				Назад	Вперёд
	Решение задачи 194.11
В качестве исходного возьмем график функции = cos (см. рисунок Р.7).
	y	1	y	= cos x
			y	= cos x

		π	π
		2	π
	O	−1	3π	5π	x
			2	2

	Рисунок Р.7

С помощью сдвига вправо на величину = 4 получаем график функции = cos( − 4 ) (см. рисунок Р.8).

y		y = cos(x − π4 )
1	3π	5π
	4	4
O	π	7π	11π	x
	4	4	4
Рисунок Р.8

Растягивая полученный график в 2 раза вдоль оси , получаем требуемый график функции = 2 cos( − 4 ) (см. рисунок Р.9).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания Глава 2. Теория пределов

Меню Решение задачи 194.11

Назад Вперёд

y		y = 2 cos(x − π4 )
2
	3π	5π
	4	4
O	π	7π	11π	x
	4	4	4
−2
Рисунок Р.9

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 194.16	Назад Вперёд

Указание к задаче 194.16

Выделить полный квадрат в выражении под знаком модуля.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 194.19	Назад Вперёд

Указание к задаче 194.19

Через [ ] обозначают целую часть числа . Для	[ , + 1), где Z,
целая часть [ ] = .	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 194.20	Назад Вперёд

Решение задачи 194.20

Дробная часть числа определяется как разность самого числа и его целой части:

{ } = − [ ].

Так как значение дробной части не изменяется при изменении числа на любое целое значение, то достаточно построить часть графика функции= { } на полуинтервале [0, 1), а затем путём сдвигов влево и вправо на целочисленные значения аргумента получить весь график. Если [0, 1), то [ ] = 0 и потому { } = . На рисунке Р.10 изображён получающийся в итоге график. [Вернуться к условию]

y
1
−4 −3 −2 −1 O 1	2	3	4	x
−4 −3 −2 −1 O 1	2	3	4
Рисунок Р.10

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 194.22	Назад Вперёд

Указание к задаче 194.22

Воспользуйтесь тем, что cos2 = 12 (1 + cos 2 ). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 194.23	Назад Вперёд

Указание к задаче 194.23

Воспользуйтесь тем, что

sin4 + cos4 = (sin2 + cos2 )2 − 2 sin2 cos2 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 194.26	Назад Вперёд

Указание к задаче 194.26

Проведите построение графика	отдельно для промежутков (−∞, −2],
[−2, −1], [−1, 0] и [0, +∞).	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 195.6	Назад Вперёд

Указание к задаче 195.6

См. задачу 194.19. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 196	Назад Вперёд

Решение задачи 196

Находим равновесную цену:

( 0) =			( 0),				25 0				+ 4 02				=	20 + 4 02					,
( 0) =			( 0),					1 + 10 0							=		1 + 10 0				,
								1 + 10 0									1 + 10 0
25 + 4 2			= 20 + 4 2						,		25			= 20,					=			4	.
25 + 4 2			= 20 + 4 2						,		25		0	= 20,					=				.
0	0				0								0						0		5
																					5
Находим равновесный объем продаж:
		20 + 4		(	4		)		2
												500 + 64								564				188
0 = ( 0) =					5					=		500 + 64						=		564	=			188	.

					4															225			75
					4						25 + 200									225			75
			1 + 10 ·
			1 + 10 ·			5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 199.1	Назад Вперёд

Решение задачи 199.1

Зафиксируем произвольное > 0 и найдём такое > 0, что для всех , удовлетворяющих условию 0 < | − 0| < , выполнялось бы неравенство

	(2 + 1) − 5 < .
Решая последнее неравенство,		получаем,		что
				< ,


2 − 4 < ,		2( −	2)		− 2 <		2.
Для завершения доказательства достаточно принять =									.
								2
						[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 199.11	Назад Вперёд

Указание к задаче 199.11

Воспользуйтесь тем, что по определению предела, стремясь к числу = 1, переменная не принимает этого значения. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 200.1	Назад Вперёд

Решение задачи 200.1

Рассмотрим функцию ( ) = 3 2 + 2 − 1. Выберем произвольным образом последовательность { } такую, что

lim = 2, ̸= 2 ( N).

→∞

Найдем предел последовательности ( ), пользуясь свойством 4 сходящихся последовательностей:

lim ( ) =	lim (3 2 + 2 − 1) =
→∞	→∞		→∞ − 1 = 3 · 2 + 2 · 2 − 1 = 15.
	( →∞ )	2	→∞ − 1 = 3 · 2 + 2 · 2 − 1 = 15.
	= 3 lim	+ 2 lim		2
	= 3 lim	+ 2 lim

В силу произвольности выбора последовательности { } искомый предел равен 15. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 201.1	Назад Вперёд

Решение задачи 201.1

Рассмотрим последовательности	= 2 и	= + 2 , сходящиеся к
0 = ∞. Для них

lim ( ) =	lim cos 2 =		lim 1 = 1,
→∞	→∞	(	→∞	→∞	−		−
→∞ ( ) =	→∞		)			1) =		1.
lim	lim cos	+ 2 =		lim (

Пределы последовательностей { ( )} и { ( )} оказались различными. Это значит, что предел функции не существует. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.2	Назад Вперёд

Решение задачи 202.2

По свойствам предела арифметических операций

3 2

−

lim1(3 2 − 1)

lim

→−

lim (4 2

+ 5 + 2)

→−1 4 2 + 5 + 2

lim1 3 2 −

→−1

lim1 ·

− 1

lim1 1

lim1

→−

lim1 4 2

+ lim1

5 + lim1 2

4 lim1

· lim1

+ 5

lim1 + 2

→−

3 · (−1) · (−1) − 1

3 − 1

= 2.

4 · (−1) · (−1) + 5 · (−1) + 2

4 − 5 + 2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.6	Назад Вперёд

Решение задачи 202.6

Свойство предела частного здесь неприменимо, поскольку в точке = 3 знаменатель обращается в нуль. Числитель не обращается в нуль в этой точке, что позволяет найти предел «перевернутой дроби»:

lim	− 3	=	0 − 3	= 0.
	2 + 5		2 · 3 + 5
→3

Итак, мы доказали, что функция ( ) = 2 −+53 бесконечно малая. Тогда по теореме 2.7 функция 1/ ( ), то есть функция под знаком предела, является бесконечно большой, и ее предел равен ∞.

Вышесказанное позволяет при решении примеров для сокращения записи проводить формальное деление ненулевой константы на нуль, получая в результате бесконечность:

lim		2 + 5			=	2 · 3 + 5			=	11	= .
			−
→	3			3		3	−	3		0 ∞

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.11	Назад Вперёд

Решение задачи 202.11

В точке = 2 как числитель, так и знаменатель обращаются в нуль. Это значит, что мы имеем неопределённость вида 00 . Для её раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители, а затем сократим их общий множитель:

lim	2 − 4	= lim	( − 2)( + 2)	= lim	+ 2	.
	2 − 5 + 6		( − 2)( − 3)
→2		→2		→2	− 3

Знаменатель последней дроби теперь не обращается в нуль, что позволяет применить свойства предела арифметических операций:

lim ( +

+ 2

→2

= −4.

lim2

−

lim (

−

→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.15	Назад Вперёд

Решение задачи 202.15

Здесь, очевидно, имеем неопределенность вида 00 . Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители:

lim

4 2 + 23 + 15

= lim

( + 5)(4 + 3)

−7 2 − 36 − 5

→−5

→−5 ( + 5)(−7 − 1)

= lim

4 + 3

4 · (−5) + 3

−17

→−

−

(

−

−2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.31	Назад Вперёд

Решение задачи 202.31

В точке = 1 числитель и знаменатель рассматриваемой дроби обращаются в нуль, поэтому имеем неопределенность вида 00 . Так как число = 1 является корнем многочленов в числителе и знаменателе, то последние делятся без остатка на − 1. Выполним деление «уголком»:

3 2 − − 2

− 1

3 − 2 + 4 − 4

− 1

−

3 2 − 3

− 3 − 2

3 + 2

2 + 4

−

2 − 2

− 4 − 4

2 − 2

4 − 4

Тогда

lim

3 2

− − 2

= lim

( − 1)(3 + 2)

3 − 2 + 4 − 4

→1

( − 1)( 2 + 4)

= lim

3 + 2

3 · 1 + 2

= 1.

2 + 4

→1

12 + 4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.39	Назад Вперёд

Решение задачи 202.39

Подставляя значение = 1 в числитель и знаменатель, убеждаемся, что имеем неопределённость вида 00 . Для её раскрытия избавимся от иррациональности в числителе, домножая числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое числителю:

(

)(

)

→

( 1)

lim

√

+ 8

− 3

= lim

√

+ 8

− 3

√ + 8 + 3

−

+ 8

9−

(

)

√ + 8 + 3

(√1 + 8 + 3)

→1

( − 1)

(√ + 8 + 3)

1 →1 ( − 1)

= lim

−

√

= lim

√

−

= lim1

3 + 3

→

+ 8 + 3

1 + 8 + 3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.51	Назад Вперёд

Решение задачи 202.51

Имеем неопределенность вида 00 . Избавимся от иррациональности в числителе, разложим на множители знаменатель и сократим общий множитель:

(

)(

)

( + 2)( + 3)

+ 7

√

2 + 9

− √

+ 7

√2 + 9 − √ + 7

√2 + 9 +

√ + 7

(2 + 9) − (( + 7)

+ 9 + √

)

+ 5 + 6

√2

( + 2

(

)

+ 2)( + 3)

√2 + 9 +

√

(√

+ √

)

( + 3)

(√

+ √

)

( + 2)( + 3)

2 + 9

+ 7

2 + 9

+ 7

Полученная дробь не содержит неопределенности, так что нахождение предела сводится к простой подстановке значения = −2:

√√

lim

2 + 9 −

+ 7

2 + 5 + 6

→−2

√

2√

(−2 + 3) (√

+ √

)

2 · (−2) + 9

−2 + 7

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 202.59	Назад Вперёд

Указание к задаче 202.59

Положить = 12. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 202.60	Назад Вперёд

Указание к задаче 202.60

Пользуясь формулой

3 − 3 = ( − )( 2 + + 2),

дополнить числитель до разности кубов. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.62	Назад Вперёд

Решение задачи 202.62

В данном случае имеем неопределённость вида ∞∞ . Для её раскрытия применим стандартный приём. Вынесем из числителя и знаменателя в старшей степени, а затем воспользуемся тем, что функции 1 и 12 бесконечно малые при → ∞:

1 + − 2

+ 1 − 1

= lim

+ 1 − 1

lim

→∞

2 2 + 3

→∞

2 + 3

)

→∞

2 + 3

lim

(

+ 1 − 1

lim

+ lim

1 −

lim 1

→∞

→∞ =

0 + 0

→∞

lim

2 +

lim 2 + 3 lim

→∞

−

2 + 3

−2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 202.75	Назад Вперёд

Решение задачи 202.75

Выражение в скобках представляет собой неопределенность вида ∞ − ∞. Умножим и разделим функцию под знаком предела на выражение, сопряженное разности в скобках:

→ ∞

(√

)

→ ∞

(

+)(

)

√ 2 + 1

−

√ 2

+ 1 +

lim

+ 1

−

√

1 +

= lim

(

+ 1 −

)

= lim

→+∞

√ 2 + 1 +

→+∞ √ 2 + 1 +

= →+∞ √1 + 1/ 2 + 1 = √1 + 0 + 1

lim

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.1	Назад Вперёд

Решение задачи 203.1

Приведём данный предел к первому замечательному:

lim	sin 2	= lim 2	sin 2	= 2 lim	sin 2	.
			2
→0		→0		→0	2

Так как при → 0 функция 2 является бесконечно малой, то последний предел является первым замечательным и, таким образом,

lim	sin 2	= 1.
lim	2	= 1.
→0	2
Значит, искомый предел равен 2.		[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.2	Назад Вперёд

Решение задачи 203.2

Воспользуемся первым замечательным пределом и свойствами пределов:

sin 6

lim

sin 6

lim

= lim

= lim 3

= 3

→0

= 3

= 3.

→0 sin 2

→0 2

sin 2

→0

sin 2

lim

sin 2

→0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.3	Назад Вперёд

Решение задачи 203.3

Сделаем замену = arcsin . Так как

= sin и → 0

при → 0, то

lim

arcsin

= lim

= 1.

sin

→0

→0 sin

→0

lim

→0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 203.5	Назад Вперёд

Указание к задаче 203.5

Представить тангенс как отношение синуса и косинуса и воспользоваться тем, что

lim cos = 1.

→0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 203.6	Назад Вперёд

Указание к задаче 203.6

Воспользоваться формулой 1 − cos = 2 sin2 2 . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.7	Назад Вперёд

Решение задачи 203.7

Данное выражение содержит неопределенность вида 0

. Преобразуем его к

виду, содержащему первый замечательный предел:

lim

cos 5 − cos3 5

= lim

cos 5 (1 − cos2 5 )

= lim

cos 5 sin2 5

→0

= →0

(5 )2

→0

· ( →0

)

lim 25 cos 5

sin2 5

= lim 25 cos 5

lim

sin 5

= 25 cos 0 · 12 = 25.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.11	Назад Вперёд

Решение задачи 203.11

Воспользуемся формулой

cos

−

cos =

−

2 sin

sin

−

Тогда имеем:

lim

cos 5 − cos 3

= lim

−2 sin 4 sin

−

8 lim

sin 4 sin

−

→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.15	Назад Вперёд

Решение задачи 203.15

Имеем неопределенность вида

. Избавимся от иррациональности в числи-

теле:

√

−

2 sin2

cos − 1

cos

− 1

lim

= lim

→0

= 1

lim

sin(2

lim

)

(

+ 1

= 1.

−2

→0

√cos + 1

→0

√cos

−4

→0

(

)

→0

√cos + 1

−

2 ·

· √1 + 1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 203.19	Назад Вперёд

Решение задачи 203.19

Выполним замену переменной = − 2 . Новая переменная , как того и требует первый замечательный предел, будет стремится к нулю. Поэтому

		2			→	2	(	2		)	→				→
lim			cos		= lim	cos		+		2	= lim	− sin	=	1	lim	sin	=		1	.
				−		(			)	−
	→	2			0		+				0	2		−2 0				−2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 203.25	Назад Вперёд

Указание к задаче 203.25

Положить = arctg − 2 . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 204.1	Назад Вперёд

Решение задачи 204.1

Имеем неопределённость 1∞. Чтобы привести данный предел ко второму замечательному (2.7), выполним замену = . Ясно, что → 0 при → ∞. Тогда имеем

→∞ (1 + )	=	→0	( →0	)
			1
lim		lim (1 + ) =	lim (1 + )		= .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 204.2	Назад Вперёд

Указание к задаче 204.2

Обозначить = . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 204.3	Назад Вперёд

Решение задачи 204.3

Приводим данный предел ко второму замечательному:

→0		→0	= →0			( →0		)
lim √							5
		1	lim (1 + 5 )	1	·5 =	lim (1 + 5 )	1	.
	1 + 5 = lim (1 + 5 )			5			5

Так как функция ( ) = 5 бесконечно малая при → 0, то по формуле (2.7)

1
lim (1 + 5 )	5	= .
→0
А это значит, что искомый предел равен 5.			[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 204.6	Назад Вперёд

Решение задачи 204.6

Приведём данный предел к отношению двух вторых замечательных, поделив числитель и знаменатель на , и воспользуемся задачей 204.1:

→∞	( − 2)
lim	+ 3
lim

1 +

= lim

→∞

1 −

= →∞ (1 + )

= 3

lim

→∞

(

)

−2

lim

1 +

−2

(1	+ )		=
		3
(1	− )
	2

= 5.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 204.12	Назад Вперёд

Решение задачи 204.12

Имеем неопределенность вида 1∞. Выражение в скобках преобразуем к сумме единицы и БМФ, что позволит нам воспользоваться вторым замечательным пределом в форме (2.7):

→∞

( − 3)

→∞ (

− 3

− 1)

lim

+ 5

2 +7

lim

1 +

+ 5

2 +7

→∞ (

(

− 3)

= →∞

· −3

−3

(2 +7)

= lim

1 +

lim

1 +

lim

16 +56

(

)

→∞

= lim

1 +

−8 3 →∞

−3 .

−

Так как функция ( ) =

является бесконечно

малой при → ∞, то

−

по формуле (2.7) предел в основании степени равен . Предел в показателе степени, очевидно, равен 16. Значит, искомый предел равен 16.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 204.22	Назад Вперёд

Указание к задаче 204.22

Сделать замену = sin . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 204.23	Назад Вперёд

Указание к задаче 204.23

Воспользоваться формулой

cos 2 = 1 − 2 sin2 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 205.1	Назад Вперёд

Решение задачи 205.1

Так как функция ( ) = является бесконечно малой при → 0, то

lim

− 1

= lim

− 1

= lim

− 1

1 = .

→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 205.2	Назад Вперёд

Решение задачи 205.2

Воспользуемся следствиями первого и второго замечательного предела:

− 1

lim

= 6 lim

lim

= 6

1 = 6.

→

0 tg

→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 205.5	Назад Вперёд

Указание к задаче 205.5

В знаменателе вынести за скобки . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 205.10	Назад Вперёд

Решение задачи 205.10

Преобразуем данное выражение:

= lim1

ln 2

= lim1

ln( 2 − 1 + 1)

lim1

ln(( 2 − 1) + 1)

2 − 1

− 1

→

− 1

→

− 1

= lim1

ln(( 2

− 1) + 1)

lim1

2 − 1

→

− 1

→

− 1

Так как функция ( ) = 2 − 1 является бесконечно малой при → 1, то искомый предел

= 1 · lim ( + 1) = 2.

→1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 205.17	Назад Вперёд

Решение задачи 205.17

Воспользуемся тем, что ( ) = − 1 — БМФ при → 1:

→1

−1

= →1 √

−

− 1 =

−

= lim

√3

lim

(

1) + 1

√

−

→1

−

→1

2−

3 ·

→1 + 1 3

· 2

3 (

1) + 1

= lim

−

lim

−

lim

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 205.19	Назад Вперёд

Указание к задаче 205.19

√

В числителе вынести за скобку 4 1 + 2. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 206.1	Назад Вперёд

Решение задачи 206.1

Так как sign = 1 при > 0	и sign = −1			при < 0, то
→+0(2 sign	−	1) = →+0(		2	·	1	−	1	)
lim		)	lim	2		1		1	= 1,
→−0(	−	)	→−0(2 · (−1) − 1) = −3.
lim 2 sign		1	= lim

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 206.6	Назад Вперёд

Решение задачи 206.6

Для данной функции

1	0	1 0	(	−	2) = 1	−	2 =	−
lim	( ) =	lim	(		2) = 1		2 =	1,
→ −		→ −
lim ( ) =		lim	ln = ln 1 = 0.
→1+0		→1+0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 207.1	Назад Вперёд

Решение задачи 207.1

Находим предел отношения данных функций, используя первый замечательный предел:

→0	2	→0	2	→0		(	2		)	2		( →0	2		)	2
lim	1 − cos	= lim	2 sin2 2	= lim			sin	2		2	=	lim	sin	2		2	= 1.
lim	2	= lim	2	= lim							=	lim					= 1.
	2		2
Так как предел равен 1, то 1−cos					2	при → 0.						[Вернуться к условию]
Так как предел равен 1, то 1−cos					2	при → 0.						[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 208.1	Назад Вперёд

Решение задачи 208.1

Так как функции 4 и 3 являются бесконечно малыми при → 0, то sin 4 4 и sin 3 3 при → 0. Поэтому

lim	sin 4	= lim	4	=		4	.
			3		3
→0 sin 3		→0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 208.12	Назад Вперёд

Решение задачи 208.12

Так как 1 = ln , то

ln − 1 = ln − ln = ln = ln (1 + − 1).

Функция

( ) =

− 1

бесконечно малая при

→ , поэтому

(1 + − 1) − 1,

→ .

Значит,

ln − 1

− 1

lim

= lim

−

→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 208.16	Назад Вперёд

Указание к задаче 208.16

Воспользоваться тем, что arctg( − 2) − 2 при → 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 208.18	Назад Вперёд

Решение задачи 208.18

Воспользуемся таблицей эквивалентностей и задачей 207.1:

lim	( 2 − 1)	= lim	· 2	= lim	3		= 1.
lim	2 sin − sin 2	= lim	2 sin (1 − cos )	= lim		2	= 1.
→0	2 sin − sin 2	→0	2 sin (1 − cos )	→0	· ·	2
				2
				2		2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 212.1	Назад Вперёд

Решение задачи 212.1

Будучи элементарной, данная функция непрерывна во всех точках своей области определения, т.е. в точке = 0. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 212.2	Назад Вперёд

Решение задачи 212.2

Область определения данной функции ( ) = R. Поскольку функция ( ) является элементарной, то она непрерывна для всех ( ) = R.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 213.1	Назад Вперёд

Решение задачи 213.1

Найдём односторонние пределы в точке 0 и сравним их со значением ( 0):

	lim	0	( ) =	lim0 0 = 0 ̸= (0),		lim		( ) =	lim 1 = 1 = (0).
	→−					→	+0		→	+0
				→−
Отсюда следует, что функция ( )					непрерывна справа в точке 0. В силу

различия значений односторонних пределов она не является непрерывной в этой точке. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 214.1	Назад Вперёд

Решение задачи 214.1

Находим односторонние пределы в точке 0:

( 0 − 0) = (−0) =	1	= −1,	( 0 + 0) = (+0) = (0 + 1)2 = 1.
	0 − 1

Оба предела существуют и конечны, но различны. Следовательно 0 является точкой конечного скачка, причём скачёк равен

(+0) − (−0) = 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Указание к задаче 214.12	Назад Вперёд

Указание к задаче 214.12

Символом [ ] обозначается целая часть числа . [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 217.1	Назад Вперёд

Решение задачи 217.1


Если \|	\|	<	, то ( ) совпадает с элементарной функцией			= sin и по-
Если \|	\|		2		функция ( ) также непрерывна, поскольку
тому непрерывна. Для \| \| >				2	функция ( ) также непрерывна, поскольку

совпадает с элементарной функцией = 1/2. Таким образом, исследовать

на непрерывность	функцию ( ) следует в точках =				±	.
на непрерывность					±	2
В точке =	2
lim ( ) =		lim sin = 1,	lim ( ) =		lim		1	=	1	.
lim ( ) =		lim sin = 1,	lim ( ) =		lim			=		.
				→			2	2
→ 2 −0		→ 2 −0	→ 2 +0	→		2 +0	2	2

Итак, односторонние пределы в точке = 2 существуют, конечны и не равны между собой. Следовательно функция ( ) в этой точке терпит конечный

разрыв со скачком	(		− 0) −	(		+ 0) =	1 − 2		= 2.
=	(	2	− 0) −	(	2	+ 0) =	1 − 2		= 2.
								1		1

Аналогичным образом убеждаемся, что в точке = − 2 функция ( ) также имеет конечный разрыв со скачком = 1/2. Строим график (рисунок Р.11).

		y
		1
		1
		2
−	π	O	π	x
−	2		2
		−1
		Рисунок Р.11

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 217.12	Назад Вперёд

Решение задачи 217.12

Если | | < 1, то

lim

( ) =

→∞

= 0.

1 + 0

1 + lim

→∞

Если | | > 1, то

( ) = lim

= 1.

0 + 1

→∞ 1/ + 1

При = 1

( ) = lim

1 + 1

→∞ 1 + 1

При = −1 знаменатель задающей функцию ( ) дроби для нечетных обращается в нуль. Значит, в этой точке предел не существует, и функция( ) не определена.

Итак, мы доказали, что

0	при \| \| < 1,



( ) = 1/2	при = 1,

	при \| \| > 1.
1	при \| \| > 1.

Так как

(1 − 0) = 0,

(1 + 0) = 1,

(−1 − 0) = 1,

(−1 + 0) = 0,

то эта функция в точках = ±1 терпит конечный разрыв со скачком = 1. В остальных точках функция ( ) совпадает с постоянной функцией и потому непрерывна. Строим чертеж (рисунок Р.12).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания Глава 2. Теория пределов

Меню Решение задачи 217.12

Назад Вперёд

	y
	1
	1
	2
−1	O	1	x
−1		1
Рисунок Р.12

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 218.1	Назад Вперёд

Решение задачи 218.1

При = 0 функция ( ) совпадает с элементарной функцией 2−1/ 2 и потому
̸
непрерывна. Исследуем функцию ( ) на непрерывность в точке = 0:
lim ( ) = lim 2−					1	= 2−∞ = 0 = 2 = (0).
					2
	→	0	→	0		̸

Итак, предел функции ( ) в точке = 0 существует, но не равен значению функции в этой точке. Таким образом, в точке = 0 данная функция имеет устранимый разрыв. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 2. Теория пределов
Меню Решение задачи 221	Назад Вперёд

Решение задачи 221

Функция ( ) = 4−3 2+2 −1 является многочленом и потому непрерывна на отрезке [1; 2]. Найдем ее значения на концах этого отрезка:

(1) = 1 − 3 + 2 − 1 = −1 < 0, (2) = 16 − 12 + 4 − 1 = 7 > 0.

Полученные значения имеют разные знаки, поэтому по первой теореме

Больцано—Коши существует точка	(1; 2), в которой ( ) = 0. Число
и есть корень данного уравнения.	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 3. Теория дифференцирования

Меню	Назад Вперёд

Глава 3. Теория дифференцирования

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 229.1	Назад Вперёд

Решение задачи 229.1

Воспользовавшись правилами дифференцирования суммы и разности, производной степенной функции, получим

′ = ( 3 + 3 2 − 4)′ = ( 3)′ + (3 2)′ − (4)′ = 3 2 + 3( 2)′ − 0 =

=3 2 + 3 · 2 = 3 2 + 6 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 230.1	Назад Вперёд

Решение задачи 230.1

Воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции и таблицой производных. Получим

′ = (tg2	3 )′ = 2 tg 3 · (tg 3 )′ = 2 tg 3 ·	1	· (3 )′ =

		cos2 3
	= 2 tg 3 ·		1		· 3 =	6 tg 3
							.
				cos2 3		cos2 3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 231.1	Назад Вперёд

Решение задачи 231.1

Применим формулу

′ = · (ln )′.

Найдем логарифмическую производную. При этом воспользуемся свойством логарифма.

ln = ln(sin ) = · ln sin ;

(ln )′ = ( · ln sin )′ = ′ · ln sin + · (ln sin )′ = ln sin + · cossin .

Подставим в исходную формулу

′ = (sin ) (ln sin + ctg ).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 232.1	Назад Вперёд

Решение задачи 232.1

Пользуясь правилами дифференцирования и таблицей производных, найдем:

′ =

((4 − 3 5)5 + 4 ln 4)

5(4 − 3 5)− 5

· (−15 4) + 4 ln 4 · ln 4 =

′

3 4

= −

+ 2 · 4 .

√5

Теперь вместо подставим 1:

(4 − 3 5)4

′(1) =

3 · 14

+ 2

3 + 8 = 5.

−√5 (4 − 3 · 15)4

−

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 233.1	Назад Вперёд

Решение задачи 233.1

Найдем производную первого порядка:

′ = (3 2 − + 5)′ = 6 − 1.

Производную второго порядка найдем по определению

′′ = ( ′)′ = (6 − 1)′ = 6.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 234.1	Назад Вперёд

Решение задачи 234.1

Используя определение, находим последовательно производные:

′ = (5 2 − 104 − 3)′ = 10 − 104,

′′ = ( ′)′ = (10 − 104)′ = 10,

′′′ = ( ′′)′ = (10)′ = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 235.1	Назад Вперёд

Решение задачи 235.1

Найдем первую и вторую производные указанной функции:

′ = ( − )′ = − − ,

′′ = (− − )′ = − .

Несложно сделать предположение, что

( ) = (−1) − .

Проверим справедливость этой формулы методом математической индукции.

При = 1 формула очевидно верна.

Пусть это равенство выполняется при = , т.е.

( ) = (−1) − .

Проверим его при = + 1, т.е. покажем, что

( +1) = (−1) +1 − .

Действительно,

( +1) = ( ( ))′ = ((−1) − )′ = (−1) · (−1) − = (−1) +1 − .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 236.1	Назад Вперёд

Решение задачи 236.1

Прежде всего заметим, что

	′ = 1,	( )( ) = 0, = 2, 3, . . . ,
	(sin )( ) = sin ( +				).
	(sin )( ) = sin ( +		2		).
Тогда, применяя формулу Лейбница, получим

	∑
( sin )(100) =	100( )( )(sin )(100− ) =
	=0
	= 1000 (sin )(100) + 1001 ′(sin )(99) =
= sin( + 50 ) + 100 sin ( + 2						)	= sin − 100 cos .
				99

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 237.1	Назад Вперёд

Решение задачи 237.1

Уравнение касательной имеет вид:

= ′( 0)( − 0) + ( 0).

В нашем случае

′( ) = (ln )′ = 1 ,

′( 0) = ′(1) = 11 = 1,

( 0) = (1) = ln 1 = 0.

Подставив полученные результаты в уравнение касательной, получим

= 1 · ( − 1) + 0,					т.е.	= − 1.
Уравнение нормали имеет вид:
1
= −				(	− 0) + ( 0).
			′( 0)
Значит, в нашем случае уравнение нормали
1					т.е.
= −		( − 1) + 0,				= − + 1.
	1
Определим угол наклона касательной
tg = ′( 0) = 1						=
								.
							4

Сделаем рисунок.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 3. Теория дифференцирования

Меню Решение задачи 237.1

Назад Вперёд

y	y = x − 1
	y = x − 1
		y = ln x
	b
O	1	y =	−x	x
		y =	−x	+ 1
	Рисунок Р.13

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 258.1	Назад Вперёд

Решение задачи 258.1

Углом между кривыми в точке их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в указанной точке.

Вначале определим точки пересечения данных кривых. Для этого ре-

шим систему уравнений

2 = 2 ,

2 + 2 = 8,

откуда получим точки (2; 2), (2; −2).

Рассмотрим вначале точку (2; 2). Для того, чтобы найти угол между касательными, достаточно знать их угловые коэффеценты в этой точке. Для

кривой 2 = 2 получим

2 · ′ = 2,

′ =

= ′(2; 2) =

Для кривой 2 + 2 = 8 имеем

2 + 2 · ′ = 0,

′ = −

2 = ′(2; 2) = −1.

Значит для искомого угла

2 − 1

−1 − 21

−

1 + 21

1 − 1 2

т.е. острый угол между данными кривыми в точке (2; 2) равен				.
Поступая аналогично для точки (2; −2), будем иметь				4

1
1 = −		,	2 = 1,
	2

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 258.1	Назад Вперёд

	1 + 1
tg 2 =	2	= 1	2 =		.
tg 2 =	1 + 1	= 1	2 =	4	.
	2

[Вернуться к условию]

( ) =

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 259.1	Назад Вперёд

Решение задачи 259.1

Функция средних издержек выражается соотношением:

( ).

В данном случае

( ) = 50 − 0, 05 3 = 50 − 0, 05 2.

При = 10 средние издержки равны

( ) = 50 − 0, 05 · 102 = 45.

Функция предельных издержек выражается производной:

( ) = ′( ).

В данном случае

( ) = (50 − 0, 05 3)′ = 50 − 0, 15 2.

При = 10 предельные издержки равны

( ) = 50 − 0, 15 · 102 = 35.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 260.1	Назад Вперёд

Решение задачи 260.1

Эластичность определяется с помощью следующей формулы:

( ) =

′.

Значит, в данном случае

( ) =

(

−

0, 5 + 80)′ =

−0, 5

0, 5 + 80

−

160

При = 60 эластичность себестоимости равна

60( ) =

= −0, 6.

−

160

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 261.1	Назад Вперёд

Решение задачи 261.1

Производительность труда определяется производной от объема продукции:

( ) = ′( ).

Скорость изменения производительности выражается производной от производительности труда:

( ) = ′( ).

Темп изменения производительности равен логарифмической производной от производительности труда:

( ) = (ln ( ))′ =

′( )

( )

Значит, в данном случае

+ 100 + 50)

= −2 2 + 15 + 100,

( ) =

(−6 3

+ 2 2

′

+ 15 + 100)

( ) =

(−2

= −5 + 15,

′

( ) =

−5 + 15

2 − 6

2 − 6 − 40

−25

2 + 15 + 100

Через час после начала работы, т.е. при = 1, указанные параметры равны

5(1) = −2 + 15 + 100 = 112, 5,

(1) = −5 + 15 = 10,

(1) =		2 − 6	=	4	.
	1	− 6 − 40
				45

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 261.1	Назад Вперёд

За час до окончания работы, т.е. при = 8 − 1 = 7, указанные параметры равны

	5		· 72 + 15 · 7 + 100 = 82, 5,
(7)	= −
		2
	(7) = −5			· 7	+ 15 = −20,
	(7) =		2	· 7	− 6	=	−	8	.
			72 − 6 · 7 − 40					33

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 262.1	Назад Вперёд

Решение задачи 262.1

Равновесная цена определяется из условия = . Поэтому, решив уравнение

+ 8

+ 2 = + 0, 5,

получим = 2, т.е. равновесная цена равна 2. Эластичность спроса определяется формулой

( ) = ′( ) =			( + 2)	′	= −( + 2)( + 8).
			+ 8	′		6

Эластичность предложения определяется формулой

( ) =	′( ) =	( + 0, 5)′ =		=	2	.
			+ 0, 5		2 + 1

Значит, эластичность спроса и предложения для равновесной цены= 2 равна

	( ) =	−	6 · 2	=	−	0, 3;	( ) =		2 · 2		= 0, 8.
2		−	(2 + 2)(2 + 8)		−	2		2	·	2 + 1
									·

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 263.1	Назад Вперёд

Решение задачи 263.1

Найдем производную:

′ = (arcsin 2 )′ =

√

· (2 )′ =

√

1 − 4

Значит, дифференциал функции будет равен

= ′ =

√

1 − 4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 264.1	Назад Вперёд

Решение задачи 264.1

Воспользуемся формулой

( +

) − ( ) ≈ ′( ) · .

В этом случае ( ) = √

, ′( ) =

. При применении указанной формулы

2√

√

важно правильно выбрать точку и

. Легко вычислить

= 5. Поэтому,

в качестве положим 25, т.е.

= 25,

= 26 − 25 = 1.

Подставив их в формулу, получим

√

25 + 1 −

25 ≈

2√

· 1.

Тогда

√

26 = 25 + 1 ≈

+ 5 = 5,

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 264.2	Назад Вперёд

Решение задачи 264.2

Воспользуемся формулой

( +

) − ( ) ≈ ′( ) · .

В этом случае ( ) = √

, ′( ) =

. При применении указанной формулы

2√

. Легко вычислить √

важно правильно выбрать точку и

= 1. Поэтому,

в качестве положим 1, т.е.

= 1,

= 1, 2 − 1 = 0, 2.

Подставив их в формулу, получим

√

1 + 0, 2 −

1 ≈

2√

· 0, 2.

Тогда	√
	√
		1, 2 ≈ 0, 1 + 1 = 1, 1.
			[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 264.3	Назад Вперёд

Решение задачи 264.3

Воспользуемся формулой
( +	) − ( ) ≈ ′( ) · .
В этом случае ( ) = log2 , ′( ) =		1		. При применении указанной фор-
		ln	2
мулы важно правильно выбрать точку			и . Легко вычислить log2 2 = 1.
Поэтому, в качестве положим 2, т.е.
= 2,	= 1, 9 − 2 = −0, 1.

Подставив их в формулу, получим

log2(2 − 0, 1) − log2 2 ≈ 2 ln 2 · (−0, 1).

Тогда

1 log2 1, 9 ≈ 1 − 20 ln 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 266.1	Назад Вперёд

Решение задачи 266.1

Так как sin 2 · 0 = 0, 3 · 0 = 0, то применим правило Лопиталя:

lim			sin 2	= lim			(sin 2 )′	lim	2 cos 2	=	2 cos 0		=	2	.
			3				(3 )′		3			3
	→	0			→	0		0						3
								→

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 267.1	Назад Вперёд

Решение задачи 267.1

Область определения данной функции ( ) = (−∞, +∞). Найдем производную

′ = ( 3 − 5 2 + 6 − 7)′ = 2 − 5 + 6. 3 2

Область определения производной ( ′) = (−∞, +∞). Приравняв производную к нулю

′ = 0

2 − 5 + 6 = 0,

найдем критические точки

			1 = 2,		2 = 3.
Составим таблицу

		(−∞; 2)		2	(2; 3)		3	(3; +∞)
				−37			−25
	′	+		0	−		0	+
					−
Значит,
1 = 2 — точка максимума, max = −5						37 ;
2 = 3 — точка минимума, min = −2						;
функция возрастает при (−∞; 2], [3; +∞);
функция убывает при [2; 3].								[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 268.1	Назад Вперёд

Решение задачи 268.1

Область определения данной функции ( ) = (−∞, +∞). Найдем производную вторую производную

′ = ( 4 − 4 3 + − 1)′ = 4 3 − 12 2 + 1,

′′ = (4 3 − 12 2 + 1)′ = 12 2 − 24 .

Область определения второй производной ( ′′) = (−∞, +∞). Приравняв ′′ к нулю

		′′ = 0	12 2 − 24 = 0,
найдем точки
		1	= 0,	2 = 2.
Составим таблицу

		(−∞; 0)	0	(0; 2)	2	(2; +∞)
	′′		−1		−15
			−1		−15
		+	0	−	0	+
		+	0		0	+

Значит, (0; −1), (2; −15) — точки перегиба;

функция выпукла (выпукла вверх) при [0; 2]; функция вогнута (выпукла вниз) при (−∞0], [2 + ∞).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 269.1	Назад Вперёд

Решение задачи 269.1

Функция = 3 − 3 непрерывна на отрезке [0; 2]. Найдем производную

′ = ( 3 − 3 )′ = 3 2 − 3.

Производная ′ непрерывна на отрезке [0; 2]. Приравняв производную к нулю

′ = 0	3 2 − 3 = 0,
найдем критические точки
1 = −1,		2 = 1.

Точка 1 = −1 ̸ [0; 2], а 2 = 1 [0; 2].

Вычислим значения функции в полученной точке и на концах отрезка:

(1) = −2,

(0) = 0,

(2) = 2.

Значит, наибольшее значение функции

наиб = (2) = 2;

наименьшее значение функции

наим = (1) = −2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 270.1	Назад Вперёд

Решение задачи 270.1

Найдем вертикальные асимптоты.

Область определения функции ( ) = (∞; −1) (1; +∞). Поскольку

1 0

−∞

( + 1)2

lim

→− ±

то = −1 — вертикальная асимптота.

Найдем наклонные асимптоты = + . При → +∞

lim

( )

= lim

= 1,

( + 1)2

→+∞

−

→+∞

−

→+∞ (

( + 1)2

−

)

→+∞ −( + 1)2

= lim ( ( )

) = lim

lim

2 2 − 2

Значит, = − 2 — наклонная асимптота.

→ −∞ прямая

Аналогичным образом можно получить, что при

= − 2 также является наклонной асимптотой.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 271.1	Назад Вперёд

Решение задачи 271.1

Область определения ( ) = (−∞; +∞). Найдем пределы при , стремящимся к концам промежутков области определения

lim

( ) =

lim

(

+ 3

− 9 + 1) = +∞,

∞

→

lim

( ) =

lim

( 3

+ 3 2

− 9 + 1) = −∞.

→−∞

Так как ( ) = (−∞; +∞), то вертикальных асимптот нет.

Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к.

+ 9 + 1).

(− ) = 4((− )3 + 3(− )2 − 9(− ) + 1)

= 4( − 3 + 3 2

Функция не является периодической.

Точки пересечения с осями координат. С осью : = 0. Получим уравнение

3 + 3 2 − 9 + 1 = 0.

Это уравнение достаточно сложное для решения, поэтому пропустим этот пункт.

С осью : = 0. Тогда

= 14(03 + 3 · 02 − 9 · 0 + 1) = 14.

Получили точку (0; 1).

Исследуем функцию на монотонность и экстремум. Найдем производ-

ную

′ = 14( 3 + 3 2 − 9 + 1)′ = 34 2 + 32 − 94.

Часть II. Задачи

Решения и указания

Глава 3. Теория дифференцирования

Меню Решение задачи 271.1

Назад Вперёд

Область определения производной ( ′) = (

−∞

, +

∞

Приравняв производную к нулю

′ = 0

3 2

+ 6

−

9 = 0,

найдем критические точки

Составим таблицу

1 = −3,

2 = 1.

(−∞; −3)

−3

(−3; 1)

(1; +∞)

−1

′

−

Значит,

1 = −3 — точка максимума, max = 7;

2 = 1 — точка минимума, min = −1;

функция возрастает при (−∞; −3], [1; +∞); функция убывает при [−3; 1].

Определим интервалы выпуклости и точки перегиба. Найдем вторую

производную			1										3		3
	′′		1			(3 2 + 6 − 9)′ =							3		3
			=											+			.
			=		4								2	+		2	.
Область определения ′′: ( ′′) = (									, +	∞		).
							−∞			∞
Приравняв вторую производную к нулю
			′′ = 0						3	+		3	= 0,

									2			2
найдем точку = −1. Составим таблицу
				(−∞; −1)				−1			(−1; +∞)
		′′							3
									3
						−			0					+
									0					+

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 271.1	Назад Вперёд

Значит, (−1; 3) — точка перегиба;

функция выпукла при (−∞; −1]; функция вогнута при [−1 + ∞).

Найдем наклонные асимптоты = + . При → +∞

lim

( )

lim

3 + 3 2 − 9 + 1

∞

→

Значит, наклонных асимптот нет.

Множество значений функции ( ) = (−∞; +∞). Построим график.

	−1	1
	−1	b
−3	O	x
−3	−1	b
	−1
	Рисунок Р.14

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 272.1	Назад Вперёд

Решение задачи 272.1

Доход, который можно получить, продав единиц продукции по цене ( ) равен ( ) = ( ). Поэтому функция прибыли будет иметь вид

Π( ) = ( ) − ( ) = ( ) − ( ) =

− 10 2

− 800.

= (50 − 10) − 50

− 15 − 800 = 50

1749

Исследуем функцию прибыли на максимальное значение при > 0.

Найдем производную

Π′( ) = (

1749

2 − 800)

′

1749

−

Приравняем Π′( ) к нулю:

Π′( ) = 0

1749

−

= 0.

Отсюда = 174, 9. Составим таблицу

(0; 174, 9)

174, 9

(174, 9; +∞)

−800

2259, 001

Π′

−

Значит, прибыль максимальна при продаже max = 174, 9 единиц продукции и составляет Πmax = 2259, 001.

Отметим, что если по смыслу задачи — целое, то для нахождения решения задачи дополнительно нужно вычислить значение функции Π( ) в ближайших к полученному max целых числах. В нашем случае

Π(174) = 2258, 92; Π(175) = 2259.

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 272.1	Назад Вперёд

Поэтому при условии целочисленности , прибыль максимальна при продажеmax = 175 единиц продукции и составляет Πmax = 2259.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 273.1	Назад Вперёд

Решение задачи 273.1

ϕ
b	b
Рисунок Р.15

Обозначим через — точку железной дороги, ближайшую к , — точку между и , где подъездной путь будет пересекать железную до-

рогу (см. рисунок		Р.15). Пусть = , тогда по теореме Пифагора
= √		= √		— длина подъездного пути к железной до-
	2 + 2		64 + 2

роге. Кроме того, = − = 15 − — длина пути по железной дороге. Учитывая стоимость провоза груза по подъездному пути и по железной дороге, найдем общую стоимость транспортировки:

√

= ( ) = · + · = 4 64 + 2 + 2(15 − ).

По смыслу задачи [0; 15]. Исследуем функцию ( ) на наименьшее зна-

чение на этом отрезке. Найдем производную

= √64 + 2 − 2.

′( ) = (4√64 + 2 + 2(15 − ))′

Приравняв производную к нулю, найдем критические точки:

8√

′( ) = 0

√

− 2 = 0

[0; 15].

64 + 42

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 273.1	Назад Вперёд

Найдем значения функции ( ) в найденной точке и на концах отрезка [0; 15]:

(		√					) ≈ 57, 7;
	8			3				(0) = 62;					(15) = 68.
		3						(0) = 62;					(15) = 68.
Значит, наим = (			√			) ≈ 57, 7, а для нахождения угла поступим так:
		8			3
			3
								8				√
							tg =	=	8√		= 3.

										3
								3
Поэтому, = .														[Вернуться к условию]
3

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 274.1	Назад Вперёд

Решение задачи 274.1

Пусть млрд. руб. инвестируется в производство, тогда 1 − млрд. руб. размещается в банк. Размещенный в банк капитал через год будет равен

б( ) = (1 − )	(1 + 100)		= (1 − ) (1 +	100)		=	2	− 2	,
		1		50			3	3

а капитал, вложенный в производство

пр( ) =	(1 + 100)		= (1 +	100)	= 2 .
		2		100

По условию задачи издержки составят ( ) = 2 = 3 2, т.е. прибыль от вложения в производство Π1( ) = ( ) − ( ) = 2 − 3 2. Налоги составят

( ) = Π1( )1003 = (2 − 3 2) · 0, 1.

Таким образом, чистая прибыль от вложения средств в производство составит

Πпр( ) = Π1( ) − ( ) = 2 − 3 2 − (2 − 3 2) · 0, 1 = 0, 9(2 − 3 2).

Значит суммарная прибыль составит

Π( ) = б( ) + Πпр( ) = 32 − 32 + 0, 9(2 − 3 2) = 0, 3 − 2, 7 2 + 1, 5.

Исследуем функцию Π( ) на наибольшее значение при [0; 1]. Найдем производную

Π′( ) = (0, 3 − 2, 7 2 + 1, 5)′ = 0, 3 − 5, 4 .

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 3. Теория дифференцирования
Меню Решение задачи 274.1				Назад Вперёд

Приравняв производную к нулю, отыщем критические точки
Π′( ) = 0	0, 3 − 5, 4 = 0	1 =	1	.

			18

Найденная точка принадлежит отрезку исследования. Осталось вычислить значения данной функции в критических точках и на концах отрезка

		Π (		Π(0) = 1, 5;
		Π (	18) = 120 ≈ 1, 508;
			1		181
		Π(1) =	0, 3 − 2, 7 + 1, 5 = −0, 9.
Значит, наибольшее значение функции Πнаиб = Π							1	= 120181 . Таким обра-
Значит, наибольшее значение функции Πнаиб = Π							18	= 120181 . Таким обра-
зом, для получения максимальной прибыли в						производство следует вложить
зом, для получения максимальной прибыли в						(		)
1 =	1	млрд. рублей, а в банк — 2			= 17 млрд. рублей.
1 =	18	млрд. рублей, а в банк — 2			= 17 млрд. рублей.
	18				18

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 4. Теория интегрирования

Меню	Назад Вперёд

Глава 4. Теория интегрирования

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 302.1	Назад Вперёд

Решение задачи 302.1

Воспользуемся формулой возведения в квадрат, свойством линейности неопределенного интеграла и таблицей интегралов:

∫

(2 + 1)2 = ∫

(4 2 + 4 + 1) = ∫

4 2 + ∫

4 + ∫

= 4

∫

2 + 4 ∫

+ ∫

= 4

+ 4

+ + =

3 3 + 2 2 + + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.1	Назад Вперёд

Решение задачи 303.1

Выполнив замену 3 = , сведем интеграл к табличному:

∫

3 =

∫

cos 3 =

cos 1 =

3 = ,

∫

cos =

sin + =

sin 3 + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.2	Назад Вперёд

Решение задачи 303.2

Выполнив замену sin 5 = , сведем интеграл к табличному:

∫

√sin3 5

sin 5 = ,

∫

√ 3 5

∫

cos 5

5 cos 5 = ,

− 23 =

cos 5 =

1 − 2

+ = −

5√

+ = −

5√

+ .

−21

sin 5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.3	Назад Вперёд

Решение задачи 303.3

Выполнив замену ctg 4 = , сведем интеграл к табличному:

	√							ctg 4 = ,																	1
		ctg 4						ctg 4 = ,
		ctg 4		=						4							= ,			=		√		−		=
										4
	2										2	4													4
∫	sin		4					−sin				4				1				∫			(		4	)
∫													=			1				∫			(			)
										2			=			4
									sin 4					−		4
														−				3
					1			1						1		2					1						1
					1			1						1		2					1						1
			= −			∫	2			= −									+ = −			√ 3 +			= −			√ctg3 4 + .
			= −		4	∫	2			= −					4		23		+ = −		6	√ 3 +			= −		6	√ctg3 4 + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.4	Назад Вперёд

Решение задачи 303.4

Выполнив замену arctg = , сведем интеграл к табличному:

∫ 1

= √ =

√

= 2 + = 2 arctg + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.5	Назад Вперёд

Решение задачи 303.5

Выполнив замену 5 − 2 2 = , сведем интеграл к табличному:

5 − 2 2 = ,

∫ (−

)

∫

−

5−2 =

4 = ,

−

2 2

= −

+ = −

−

+ .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 303.6	Назад Вперёд

Решение задачи 303.6

Разобъем интеграл на два			∫		− ∫
∫	2 + 16		∫	2 + 16	− ∫	2 + 16
	2 − 4	=		2		4	.
		=					.

Второй интеграл в правой части является табличным:

∫

2 + 16 = 4 · 4 arctg 4 + = arctg 4 + .

Впервом интеграле выполним замену 2 + 16 = :

∫	2 + 16	=	2 =	= ∫		= ln \| \| + = ln( 2 + 16) + .
	2		2 + 16 = ,		1


Окончательно получим

∫	2 + 16		−		4
	2 − 4	= ln( 2 + 16)		arctg		+ .
		= ln( 2 + 16)		arctg		+ .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.1	Назад Вперёд

Решение задачи 304.1

Воспользуемся формулой интегрирования по частям. Получим

∫

= ln( + 8),

= +8 ,

= ,

ln( + 8)

− ∫

∫

+ 8

−

+ 8

= ln( + 8)

−

+ 8 =

= ln( + 8) − ∫

+ 8 + ∫

+ 8

= ln( + 8) − + 8 ln | + 8| + = ( + 8) ln( + 8) − + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.2	Назад Вперёд

Решение задачи 304.2

Воспользуемся формулой интегрирования по частям ∫																								= − ∫			:
∫											= ln ,
∫		−									= ,
	2													3			2	+ 1)		,
	2										= ( 2							+ 1)		,
(			+ 1) ln =											1									=
(			+ 1) ln =											1		−							=
											=				−			+
													3		−	2
					·		(	3					3			2							)
					·		(	3		−	2			) − ∫				(	3 − 2				)
								3			2								3		2				1
			= ln							2		+										+				=
			= ln				3 −					+										+				=
			=	(			3 −				+ )ln − ∫ ( 3									− 2 + 1)					=
						3			2										2

( 3 2 ) 3 2

= 3 − 2 + ln − 9 + 4 − + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.3	Назад Вперёд

Решение задачи 304.3

											интегрирования по частям																										∫	=						:
Воспользуемся формулой																2				,																	∫						−	∫
	∫									= ln										,
			−							=														,
			−							=														,
					2													2								2)		,
					2					= (3																2)		,
	(3				2) ln =										3																	=
	(3				2) ln =											2 ln −																=
										= 2											−			2
					= ln2 · (					= 2														2				(	2			− 2 )							=
					= ln2 · (				2					− 2 ) − ∫														(	2			− 2 )							=
							3				2																		3		2					2 ln
																			(32
													=						(32						2		− 2 )ln2 − 2 ∫											(32 − 2)ln .
																									2
Последний интеграл также возмем по частям:
												= ln ,
	∫ (			− )																( ,								)
	∫ (	2		− )								=								( ,								)
		3										=									2						2 ,
		3										=										32		−			2 ,
					2 ln =												3																=
					2 ln =															1													=
												=							4				−			2
						· (						=							4			)				2		(			4		−		)
						· (					4				−							)		− ∫				(			4	2	−		)
										3			2																3			2					1
					= ln											2																			2			=
	(34				= ln											2																			2			=
=	(34		− 2 )ln − ∫ (									4 − 2) = (																			4		− 2 )ln − 8								+ 2 + .
		2									3																			3		2								3	2
Окончательно получим														− 2 )ln2 − (																				− 4 )ln + 34
∫	(3 − 2) ln2 = (								2					− 2 )ln2 − (																	2			− 4 )ln + 34									+ 4 + .
								3 2																							3 2											2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.4	Назад Вперёд

Решение задачи 304.4

Воспользуемся

формулой

интегрирования

по частям.

Положим

= arcsin 2 , =

√

. Тогда =

√

1−4

√1 4 2

−

−8

√

− 4 2 =

∫

−

8 =

−

√

+ =

−

√

−

4 + .

Поэтому,

∫ √1 − 4 2

arcsin 2

= arcsin 2 ·

(−4

1 − 4 2) − ∫ (−4

1 − 4 2) √1

4 2

√

∫

√

−

= −4

√1 − 4 2 arcsin 2 + 2

= −4

2 + .

√1 − 4 2 arcsin 2 +

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.5	Назад Вперёд

Решение задачи 304.5

Воспользуемся формулой интегрирования по частям. В этом случае

∫

= + 8,

= ,

= sin 3 ,

( + 8) sin 3 =

−

3 cos 3

−

∫

−3

(

+ 8) cos 3

cos 3 =

( + 8) cos 3 +

sin 3 + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.6	Назад Вперёд

Решение задачи 304.6

Воспользуемся формулой интегрирования по частям дважды. Имеем

∫			−		= 2 − 3,
∫			−		= 2 ,
		2			= cos ,
		2			= cos ,
	(			3) cos =		=
	(			3) cos =		=

						= ,
					= sin	= ,
					= sin

−

∫

= ,

= sin ,

= (

3) sin

sin =

−

cos

= ( 2 − 3) sin − 2

(− cos +

∫

cos )

= ( 2 − 3) sin − 2(− cos + sin ) + = ( 2

− 5) sin

+ 2 cos + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 304.7	Назад Вперёд

Решение задачи 304.7

Воспользуемся формулой интегрирования по частям. В этом случае

∫

−

= ,

= cos(

4) ,

−

cos(

4) =

−

= sin(

−

− ∫

−

4) =

sin(

−

4) + cos(

−

4) + .

sin(

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 305.1	Назад Вперёд

Решение задачи 305.1

Выпишем знаменатель и выделим в нем полный квадрат:

2 + 2 + 2 = ( + 1)2 + 1.

Подставим в исходный интеграл и сделаем замену:

∫

( + 1)2 + 1

∫

2 + 1

2 − 3

+ 1 = ,

2( − 1) − 3 =

2 − 5 .

Далее разобъем подынтегральную

дробь

на две и воспользуемся известными

методами:

∫

2 + 1

+ 1

−

2 + 1

−

2 − 5

= ln( 2 + 1)

5 arctg + =

= ln( 2

+ 2 + 2) − 5 arctg( + 1) + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 305.2	Назад Вперёд

Решение задачи 305.2

Так как степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя, то, разделив числитель на знаменатель, получим

3 + 2 2 + 2 + 3

= 1 +

3 2 − + 6

Значит,

3 − 2 + 3 − 3

− 2

+ 3 − 3 = +

∫

3 − 2−+ 3 − 3 .

∫

+ 2 2

+ 2 + 3

3 2

+ 6

Для вычисления интеграла в правой части, вначале разложим на множители знаменатель:

3 − 2 + 3 − 3 = 2( − 1) + 3( − 1) = ( 2 + 3)( − 1).

Теперь разложим подынтегральную дробь на простейшие дроби, воспользовавшись методом неопределенных коэффициентов. Имеем,

3 2 − + 6	=	+		+		=
( 2 + 3)( − 1)	=		2 + 3	+	− 1	=	2 − + − + 2 + 3
( 2 + 3)( − 1)			2 + 3		− 1
						=		.
							( 2 + 3)( − 1)

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в конечном и начальном числителе, получим систему

+ = 3,

− + = −1,

− + 3 = 6,

Часть II. Задачи

Решения и указания

Глава 4. Теория интегрирования

Меню

Решение задачи 305.2

Назад Вперёд

решая которую, найдем

= 1,

= 0,

= 2.

Возвращаясь к вычислению

интеграла, будем иметь

∫

( 2 + 3)( − 1)

∫

2 + 3

− 1

3 2

− + 6

ln( 2 + 3) + 2 ln

| − 1| + .

Окончательно,

+ 3 − 3

= + 2 ln( 2 + 3) + 2 ln | − 1| + .

∫

− 2

+ 2 2

+ 2 + 3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 306.1	Назад Вперёд

Решение задачи 306.1

Сделаем замену:

√4

= ,

∫

√2

2 − 1

∫

−

= 2 ( 4

−

1),

−

1 = 4,

2 3

−1

= 2

Получили интеграл от рациональной функции. Для вычисления отнимем и добавим в числителе единицу, разобъем интеграл на сумму интегралов и воспользуемся таблицей интегралов:

∫	− 1		∫	− 1		∫ (	− 1)
2	2	= 2	2	− 1 + 1	= 2	+ 1 +	1	=

( 2 )

= 2 2 + + ln | − 1| + =

= √2 − 1 + 2√4 2 − 1 + ln (√4 2 − 1 − 1)2 + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 306.2	Назад Вперёд

Решение задачи 306.2

Сделаем замену:

∫

√ + 2

−

∫

· −

− 1 =

√

+ 2 = ,

( − 2)2 − 1

2) =

= ( 2)2,

−

= 2

−

= 2(

∫

+ 11

Разобъем на сумму интегралов:

)

2 ∫

−

= 2 ∫ (

− 6

+ 11 − 6

6 2

+ 11

∫

= 2 ∫

2 − 12 ∫

+ 22 ∫

− 12

=23 3 − 6 2 + 22 − 12 ln | | + =

=23(√ + 2)3 − 6(√ + 2)2 + 22(√ + 2) − 12 ln(√ + 2) + =

=23√ 3 − 2 + 6√ − 12 ln(√ + 2) + .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 307.1	Назад Вперёд

Решение задачи 307.1

Для	вычисления					интеграла		применим		формулу
sin cos = 1		(sin( + ) + sin( + )). Тогда
∫	2				∫	(sin 5 − sin ) =
∫	sin 2 cos 3 = 2				∫	(sin 5 − sin ) =
				1
		= 2	∫ sin 5 − 2				∫ sin = −10 cos 5 +		2 cos + .
		1				1		1	1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 307.2	Назад Вперёд

Решение задачи 307.2

Произведем замену:
∫	sin2 cos =	sin = ,
∫	sin2 cos =	cos =

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 307.24	Назад Вперёд

Решение задачи 307.24

При помощи универсальной тригонометрической подстановки сведем данную задачу к интегрированию рациональной функции. Имеем,

∫

= ,

∫

1 2

= 2

2 .

cos

1+− 2

2 + cos

2 + −

1 +

3 +

Вычисляя последний

интеграл с помощью

таблицы интегралов,

∫

3 + 2 =

√3 arctg

√3

+ ,

и производя обратную замену, окончательно получим

√

∫

arctg (

) + .

2 + cos

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 308.1	Назад Вперёд

Решение задачи 308.1

Воспользуемся свойством линейности определенного интеграла и применим формулу Ньютона–Лейбница:

∫	(6 2	− 5) = 6	∫	2 − 5	∫	= 6 33 0 − 5 0 =
2			2		2					2	2
0			0		0

								8
					= 6		(		− 0) − 5(2 − 0) = 16 − 10 = 6.
					= 6		(	3	− 0) − 5(2 − 0) = 16 − 10 = 6.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.1	Назад Вперёд

Решение задачи 309.1

Вычислим этот интеграл, произведя подходящую замену. При этом дополнительно следует проконтролировать, как изменятся границы интегрирования. Именно,

1						1		1						1
			2	= ,
			2 = ,

∫								∫					0				−
∫								∫	2		2		0			2	−
0	2				=		,	0	1		1				1
	2				=		,		1		1				1
		=	1		1	2		=		=					= ( 1).
		=				2		=		=					= ( 1).


			0		0


												[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.2	Назад Вперёд

Решение задачи 309.2

Выполним замену ln = . Получим

			ln = ,
			1 = ,
			1 = ,		1
∫					∫


				1
1	sin(ln )			1	0
	sin(ln )
		=			=
		=			=
			1	0

		1

sin = − cos			=
sin = − cos	0		=

= − cos 1 + cos 0 = 1 − cos 1.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.3	Назад Вперёд

Решение задачи 309.3

Воспользуемся свойством четности подынтегральной функции. Имеем

				1		(1 2)√1								2		= 2		∫	1	(1 2)√1						2 .
				∫1		(1 2)√1								2		= 2		∫	2	(1 2)√1						2 .
				2															2

				− 2			−						−					0				−			−
				− 2
Теперь выполним замену = sin . Получим
											= sin					,
	1		2	√				2
∫	(1			) 1								1
0	2	−			−								= cos ,
0		−			−							2			6

2									=												=
												0			0



										∫		6	(1			sin2		)			1		sin2	=
									= 2	∫			(1			sin2		)			1		sin2	=
																	cos
												6			−				√
												6							√
										0												−
									= 2	∫			cos2 = 2 tg 0										= 2	tg 6 − tg 0			=	3 .
										0													(				)
										0												6	(				)	2√3
																						6						2√3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.4	Назад Вперёд

Решение задачи 309.4

√

Выполним замену 4 + sin = . Получим

	2
	2					−
			=	4 + √sin = ,
			=					−
				sin = ( 4)2					,
∫		√
∫	4 + sin
0		cos								4) ,
		cos		cos = 2(						4) ,

				2
				0	4
				0	4

				5			5
				∫	− 4 ∫
			= 2								= 2
			= 2								= 2
				4			4


	=		5			−			=
	=					−			=

		∫
		∫
			4		2(		4)
					2(		4)





			5					5		5
		4		− 4 ln \| \| 4)					= 2 − 8 ln	5
(		4		− 4 ln \| \| 4)					= 2 − 8 ln	4.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.5	Назад Вперёд

Решение задачи 309.5

Преобразуем подынтегральную функцию следующим образом:

∫3

2 + 3 + 4

∫3

2 + 3 + 4

( − 1)2

2 − 2 + 1

− 2

∫3

−

∫3

2 + 3 + 4

( 2 + 3 + 4) − (5 + 3)

5 + 3

− 2

Первый из полученных интегралов вычисляется элементарно:

∫	= 2 + 2	= 2.
2	3	7

−32

Взнаменателе подынтегральной функции второго интеграла выделим полный квадрат:

2 + 3 + 4 = 2 + 2 · · 2	+ 4	− 4 + 4 = ( +		2)	2	+ 4.
3	9	9		3	2	7

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.5	Назад Вперёд

Тогда
																					+ 3						= ,
																								2
	2																				= ,
						5 + 3
						5 + 3
																=																	=
																=																	=
∫3							3		2			7
∫3				+			2				+ 4													2			7
−	2		(					)																2			2
−			(					)																3			0
																								2			0
																								2
		7																				−7																		7								7
		2									3											2							9											2								2
					5		−				3	+ 3													5 −				9																	9
=					5		−				2	+ 3						=							5 −				2			= 5														9								=
=						(						7						=											7			= 5													7								7	=
		∫0										7									∫0								7										∫0						7	2 ∫0							7
		∫0					2 +)4														∫0				2		+		4										∫0		2 +				4 −	2 ∫0				2 +			4
						7
		5				2		2 +						7				9			2										2						7
		5						2 +						7				9			2										2						2
=					∫			(2 + 474 )										−		·	√					arctg				√						0			=
		2																	2
		2																	2				7											7
					0
																	7																7
=		5										7					2	9									2						2
=			2 ln ( 2 +									4)0						− √7 arctg √7														0				=

															7																																9√
		5																9																									5								7
		5																9																									5								7
=						ln 14						ln										(arctg √7														arctg 0) =									ln 8							arctg √7.
=						ln 14						ln										(arctg √7														arctg 0) =									ln 8							arctg √7.
		2			(					−					4) − √7																		−										2			−		7
Окончательно,																											2 − 2
								∫3				2 + 3 + 4															2 − 2													7
											2		( − 1)2																													9√			arctg √
								− 2					( − 1)2									=						7							15			ln 2 +				9√		7					7	.
																						=																ln 2 +											7	.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.6	Назад Вперёд

Решение задачи 309.6

Воспользуемся методом интегрирования рациональных функций. Для этого разложим знаменатель на множители. Получим

3 − 1 = ( − 1)( 2 + + 1).

Разобъем подынтегральную дробь на простейшие. Имеем

	=		+	+	=

( − 1)( 2 + + 1)		− 1		2 + + 1

= 2 + + + 2 + − − .

( − 1)( 2 + + 1)

Приравнивая коэффициенты в последнем и первом числителе, составим и решим систему:

+ = 0,

= − ,

31 ,1

− + = 1,

= ,

= −3

− = 0;

+ + = 1;

3 .

Таким образом,

исходный интеграл равен

∫

∫ 3 − 1 3

∫

− 1 −

+ + 1

− 1

−1

Вычислим каждый из интегралов в правой части последнего равенства. Имеем

∫0				= ln \| − 1\| 0	1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2,
∫0		−	1	= ln \| − 1\| 0	1 = ln 1 − ln 2 = − ln 2,
−	1	−		−
−

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.6	Назад Вперёд

∫0

−1

					1														1						+		1		= ,
																											2
										∫

	2	+ + 1													+		1		2	+	3
		+ + 1													+		2			+	4				=					1
											0														=				,
			−								1						−									0				2
			−				=						(				−					=									=
										−			(					)								1				1
																										1				2
																														2
			1									1									1				−				−
			1									1									1				−				−
			2	2		+	43					2			2 + 43						2					43
		∫1		2		+	43					∫1			2 + 43						− 2 ∫1			2 +		43
=						−	23		=												3				1			=
=									=																			=
		− 2									− 2												− 2
							2						2			1
																2
																2

= 0 − 3 · √										arctg √					0		=		−2√3 arctg 1√3 = −2√3 ·													6
= 0 − 3 · √								3		arctg √				3	0		=		−2√3 arctg 1√3 = −2√3 ·													6

√

= − 3 3.

Заметим, что при вычислении использовалось свойство четности подынтегральной функции. Окончательно,

∫

3 − 1 =

3 (− ln 2 +

) =

9 3 − 3 ln 2.

√

−1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.7	Назад Вперёд

Решение задачи 309.7

Воспользуемся формулой понижения степени для тригонометрических функций. Имеем

∫0							(1 −					2				)		=
∫0	sin6	= ∫0					(1 −					2				)		=
	2					2					cos 2 3
			8			∫				−			∫												∫						− ∫					.
			8			∫	2			−			∫	2											∫	2					− ∫		2
		=	1				2					3		2	cos 2 + 3											2	cos2	2					2	cos3 2
		=										3	0		cos 2 + 3												cos2	2				0		cos3 2
				0									0											0								0

Вычислим каждый из полученных интегралов:
																	∫0					2 ,
																	∫0	=				2 ,
																		2

				∫		cos 2 =									2 sin 2 0						=			2(sin − sin 0) = 0,
				0	2										1									1
															1					2				1

∫								∫														2		( + 4 sin 4 )0									=

	cos2 2 = 2								(1 + cos 4 ) =
0	2						1	0	2													1					1
																																2
															= 2			(	2	+			4 sin 2 )					− 2		(0 + 4 sin 0)					=	4 ,
																	1						1						1					1

	Часть II. Задачи
	Решения и указания
	Глава 4. Теория интегрирования
Меню	Решение задачи 309.7															Назад Вперёд

∫0			cos2	2 · cos 2 =				2	∫0
∫0	cos3 2 =	∫0	cos2	2 · cos 2 =				2	∫0	(1 − sin2 2 ) (sin 2 ) =
	2	2						1		2
									= 2		(sin 2 −			3		)0		= 0.
										1			sin	3	2
										1			sin	3	2		2

Окончательно получим
	∫						2 − 0 + 3 · 4				− 0 =	32 .
	∫	sin6 = 8				(	2 − 0 + 3 · 4				− 0 =	32 .
	0	2			1	(					)	5
					1							5

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.10	Назад Вперёд

Решение задачи 309.10

Воспользуемся формулой интегрирования по частям для определенного интеграла. Получим

∫

= ,

−

∫

−

= ,

= sin ,

cos

cos ) =

sin =

−

(

cos

= −( · (−1) −

0) + sin 0

+ 0 = .

[Вернуться

к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.11	Назад Вперёд

Решение задачи 309.11

Воспользуемся методом интегрирования по частям. Получим

= − 2,

∫

−

= ,

− −

∫

= −

−

(

2) −

= 3(

2) −

+ 3

−

= 3 − 3

−

= 6 − 15 − 9 − 3

− 15 − 9 + 9

= −6 − 3.

= 6

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.12	Назад Вперёд

Решение задачи 309.12

Разделим числитель и знаменатель подынтегральной дроби на √3 + 2. Получим

	2					4√				− √																				2		4√						− 1
																																	32−+2
								2 −					3 + 2														=																				.
								2 −					3 + 2
																									2																					2
		∫				(												)							2																					2
		∫		(		(						−			)			)										∫			1 + 4								−
	0			(	√3 + 2 + 4√2							−			)												0							√			3 +2				(3	+ 2)
					√3 + 2 + 4√2										(3 + 2)																						2				(3	+ 2)
Выполним замену:
																	√
																	√			32−+2					= ,2						2
																2			−		2		2 2							+ 2 ,
																2						= 3								+ 2 ,
																	= −2										,
		√				2						2					= −2										,
2		√	2			2						2									3			+1			8
2			2																		3			+1
∫						−		(3 + 2)									3 + 2 =											3 2	+1 ,
∫	1 + 4					−		(3 + 2)									3 + 2 =											3 2	+1 ,
	4		3 −+2			−	1																			16				,
						−								=			= (3−2+1)2													,						=
														=			= (3−2+1)2																			=
					√

																			2		0
0						3 +2													2		0
0						3 +2
																			0		1
																			0		1


										∫1	1 + 4																	(3 2			+ 1)2									4 ∫0			4 + 1
										∫1	1 + 4									64								(3 2			+ 1)2									4 ∫0			4 + 1
									0		4					(3				2	+ 1)					2					16									1				2
											4			−	1	(3					+ 1)								−		16									1 4					−
									=					−															−						=										−			.
									=																										=													.

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 309.12	Назад Вперёд

Разделив числитель на знаменатель, получим
4 ∫0	4 + 1						4	∫0	(	− 2 4 + 1)
1		2	−					1			1
1 4				=			1			1	+	2	=
				=							+		=		2 − 2 + 8 ln 5) = 32 .
			= 4			(	2	− 2 + 8 ln \|4 + 1\|)0					= 4	(	2 − 2 + 8 ln 5) = 32 .
					1 2					1	1		1 1 1 1				ln 5

																[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 4. Теория интегрирования

Меню Решение задачи 310.1

Назад Вперёд

Решение задачи 310.1

Сделаем рисунок.

y
1	y = sin x
1
O	π	x
	Рисунок Р.16

Воспользуемся формулой для вычисления площади криволинейной

трапеции	∫	sin = − cos 0	= −(cos − cos 0) = −(−1 − 1) = 2.
=	∫	sin = − cos 0	= −(cos − cos 0) = −(−1 − 1) = 2.

	0

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 4. Теория интегрирования

Меню Решение задачи 311.1

Назад Вперёд

Решение задачи 311.1

Сделаем рисунок.

y	A
y = √x3	b
y = √x3
1	x
	x
O
Рисунок Р.17

Для нахождения длины дуги кривой воспользуемся формулой (??).
При этом ′ = ( 3/2)′			= 23 1/2. Тогда
				1 + 9				= ,
							4
					49 = ,
∫ √
∫ √		4									∫					9
4								4			10
0											1
		9			=				,							4
=	1 +		=					9		=			√					=


				0				1
				4			10
				4			10

							10											10
				4			∫				4		2				1			8
				4							4		2							8	(10√10
				=				1/2 =				·			· 3/2				=			− 1).
				=		9		1/2 =			9	·		3	· 3/2				=	27		− 1).
							1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 4. Теория интегрирования

Меню Решение задачи 312.1

Назад Вперёд

Решение задачи 312.1

Сделаем рисунок.

	y
		y = 1
		x
		x
O	1	4
		Рисунок Р.18

Для вычисления объема тела, полученного вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси , применим формулу (??):

=	∫	( )		= − 1 = − (4 − 1) = 4 .
	4	1	2	1	4	1	3
	1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 313.1	Назад Вперёд

Решение задачи 313.1

Среднее значение издержек можно вычислить по формуле

ср = 2		− 1 ∫1		( ) .
		1	2

Подставляя исходные значения в указанную формулу, получим

1 = 3(27 + 12 + 6 − 0) = 15.

Для того, чтобы найти объем продукции, при котором издержки принимают значение, равное 15, следует решить уравнение:

( ) = 15		3 2 + 4 + 2 = 15.
Корнями этого уравнения являются числа 1 =			5	и 2 = −3. По смыслу

			3
задачи искомый объем равен	5	.		[Вернуться к условию]
	3

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 314.1	Назад Вперёд

Решение задачи 314.1

Объем продукции , произведенной рабочим за промежуток времени от 1 до 2 выражается формулой

				= ∫1			( ) .
						2
В данном случае				= (	3 ln \|3 + 3\| + 3 )1
=	∫	(	3 + 4 + 3)	= (	3 ln \|3 + 3\| + 3 )1							=
	2		2		2						2
	1		2		2

							2		2				2		10
					=			ln 10 −		ln 7 + 6 − 3 =				ln		+ 3.
					=		3	ln 10 −	3	ln 7 + 6 − 3 =			3	ln	7	+ 3.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 315.1	Назад Вперёд

Решение задачи 315.1

Несложно вычислить,

что

капиталовложения

задаются

функцией

( ) = + =

10 + . В силу того, что

дисконтированный доход

за время вычисляется по формуле

= ∫0

( ) − 100 ,

в данном случае получим

∫

= 10 + ,

= ,

0,08

= −0,08 ,

(10 + ) −

−

12, 5 −

0,08

= −12, 5(10 + ) −0,08 0

+ 12, 5

∫

−0,08 =

= −162, 5 −0,24 + 125 − 156, 25 −0,08 0

≈

−

162, 5 −

+ 125

−

156, 25 −

+ 156, 25

30, 5.

0,24

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 316.1	Назад Вперёд

Решение задачи 316.1

Pапас товаров на складе, образуемый за дней, можно вычислить с помощью формулы

∫

= ( ) .

В данном случае	∫		+ 3 + 4) = ( 3		2 2 + 4 )0
=	∫	(3 2	+ 3 + 4) = ( 3	+	2 2 + 4 )0		= 22.
	2				3	2
	0				3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 317.1	Назад Вперёд

Решение задачи 317.1

По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования имеем:

∫

3 =

→+∞

∫

−

→+∞ (

1 )

= →+∞ (

2 2

+ 2)

+∞

−2

−

lim

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 317.3	Назад Вперёд

Решение задачи 317.3

По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования имеем:

∫0 cos 3 = →+∞

∫0

cos 3 =

+∞

lim

→+∞ ( 3

1 ) = 3 →+∞

−

= lim

sin 3

lim (sin 3

sin 3).

Так как lim

sin 3 не существует, то данный

несобственный интеграл рас-

→+∞

ходится.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 317.4	Назад Вперёд

Решение задачи 317.4

По определению несобственного интеграла с бесконечным пределом интегрирования имеем:

		∫1		(1 + 9 2) arctg2 3								= →+∞				∫1			(1 + 9 2) arctg2 3 .
		+∞
	3													lim		3
	3															3
Выполним замену arctg 3 = . Тогда
							=		arctg 3 = ,									=								=
							=											=								=
											3		= ,									arctg 3
										2			= ,									arctg 3
∫1	(1 + 9			) arctg		3			1+9												3		∫
									1+9

			2		2																				2

								1
3								3							4								4
3												arctg 3											4
								=													=							.
								=					− 3		·						=		− 3	(arctg 3 −			)	.
																	arctg			3
															1											1	4

Значит, исходный интеграл равен																								− 3		( − )
∫1	(1 + 9 2) arctg2				3 = −			3 →+∞ (arctg 3 − )																− 3		( − )		3
+∞															1						4					2 4		2
3											lim												=				=		.
3

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 318.1	Назад Вперёд

Решение задачи 318.1

Подынтегральная функция ( ) =

является неограниченной в любой

√

окрестности точки

= 0. По определению несобственного интеграла от

неограниченной функции имеем:

)

→+0 2 − 2

∫ √

→+0

∫ √

= →+0

= 2.

√

lim

= lim

)

(

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 318.2	Назад Вперёд

Решение задачи 318.2

Найдим область определения подынтегральной функции. Для этого приравняем знаменатель к нулю:

9 2	−	9 + 2,	= 81	−	72	−	9, =	9 − 3	=	1	,		=	9 + 3	=	2	.
								18		3				18
							1					2				3

Таким образом заключаем, что подынтегральная функция является неограниченной в любой окрестности точки = 13 . Тогда, по определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем:

	∫		1	9				9 + 2				9 → 31 − ∫				3					3
	∫		3	9				9 + 2				9 → 31 − ∫				3					3
			3			−						1					−		)(	−		)
		0				−							0		(		−		)(	−		)
											=			lim									.
					2						=			lim				1			2		.
Разложим подынтегральную дробь на простейшие:
		1							=			+			=	− 32 + − 31									.
(		)(					)
(	− 31	)(		− 32			)			− 31			− 32				(	− 31		)(	− 32			)
	− 31			− 32						− 31			− 32					− 31			− 32

Сравнивая коэффициенты в последнем и исходном числителе, составим и решим систему:

			+ = 0,												2= − 1,							= −3,
Тогда,			2		−		1								2= − 1,							= −3,
Тогда,		−	3		−		3		= 1;				−		3		+ 3 = 1;						= 3;
∫			3				3		= 1;		∫				3		+ 3 = 1;						= 3;
∫		3			3						∫					3	∫			3
							= 3			−							+					=
		1			2		= 3			−						1	+			2		=
0	−	)(	−			)					0			−			0		−				1		2		2
(		)(	1	0		)		−			2	0) = 3					(− ln	−			1	+ ln	1	−	2	− ln	2
= 3 (− ln		−	3	0		+ ln		−			3	0) = 3					(− ln	−			3	+ ln	3 + ln	−	3	− ln	3).

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 318.2	Назад Вперёд

Окончательно, для исходного интеграла будем иметь

∫	1	9 2		9 + 2		3 → 31 − (−		−	3	3			− 3 − 3)				∞
∫	3	9 2		9 + 2		3 → 31 − (−		−	3	3			− 3 − 3)				∞
0	3		−		= 1 lim				1	+ ln 1			2		2
					= 1 lim		ln		1	+ ln 1	+ ln		2	ln	2	=	,

т.е. исходный интеграл расходится.												[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 4. Теория интегрирования
Меню Решение задачи 318.5	Назад Вперёд

Решение задачи 318.5

Подынтегральная функция ( ) =	1	является неограниченной в любой
	( −3)2

окрестности точки = 3. По определению несобственного интеграла от неограниченной функции имеем:

∫0

( − 3)2

= →3−0

∫0

( − 3)2 =

lim

= →3−0 (−

→3−0 (−

3 − 3) = ∞.

−

lim

= lim

Значит, данный интеграл расходится.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

Меню	Назад Вперёд

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных Меню Решение задачи 319.1 Назад Вперёд

Решение задачи 319.1

Подставляем в функцию абсциссу точки вместо , и ординату — вместо

:	(2, 3 )	= 22 cos	3	= 4 · 2	= 2.
	(2, 3 )	= 22 cos	3	= 4 · 2	= 2.
				1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 320.1	Назад Вперёд

Решение задачи 320.1

Область определения функции состоит из всех точек плоскости, для которых

1 − 2 − 2 > 0,

2 + 2 6 1,

и потому представляет собой круг с центром в начале координат и единичным радиусом, включающий свою границу — окружность.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных Меню Решение задачи 320.2 Назад Вперёд

Решение задачи 320.2

Координаты точек области определения удовлетворяют условию

−	1 6 + 6 1,	+ > 1,
		+ 6 1.
Эта область представляет собой полосу, ограниченную параллельными пря-
мыми + + 1 = 0 и + − 1 = 0.		[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных Меню Решение задачи 321.1 Назад Вперёд

Решение задачи 321.1

Являясь элементарной, данная функция непрерывна на всей своей области определения. Единственная точка разрыва — это нуль знаменателя, расположенный в начале координат (0; 0). [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 322.1	Назад Вперёд

Решение задачи 322.1

Дифференцируем функцию по каждой из её переменных, считая другую переменную постоянной:

∂	= 4 3 cos2 ,	∂	= 4 · 2 cos (− sin ) = − 4 sin 2 .

∂		∂
			[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 322.2	Назад Вперёд

Решение задачи 322.2

Дифференцируем функцию по переменной , считая постоянной, а затем по переменной , считая постоянной:

∂	= 6 2 − 12 ,	∂	= −6 2 + 3 2.

∂		∂
			[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 322.19	Назад Вперёд

Решение задачи 322.19

При нахождении частных производных по каждой из трех переменных считаем остальные две переменные постоянными:

∂	= 2 2 ln ,	∂	= 2 2 ln ,	∂	= 2 2−1.
∂	= 2 2 ln ,	∂	= 2 2 ln ,	∂	= 2 2−1.
∂		∂		∂
					[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 327.1	Назад Вперёд

Решение задачи 327.1

Сначала находим частные производные первого порядка:

∂	= 4 3 + 8 3 + 7 ,	∂	= 12 2 2 + 7 .
∂		∂

Затем находим частные производные второго порядка:

∂2	= 12 2	+ 8 3,	∂2	=	∂2	= 24 2	+ 7,	∂2	= 24 2	.
∂ 2			∂ ∂		∂ ∂			∂ 2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 328.1	Назад Вперёд

Решение задачи 328.1

Находим частные производные функции :

∂	=	2			∂	= ln( 2 − 2) −	2 2
			,					.
∂		2 − 2		∂			2 − 2

Подставляем найденные выражения в левую часть уравнения:

2 − 2	+	(ln( 2 − 2) − 2 − 2 )					=
1 2	1					2 2
		=		2	+ ln( 2 − 2)		−	2	=	ln( 2 − 2)		=	.

			2 − 2					2 − 2			2		2

Получили, что левая часть уравнения тождественно равна правой. А это и значит, что функция удовлетворяет данному уравнению.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 331.1	Назад Вперёд

Решение задачи 331.1

Находим частные производные:

∂

−

∂

√ 2 − 2

∂

√ 2 − 2

Выписываем полный дифференциал в виде (5.4):

=	−	.

	√ 2 − 2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 331.18	Назад Вперёд

Решение задачи 331.18

Находим частные производные:

′

, ′

−

, ′

−

√ 2 + 2

√( 2 + 2)3

Выписываем полный дифференциал (5.4):

=			−	+
							.
	√			√
		2 + 2			( 2 + 2)3
						[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 333.1	Назад Вперёд

Решение задачи 333.1

Число 1,073,97 представляет собой	значение				функции			( , )	= при
= 1,07 и = 3,97. Легко вычислить, что при 0 = 1 и 0 = 4
( 0; 0) = 14 = 1.
Находим приращения переменных:
= − 0 = 1,07 − 1 = 0,07,	= − 0 = 3,97 − 4 = −0,03.
Вычисляем частные производные в точке ( 0; 0):
′ = −1,	′(	0	,	0	) = 4	·	14−1	= 4,
		0		0		·
′ = ln ,	′(	0	,	0	) = 14 ln 1 = 0.
		0		0

Находим приближённое значение ( , ), заменяя приращение функции полным дифференциалом:

( , ) = ( 0, 0) + ≈ ( 0, 0) + =

=( 0, 0) + ′( 0, 0)Δ + ′( 0, 0)Δ =

=1 + 4 · 0,07 + 0 · (−0,03) = 1 + 0,28 = 1,28.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных Меню Указание к задаче 333.6 Назад Вперёд

Указание к задаче 333.6

Принять = 3,14. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Указание к задаче 333.9	Назад Вперёд

Указание к задаче 333.9

Выразить приращения аргументов в радианах, считая, что = 3,14. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 334.1	Назад Вперёд

Решение задачи 334.1

Не прибегая к формуле (5.5) производной сложной функции, просто подставим и в :

( ) = 2 cos2 + 2 sin2 = 2(cos2 +sin2 ) = 2 .

Так как производная постоянной равна нулю, то окончательно получаем:

		= 0.	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 334.4	Назад Вперёд

Решение задачи 334.4

Здесь непосредственная подстановка приводит к усложнению выкладок и результата. Применяем формулу (5.5) для производной сложной функции:

∂

= (5 4

+ 2 )(−2 sin 2 ) + (2 − 3 2)

∂

1 + 2

=−2(5 4 + 2 ) sin 2 + 2 − 3 2 . 1 + 2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 334.8	Назад Вперёд

Решение задачи 334.8

По формуле (5.5) производной сложной функции

∂

= ( + ) cos + ( + )

+ ( ) =

∂

= (1 + )

( cos + )

+ .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 335.1	Назад Вперёд

Решение задачи 335.1

Выписываем направляющие косинусы заданного направления:
			√
			√	3									1
cos = cos		=			,	cos = cos (		−		) = cos		=		.
cos = cos	3	=	2		,	cos = cos (	2	−	3	) = cos	6	=	2	.

Находим частные производные функции в точке :

∂	= 2 ,	∂	(1; 1) = 2,	∂	= 2 ,	∂	(1; 1) = 2.

∂		∂		∂		∂

√

Тогда по формуле (5.7) ∂∂ = 2· 23 +2· 12 = √3+1. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 340.1	Назад Вперёд

Решение задачи 340.1

Находим частные производные функции и их значения в точке :

′

= 2 ,

′

(2;

−

1) = 4,

′

= 4 ,

′

(2;

−

1) =

−

Тогда grad = ( ′

( ); ′ ( ))

= (4; −4).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 341.1	Назад Вперёд

Решение задачи 341.1

По определению

grad = ( ′ , ′ , ′ ) = (2 , 2 3, 3 2 2).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 342.1	Назад Вперёд

Решение задачи 342.1

По определению градиента

grad = ( ′ , ′ , ′ ) = (2 − 1, −2 + , ) .

Подставим координаты точки :

grad ( ) = (2 · 1 − 1, −2 · 0 + (−1), 0) = (1, −1, 0) .

Находим модуль градиента, определяющий значение максимального роста

функции : √ √

| grad | = 12 + (−1)2 + 02 = 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 344	Назад Вперёд

Решение задачи 344

Производная

′ = 2

показывает, что при одном и том же расстоянии между городами увеличение потока пассажиров пропорционально удвоенному числу жителей. Производ-

ная

′ = − 22

показывает, что при одной и той же численности жителей увеличение потока пассажиров обратно пропорционально квадрату расстояния между городами. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 345.2	Назад Вперёд

Решение задачи 345.2

Выполняем дифференцирование:

′	=	1	(1	−		)(	−		)− 1	=	− 1 ,
		1 − 1
					1			1		1
′	=	2	(1	−		)(	−		)− 2	=	− 2 .
		1 − 2
					2			2		2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 348.1	Назад Вперёд

Решение задачи 348.1

В данном случае

−1

= −

(ln − ln

)

= 1.

= −

−1

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 349.1	Назад Вперёд

Решение задачи 349.1

Находим частные производные:

′	= 2 +	−	2,	′	= + 2	−	3.
		−				−

Находим подозрительные на экстремум, то есть стационарные, точки:

Отсюда

′ = 0,

2 + − 2 = 0,

−

′ = 0,

+ 2

3 = 0,

3 + 1 = 0.

= 2 − 2

= 2 −

Таким образом, единственной стационарной точкой функции является

точка 0(13 , 43 ).

Находим частные производные второго порядка:

′′	= 2, ′′ = 1,	′′	= 2.

Отсюда имеем, что в точке 0
= ′′ ( 0) = 2,	= ′′ ( 0) = 1,		= ′′ ( 0) = 2,
	= − 2 = 3.

Так как > 0 и > 0, то согласно теореме 5.8 в точке 0 данная функция имеет минимум, причём

min =	(	3	,	3)	=	9	+ 9	+	9	− 3	− 4 =	3	− 4 = −3.
		1		4		1	4		16	2		5	7

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 350.1	Назад Вперёд

Решение задачи 350.1

Находим частные производные функции :

= 2 2

−

2 2,

′

= 4

−

3 2

−

2 2,

′

= 2 2

−

2 2

Ищем стационарные точки внутри треугольника :

′				2	− 33	−2	2		−		−
	= 0,		4		2	2 2 = 0,	(4			3		2 ) = 0,
					− − 2 = 0,			(2	− − 2 ) = 0.
′ = 0,		2			− − 2 = 0,			(2	− − 2 ) = 0.

Внутри треугольника , где > 0 и > 0, полученная система равносильна следующей:

4 − 3 − 2 = 0,				= 2 − 2 ,		= 2 − 2 ,
	−	− 2	= 0,		0
2				4	− 3(2 − 2 ) − 2 = 0,	4 = 2.

Отсюда имеем стационарную точку (1; 1/2), очевидно, лежащую внутри

треугольника (рисунок Р.19). Для этой точки			4.
( 0) = 12 · 2 · (2 − 1 − 2)		=
1	1		1
Исследуем функцию на границе	области.		На сторонах = 0 и

= 0 треугольника функция принимает нулевые значения. На стороне+ = 6, воспользовавшись тем, что = 6 − , представим функцию как функцию 1( ) одной переменной , заданную на отрезке [0; 6]:

1( ) = 2(6 − )(2 − − (6 − ))				= (6 2 − 3) · (−4) = 4 3 − 24 2.
Ищем стационарные точки функции 1( ):
′ ( ) = 0,	12 2	−	48 = 0,		(	−	4) = 0.
1

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 350.1	Назад Вперёд

+ y

= 6

6 x

Рисунок Р.19

Имеем два корня: = 0 и = 4. Из них только = 4 лежит внутри интервала (0; 6). Ему соответствуют точка 1(4; 2), в которой

( 1) = 1(4) = 4 · 43 − 24 · 42 = 16(16 − 24) = −128.

На концах отрезка [0; 6], соответствующих вершинам (6; 0) и (0; 6) треугольника , функция 1( ), очевидно, обращается в нуль.

Мы доказали, что наименьшее и наибольшее значения функции в треугольнике может достигаться либо на сторонах = 0 и = 0, где она обращается в нуль, либо в точках 0 и 1. Следовательно,

min = ( 1) = −128,	max = ( 0) =	1	.

		4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 351.1	Назад Вперёд

Решение задачи 351.1

Найдем стационарные точки функции :		= 2,
′ = 0,	2 − 4 = 0,	= 2,
			−	1.
′ = 0,	2 + 2 = 0,	=		1.

Имеем единственную стационарную точку 0(2, −1), которая принадлежит области . Вычисляем значение функции в этой точке:

( 0) = 4 + 1 − 8 − 2 = −5.

Для поиска максимума и минимума на границе применим метод множителей Лагранжа. Строим функцию Лагранжа:

( , , ) = 2

+ 2 − 4 + 2 + ( 2

+ 2 − 45).

Находим стационарные точки функции Лагранжа:

′ = 0,

2 − 4 + 2 = 0,

= 1+2 1,

′ = 0,

+ 2 + 2

= 0,

= −

+ − 45 = 0,

′ = 0,

Подставляем значения и из двух первых уравнений в третье:

= 45,

= 45, (1 + )2 =

(1 +

(1 + )2

(1 +

Отсюда имеем:

1 +

1 =

1 +

2 = −

1 =

= 6,

1 = −

= −3,

2 =

= −6, 1

= −

= 3.

−3

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 351.1	Назад Вперёд

Итак, на границе обнаружены две стационарные точки функции Лагранжа:1(6, −3) и 2(−6, 3). В этих точках

( 1) = 36 + 9 − 24 − 6 = 15,	( 2) = 36 + 9 + 24 + 6 = 75.
Сравнивая значения функции в точках 0, 1 и 2, приходим к
выводу, что
min = (2, −1) = −5,	max = (−6, 3) = 75.
	[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 353.1	Назад Вперёд

Решение задачи 353.1

Приравнивая ординаты данных двух линий, приходим квадратному уравнению

2 = − 5, 2 − + 5 = 0,

не имеющему решений. Это значит, что данные парабола и прямая не имеют общих точек, что также видно из рисунка Р.20.

Возьмем произвольную точку ( ; 2) параболы и ( ; − 5) прямой. Тогда квадрат расстояния между этими точками, который мы будем обозначать через ( , ), может быть вычислен по формуле

( , ) = ( − )2 + ( 2 − + 5)2.

Для решения поставленной задачи достаточно найти минимум функции

( , ).

Находим стационарные точки функции :

′ = 0,		2(	−	) + 4 ( 2				−	+ 5) = 0,
	−		−					−
	−			−	)	−	2( 2	−	+ 5) = 0.
′ = 0,		2(			)		2( 2		+ 5) = 0.

Сложим оба уравнения:

(4 − 2)( 2 − + 5) = 0.

Если бы выполнялось равенство 2 − + 5 = 0, то из второго уравнения системы следовало бы, что и − = 0. А это бы значило, что парабола и прямая имеют общую точку, что, как мы уже знаем, неверно. Таким образом,

4 − 2 = 0,	=	1	.

		2

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 353.1	Назад Вперёд

Подставим полученное значение во второе уравнение системы:

−2	(2	− ) − 2	(4 − + 5)	= 0,	4 = 2 ,		= 8 .
	1		1		23		23

Делаем вывод, что единственной стационарной точкой функции ( , ) является точка 0(1/2; 23/8).

y = x2

x − y − 5 = 0

b12 ; 14

O			x
	8 ; −	8
b
	23	17

Рисунок Р.20

Из геометрических соображений (рисунок Р.20) ясно, минимум функции ( , ) достигается в некоторой точке, которая согласно необходимому условию локального экстремума является стационарной точкой функции( , ). Этой точкой будет 0, поскольку других стационарных точке функция ( , ) не имеет. Итак, расстояние между данными параболой и прямой

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 353.1	Назад Вперёд

совпадает с расстоянием между их точками (1/2; 1/4) и (23/8; −17/8) и равно

√ ( 0) =	√(2 −		8 )		+ (4 −			8 + 5)		=
		1	23	2		1	23			2
	√(				8 )
=		8 )	+ (			=	8 .
		19	2		19	2	19√		2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 355	Назад Вперёд

Решение задачи 355

Прибыль равна разности выручки и издержек:

( , ) = 8 + 10 − 2 − − 2.

Ищем стационарные точки функции прибыли:						= 2,
8 − 2 − = 0,				8 − 2 − = 0,					·
	−	−	2 = 0,	−	6 + 3 = 0,		−	2		2 = 4.
10						= 8

Имеем стационарную точку 0(2, 4). Вычисляем вторые производные функции ( , ):

= ′′	=	−	2,	= ′′	=	−	1,	= ′′	=	−	2.
		−				−				−

Так как = − 2 = 3 > 0 и < 0, то по теореме 5.8 точка 0 является точкой локального максимума прибыли, причем

max = ( 0) = 8 · 2 + 10 · 4 − 22 − 2 · 4 − 42 = 28.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 357	Назад Вперёд

Решение задачи 357

Обозначим через м, м и м длину, ширину и глубину бассейна. По условию

= = м.

Определим, при каких значениях и площадь бассейна

= + 2 + 2 = +	64	+	64

будет минимальной. Находим частные производные площади = ( , ):

′	=	−	64	,	′	=	−	64	.
			2
								2

Находим стационарные точки функции ( , ) при > 0 и > 0:

′

−

= 0,

−

642

= 0,

= 64,

(

) = 0,

′

= 0,

642

= 0,

= 64,

−

3= ,

= 4,

= 64,

= 4.

Имеем единственную стационарную точку 0(4, 4). Из практических соображений ясно, что функция ( , ) достигает своего минимума в некоторой конечной точке, лежащей внутри первой координатной четверти (попытайтесь доказать это строго математически). Эта точка является стационарной и, следовательно, совпадает с 0.

Таким образом бассейн должен иметь длину и ширину, равные 4 метра. Его глубина

3232

= = 4 · 4 = 2 м.

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных
Меню Решение задачи 357	Назад Вперёд

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 5. Дифференцирование функций двух переменных Меню Указание к задаче 365 Назад Вперёд

Указание к задаче 365

Смотри задачу 353.1. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 6. Дифференциальные уравнения

Меню	Назад Вперёд

Глава 6. Дифференциальные уравнения

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 366.1	Назад Вперёд

Решение задачи 366.1

Продифференцируем по данное равенство:

′ = .

Подставим вместо в исходное равенство:

= ′	или ′ − = 0.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 366.5	Назад Вперёд

Решение задачи 366.5

Продифференцируем по данное равенство:

2 ′ = 2	или	= ′.
Подставим вместо в исходное равенство:
2 = 2 ′	или	= 2 ′ .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 367.1	Назад Вперёд

Решение задачи 367.1


Это уравнение вида ′′′ = ( ). Интегрируя, получим
		′′ = ∫		6	= −3 −2 + 1,
		′′ = ∫		3	= −3 −2 + 1,
	′ = ∫		(−3 −2 + 1) = + 1 + 2,
						3
= ∫	( + 1		+ 2) = 3 ln \| \| + 2 1 2				+ 2 + 3.
	3			1

или

= 3 ln | | + 1 2 + 2 + 3.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 6. Дифференциальные уравнения Меню Решение задачи 367.4 Назад Вперёд

Решение задачи 367.4

Это уравнение вида ′′ = ( ). Интегрируя, получим

	′ = ∫	3 sin2 cos = 3		∫	sin2 (sin ) = sin3 + 1,
= ∫	(sin3 + 1) = 1 − ∫		(1 − cos2 ) (cos ) =
					1		cos3 + 1
					= − cos +			+ 2.
					= − cos +	3		+ 2.

Для нахождения частного решения, воспользуемся начальными условиями

1	= −1 +	1	+ 2	,

3		3
	0 = 0 + 1.

Отсюда, 1 = 0, 2 = 1. Окончательно,

= − cos + 13 cos3 + 1.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 368.1	Назад Вперёд

Решение задачи 368.1

Это уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому,

	+ ( + 1) = 0		( + 1) = − .
Разделим переменные. Получим
			= −
					.
				+ 1
Проинтегрируем обе части уравнения. Имеем
∫ = − ∫		+ 1	ln \| \| = − + ln \| + 1\| + ln \| \|.

Преобразуем полученное равенство, воспользовавшись свойствами логарифмов:

= ( + 1) − .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 368.6	Назад Вперёд

Решение задачи 368.6

Это уравнение с разделяющимися переменными. Поэтому,

				= (2 + 1).


Разделим переменные. Получим
			= (2 + 1) .


Проинтегрируем обе части уравнения. Имеем
∫	= ∫	(2 + 1)		ln \| \| = 2 + + ln \| \|.
∫	= ∫	(2 + 1)		ln \| \| = 2 + + ln \| \|.

Преобразуем полученное равенство, воспользовавшись свойствами лога-

рифмов:

= 2+ .

Найтем частное решение, удовлетворяющее данному начальному условию:

1 = 0.

Откуда = 1. Осталось подставить найденное значение в общее решение:

= 2+ .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 369.1	Назад Вперёд

Решение задачи 369.1

Это однородное уравнение. Сделаем замену: = , = + . Подставим в исходное уравнение:

( + ) − (1 + ) = 0,

+ − (1 + ) = 0.

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Перенесем слагаемые, содержащие вправо:

= (1 + ) − ,

= .

Разделим переменные и проинтегрируем:

	=		,


∫	=	∫		.

Откуда = ln | | + . Учитывая замену, получим общее решение уравнения:

= (ln | | + ).

Для нахождения частного решения используем начальное условие:

2 = 1 · (ln 1 + ).

Значит, = 2. Тогда частное решение имеет вид:

= (ln | | + 2).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 369.2	Назад Вперёд

Решение задачи 369.2

Это однородное уравнение. Сделаем замену: = , ′ = ′ + . Подставим в исходное уравнение:

′ + = ln ,

′ + = ln .

Получили уравнение с разделяющимися переменными. Произведем необходимые преобразования:

= ln − ,

= (ln − 1).

Разделим переменные и проинтегрируем:

∫

(ln − 1)

∫

Откуда

ln | ln − 1| = ln | | + ln | |, ln = + 1, = +1.

Учитывая замену, получим общее решение уравнения:

= +1.

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 369.2	Назад Вперёд

Для нахождения частного решения используем начальное условие:

1 = 1 · +1.

Значит, = −1. Тогда частное решение имеет вид:

= 1− .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 369.12	Назад Вперёд

Решение задачи 369.12

Представим уравнение в виде:

′ = + 2 + 1. 2 − 3

Это уравнение можно привести к однородному. Для этого решим систему:

+ 2 + 1 = 0,

2 − 3 = 0.

3		= −			5	. Сделаем замену
Решение этой системы 0 = 2 , 0		= −			4	. Сделаем замену
= + 0,						= + 0,
т.е.		3								5
		3								5
= +				,		=		−				.
= +			2	,		=		−			4	.
Получим							23			3)
	2 +(						23			3)
′ =	+	23 + 2					− 45 + 1						,
′ =													,
	′		( + 2)					−
	′	=			2				.
					2

Получили однородное уравнение. Решим его стандартным образом. Пусть

= , ′ = ′ + . Тогда

′ + =	+ 2					,
			2

′ + =		1 + 2			,
			2

	=		1
				.
			2

Часть II. Задачи

Решения и указания

Глава 6. Дифференциальные уравнения

Меню Решение задачи 369.12

Назад Вперёд

Разделим переменные и проинтегрируем:

∫

2 .

Откуда

| | + .

Произведем обратные замены:

(2 ln | | + ),

и окончательно,

+ )

+ 4 = ( − 2)(2 ln − 2

4 + 5 = (2 − 3) (ln

−

+ ).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 370.1	Назад Вперёд

Решение задачи 370.1

Это линейное уравнение. Решим его двумя способами.

1 способ (метод Лагранжа). Найдем сначала общее решение соответствующего однородного уравнения


	′ − = 0,
					= .

Разделяя переменные и интегрируя, получим
		= ,	∫	= ∫		.

Откуда ln | | = + ln | | или = . Общее решение заданного уравнения ищем в виде

= ( ) ,

где ( ) — некоторая функция. Найдем

′ = ′( ) + ( ) .

Подставим в исходное уравнение

′( ) + ( ) − ( ) = .

Отсюда, ′( ) = 1 или ( ) = + . Следовательно, общее решение данного уравнения

= ( + ) .

2 способ (метод Бернулли). Полагаем = , где = ( ), = ( ) — некоторые функции от , тогда ′ = ′ + ′ . Подставим в данное уравнение

′ + ′ − = , ′ + ( ′ − ) = .

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 370.1	Назад Вперёд

Подберем функцию = ( ) так, чтобы выражене в скобках равнялось нулю, т.е. решим уравнение с разделяющимися переменными

′ − = 0,	= ,	= .

Откуда ln | | = + ln | | или = . Поскольку нам достаточно какогонибудь одного ненулевого решения уравнения, то возьмем = (положили= 1). Подставим найденное в последнее уравнение

′ = ,

′ = 1.

Значит, = + . Производя обратную замену, получим общее решение исходного уравнения

= ( + ) .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 370.5	Назад Вперёд

Решение задачи 370.5

Запишем уравнение в виде

2 ′ − = 2.

Это уравнение Бернулли. С помощью замены = 1 его можно свести к линейному, однако удобнее сразу решать его методом Бернулли.

Полагаем = , где = ( ), = ( ) — некоторые функции от , тогда ′ = ′ + ′ . Подставим в данное уравнение

2( ′ + ′ ) − = 2 2, 2 ′ + ( ′ − ) = 2 2.

′ − = 0,	= ,	=
			.

Откуда ln | | = ln | | + ln | | или = . Поскольку нам достаточно какогонибудь одного ненулевого решения уравнения, то возьмем = (положили= 1). Подставим найденное в последнее уравнение

		3 ′ = 2 2,			=			.
				2

Значит,	1						1
−		= ln \| \| − ,	=						.

						− ln \| \|

Производя обратную замену, получим общее решение исходного уравнения

= − ln .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 370.13	Назад Вперёд

Решение задачи 370.13

Данное уравнение не является линейным относительно и ′, но является таковым относительно и ′. Поэтому преобразуем его следующим образом

+ 2 + ′ = 0, ′ + = − 2.

Решим это уравнение методом Бернулли. Полагаем = , где = ( ),= ( ) — некоторые функции от , тогда ′ = ′ + ′ . Подставим в данное уравнение

′ + ′ + = − 2, ′ + ( ′ + ) = − 2.

′ + = 0,	= − ,	= − .

Откуда ln | | = − + ln | | или = − . Поскольку нам достаточно какогонибудь одного ненулевого решения уравнения, то возьмем = − (положили = 1). Подставим найденное в последнее уравнение

′ − = − 2,

= − 2 .

Значит,

= − 2 + 2 − 2 + .

Производя обратную замену, получим общее решение исходного уравнения

= (− 2 + 2 − 2 + ) − = − − 2 + 2 − 2.

[Вернуться к условию]

−2 .

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 371	Назад Вперёд

Решение задачи 371

Модель роста в условиях конкурентного рынка в данном случае задается уравнением

′ = (2 − ) .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

(	−	2)				−	\| \|
	−		= ,	ln	− 2	= 2 + ln .
			= ,	ln	− 2	= 2 + ln .

Откуда

− 2 = −2

или

= 1 −

Принимая во внимание начальное условие, найдем константу :

1	=	2	= −3.

2		1 − 0

Таким образом, объем реализованной продукции описывается равенством

2= 1 + 3 −2 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 372	Назад Вперёд

Решение задачи 372

В данном случае функция дохода удовлетворяет уравнению

( ) = 12 ′( ) + 2

или

′( ) − 2 ( ) = −4 .

Полученное уравнение является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Положим = , ′ = ′ + ′. Тогда

′ + ′ − 2 = −4 ,			′ + ( ′ − 2 ) = −4 .
Определим функцию :
				ln \| \| = 2 ,
	= 2 ,	= 2 ,

откуда = 2 . Осталось определить функцию :
	′ 2 = −4 ,		′ = −4 −2 .

Интегрируя, получим

= 2 −2 + −2 + .

Значит,

= = (2 −2 + −2 + ) 2 = 2 + 1 + 2 .

Используя начальное условие (0) = 2, найдем постоянную :

2 = 1 + ,

откуда = 1. Окончательно, функция дохода имеет вид

= 2 + 1 + 2 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 373	Назад Вперёд

Решение задачи 373

Решим уравнение

′ = 101 .

Разделяя переменные и интегрируя, получим

=	1	,	ln \| \| =	1	+ ln \| \|,

	10			10

откуда = 10 . Так как первоначальная сумма равна , то

= 0,

= ,

т.е. = 10 . Теперь найдем момент времени, когда сумма вклада удвоится, т.е. станет равной 2 :

2 =		,			= 2.
	10			10

Значит,

= 10 · ln 2 ≈ 6, 93.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 374.1	Назад Вперёд

Решение задачи 374.1

Составим и решим характеристическое уравнение:

	2 − 5 + 4 = 0,
	= 25 − 16 = 9,
1 =	5 − 3	= 1, 2 =	5 + 3	= 4.
	2
		2

Значит, общее решение запишется в виде

= 1 + 2 4 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 374.2	Назад Вперёд

Решение задачи 374.2

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 − 6 + 9 = 0,

= 36 − 36 = 0,

6= 1 = 2 = 2 = 3.

Значит, общее решение запишется в виде

= 1 3 + 2 3 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 374.3	Назад Вперёд

Решение задачи 374.3

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 + 8 + 25 = 0,

= 64 − 100 = −36,

1,2 = −8 ± 6 = −4 ± 3 . 2

Значит, общее решение запишется в виде

= −4 ( 1 cos 3 + 2 sin 3 ).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 375.1	Назад Вперёд

Решение задачи 375.1

Выполним подстановку = . Тогда

( 2 −

′ =

= − ,

′′ =

2 =

−2

Значит исходное уравнение примет вид

− 6 = 0,

−2

( 2 −

)

+ 2 −

− 6 = 0.

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 + − 6 = 0,

= 1 + 24 = 25,

−1 − 5

−

−1 + 5

= 2.

Значит, общее решение запишется в виде

= 1 −3 + 2 4 .

Возвращаясь к переменной , получим

= 31 + 2 2.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 375.5	Назад Вперёд

Решение задачи 375.5

Выполним подстановку 2 + 1 = , = 12 ( − 1). Тогда

′ =

= 2 −

(

′′ =

−

)

= 4 −2

−

(

)

′

2 −

Значит исходное уравнение примет вид

− + 4 = 0,

2 4 −2

( 2 −

) − 4

− 2

= 0.

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 − 2 + 1 = 0,

= 4 − 4 = 0,

−2

= 1 = 2 = 2 = 1.

Значит, общее решение запишется в виде

= 1 + 2 .

Возвращаясь к переменной , получим

= 1(2 + 1) + 2(2 + 1) ln(2 + 1).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 376.1	Назад Вперёд

Решение задачи 376.1

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 + 4 = 0,2 = −4,

1,2 = ±2 .

Значит, общее решение однородного уравнения запишется в виде

= 1 cos 2 + 2 sin 2 ,

а фундаментальными решениями будут

= cos 2 ,

2 = sin 2 .

Вычислим определитель Вронского

−

sin 2

1′

2′

2 sin 2

2 cos 2

= 2 cos2 2 + 2 sin2 2 = 2,

и дополнительные

определители

( ( ) — правая

часть исходного уравнения)

sin 2

1 =

(0 )

2′

2 cos 2

= 0

− tg 2 = − tg 2 ,

cos 2

′

( )

2 sin 2

− 0 = 1.

= 1

−

cos 2

Определим функции

∫

cos 2

4 ln | cos 2 | + 1,

1( ) = ∫

1 = ∫

−

= −2

tg 2

sin 2

2( ) = ∫

2 =

∫

= 2 + 2.

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 376.1								Назад Вперёд

Значит, общее решение неоднородного уравнения примет вид
= 1( ) cos 2 + 2( ) sin 2 =			(		2 + 2)sin 2 =
= (	4 ln \| cos 2 \| + 1)cos 2 +		(		2 + 2)sin 2 =
	1				1
		= 1 cos 2 + 2 sin 2 +	1	sin 2 +		1		cos 2 ln \| cos 2 \|.

			2				4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 377.1	Назад Вперёд

Решение задачи 377.1

Составим и решим характеристическое уравнение:

2 + 2 + 1 = 0,

= 4 − 4 = 0,

= 1 = 2 = −1.

Значит, общее решение однородного уравнения запишется в виде

0 = 1 − + 2 − .

Правая часть исходного уравнения имеет специальный вид 0( ) , где 0 = 1 — многочлен нулевой степени, а = 1 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

( ) = .

Найдем производные

′( ) = ,

′′( ) = .

Подставим в исходное уравнение вместо и найдем

+ 2 + = ,	4 = 1,	=	1	.
			4

Значит, ( ) = 14 , а общее решение неоднородного уравнения запишется в виде

= 0 + = 1 − + 2 − + 14 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 377.6	Назад Вперёд

Решение задачи 377.6

Составим и решим характеристическое уравнение:

	2 + 3 − 4 = 0,
	= 9 + 16 = 25,
=	−3 − 5	=	−	4,	=	−3 + 5	= 1.
1	2		−		2	2

Значит, общее решение однородного уравнения запишется в виде

0 = 1 + 2 −4 .

Правая часть исходного уравнения имеет специальный вид 1( ) , где 1 = + 1 — многочлен первой степени, а = 1 является корнем характеристического уравнения кратноти 1. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

( ) = ( + ) · 1 = ( 2 + ) .

Найдем производные

′( ) = (2 + ) + ( 2 + ) = ( 2 + + 2 + ),

′′( ) = ( 2 + + 2 + ) + (2 + + 2 ) = = ( 2 + 4 + + 2 + 2 ).

Подставим в исходное уравнение вместо

( 2+4 + +2 +2 )+3 ( 2+ +2 + )−4( 2+ ) = ( +1) .

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 377.6	Назад Вперёд

Сократим это уравнение на и приведем подобные слагаемые

10 + 2 + 5 = + 1.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему

10 = 1,


Откуда =	1	, =		4		.	2 + 5 = 1.
Откуда =	10	, =		25		.	2 + 5 = 1.
Значит, ( ) =					1		2 +	4	, а общее решение неоднородного урав-
Значит, ( ) =					10		2 +	25	, а общее решение неоднородного урав-
нения запишется в			виде						)
нения запишется в				(					)		25 )
	= 0 + = 1 + 2 −4 + (10 2									+	25 )	.
							1				4

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 377.10	Назад Вперёд

Решение задачи 377.10

Составим и решим характеристическое уравнение:

	2 − 5 + 6 = 0,
	= 25		− 24 =	1,
1 =	5 − 1	= 2,	2 =	5 + 1		= 3.
	2				2

Значит, общее решение однородного уравнения запишется в виде

0 = 1 2 + 2 3 .

Правая часть исходного уравнения имеет специальный вид 0( ) sin , где 0 = 13 — многочлен нулевой степени, а = 3 не является корнем характеристического уравнения. Поэтому частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

( ) = cos 3 + sin 3 .

Найдем производные

′( ) = −3 sin 3 + 3 cos 3 ,′′( ) = −9 cos 3 − 9 sin 3 .

Подставим в исходное уравнение вместо

−9 cos 3 −9 sin 3 −5(−3 sin 3 +3 cos 3 )+6( cos 3 + sin 3 ) = 13 sin 3 .

Приравнивая коэффициенты при cos 3 и sin 3 , получим систему

−9 − 15 + 6 = 0,		+ 5 = 0,
−	9 + 15 + 6 = 13;		−	3 = 13;
		15

Часть II. Задачи Решения и указания

Глава 6. Дифференциальные уравнения

Меню Решение задачи 377.10		Назад Вперёд
Откуда = 65 , = −61 .5	−	1
Значит, ( ) = 6 cos 3	−	6 sin 3 , а общее решение неоднородного
уравнения запишется в виде

= 0 + = 1 2 + 2 3 + 16(5 cos 3 − sin 3 ).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 378.1	Назад Вперёд

Решение задачи 378.1

Найдем общее решение уравнения. Составим и решим характеристическое уравнение:

	2 − 4 + 3 = 0,
	= 16 − 12 = 4,
1 =	4 − 2	= 1, 2 =	4 + 2	= 3.
	2
		2

Значит, общее решение запишется в виде

= 1 + 2 3 .

Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями. Из условия (0) = 6 следует уравнение

6 = 1 + 2.

Чтобы воспользоваться условием ′(0) = 10 найдем производную

			′ = 1 + 3 2 3 ,
т.е.
			10 = 1 + 3 2.
Получим систему			1 + 2 = 6,
		.	1 + 2 = 6,
1	2	.
			1 + 3 2 = 10.

Откуда = 4, = 2 Значит, частным решением исходного уравнения будет

= 4 + 2 3 .

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 6. Дифференциальные уравнения
Меню Решение задачи 379	Назад Вперёд

Решение задачи 379

Решим указанное уравнение. Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

2 + 2 = 0,

где 2 = ( − ). Учитавая условие задачи > 0. Значит характеристическое уравнение имеет корни 1,2 = ± . Поэтому общее решение однородного уравнения

0 = 1 cos + 2 sin

или после несложных преобразований

0 = cos( − ).

Найдем частное решение неоднородного уравнения. Учитывая вид правой части, его следует искать в виде = . Подставив в исходное уравнение, получим

( − ) = ( − )

откуда

−

= − .

Окончательно, закон изменения цены описыавется функцией

−= 0 + = cos( − ) + − ,

где и — некоторые постоянные.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи Решения и указания Глава 7. Ряды

Меню	Назад Вперёд

Глава 7. Ряды

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 380.1	Назад Вперёд

Решение задачи 380.1

Каждый член данного ряда, начиная со второго, представляет собой дробь, числитель которой равен 1, а знаменатель — третья степень числа . Первый

член 1 =		1	. Таким образом, =	1	.	[Вернуться к условию]
		3		3
	1

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 381.1	Назад Вперёд

Решение задачи 381.1

Члены этого ряда 1, 12 , 14 , . . . представляют собой геометрическую прогрессию с первым членом 1 = 1 и знаменателем = 12 . Воспользуемся формулой суммы бесконечной геометрической прогрессии:

∞	1		1		1
∑
∑		= = 1	−	= 1	−	1	= 2.
=0	2	= = 1		= 1		1	= 2.
=0						2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 381.3	Назад Вперёд

Решение задачи 381.3

Общий член этого ряда =												1	можно представить в виде
Общий член этого ряда =										( +2)			можно представить в виде
						( + 2) =							2	(		− + 2).
							1						1	1				1
Тогда частичная сумма ряда равна
= =1 = 2 (1 −							3)+ 2 (2 − 4)+ 2 (3 − 5)+ 2 (4 − 6)+. . . +

	∑	1			1		1			1		1		1	1			1		1	1		1	1
	+ 2	( − 2			− ) + 2						( − 1 − + 1) + 2									(	− + 2) =
	1	1			1		1					1			1			1		1	1
			= 2 (1 −				3 +			2		− 4	+ 3		− 5			+ 4 −		6 + . . . +
		1					1			1		1		1	1			1		1
			+ − 2 − +							− 1			− + 1				+ − + 2) =
					1			1				1			1				1	1
																= 2 (1 +				2 −		+ 1 −		+ 2).
																		1		1	1			1
Отсюда
Отсюда									→∞ 2 (1 + 2 − + 1 − + 2) = 2 · 2 = 4.
=1 ( + 2) = →∞									→∞ 2 (1 + 2 − + 1 − + 2) = 2 · 2 = 4.
∞
∑	1			lim			= lim					1		1				1		1			1	3 3
				lim			= lim

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 382.1	Назад Вперёд

Решение задачи 382.1

Так как общий член ряда = 2 1−1 , то получим

	1
lim =	lim	= 0.

→∞	→∞ 2 − 1

Значит, необходимое условие сходимости ряда выполняется, о сходимости ряда ничего сказать нельзя. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 382.2	Назад Вперёд

Решение задачи 382.2

Так как общий член ряда = 2 +1+1 , то получим

Значит, необходимое условие сходимости ряда не выполняется, ряд расходится. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 383.1	Назад Вперёд

Решение задачи 383.1

1		1
Общий член ряда = √	=		. Данный ряд является обобщенным гармо-
		1/2
		1/2
ническим рядом. В силу того, что = 1				< 1, ряд расходится.
			2

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 383.2	Назад Вперёд

Решение задачи 383.2

∑

Общий член ряда =

. Сравним этот ряд с рядом

∞

. Так как

·2

= 1, 2, . . . ,

∑

· 2

и ряд

∞

сходится как бесконечная геометрическая прогрессия со знаме-

нателем = 12 < 1, то и исходный ряд сходится по признаку сравнения. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 383.6	Назад Вперёд

Решение задачи 383.6

Общий член ряда

3 2−12

−1

. Рассмотрим ряд

∞ 1 при этом = 1 .

Вычислим предел

− 1

)

∑

→∞

→∞ (3 3 + 4 2

→∞ 3 3 + 4 2 − 1

lim

= lim

2 −

= lim

3 −

∑

∞

∑

∞

Значит, ряды

− 2

сходятся или расходятся одновременно. В

−1

3 +4

силу того, что ряд

расходится, то и исходный ряд также расходится по

[Вернуться к условию]

в предельной форме.

признаку сравнения∑

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 384.1	Назад Вперёд

Решение задачи 384.1

Общий член ряда =

. Найдем

+1 =

+ 2

( + 1)!

Поскольку,

lim

+ 2

lim

+ 2

= 0 < 1,

(( + 1)! · + 1)

→∞

= →∞

→∞ ( + 1)2

исходный ряд сходится по признаку Даламбера.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 385.1	Назад Вперёд

Решение задачи 385.1

Общий член ряда = (

)

. Поскольку,

3 +5

lim

3 2+ 5 =

3 < 1,

lim √ =

lim

√

3 + 5

→∞

(

)

→∞

исходный ряд сходится по признаку Коши.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 386.1	Назад Вперёд

Решение задачи 386.1

Так как =

, то ( ) =

. Очевидно, функция ( ) положительна,

непрерывна и монотонно убывает на промежутке (2; +∞).

Вычислим несобственный интеграл:

→+∞ (

| 2 )

∫

= →+∞ ∫

+∞

lim

(ln ) =

lim

( ) =

−

∞

ln ln 2) =

lim (ln ln

→ ∞

Значит, исходный ряд расходится по интегральному признаку.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 387.1	Назад Вперёд

Решение задачи 387.1

Данный ряд является знакопеременным. Исследуем его на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд

∞

cos

∞

cos

=1 |

∑

∞

Сравним его с рядом

. Так как | cos | 6 1, то и

∑

| cos

= 1, 2, . . .

Заметим, что ряд

∞

сходится как обобщенный гармонический рад при

∑

= 2. Значит, ряд =1

∑∞ | cos |

сходится по признаку сравнения, а исходный ряд сходится абсолютно. [Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 387.2	Назад Вперёд

Решение задачи 387.2

Данный ряд является знакочередующимся. Исследуем его на абсолютную

сходимость. Рассмотрим ряд

(−1)

1 .

∞

∑

∞ 1

=1 √ + 1

√ + 1

Сравним его с рядом

∑

. Так как

√

→∞

(√ + 1

: √ ) = →∞

√

lim

√

= 1,

∞∑

∞

а ряд

√

расходится как обобщенный гармонический рад при =

2 , то и

ряд

∑

расходится по признаку сравнения, а исходный ряд не является

√

абсолютно сходящимся.

Применим признак Лейбница при этом =

√

. В силу того, что

lim = lim

√

= 0

→∞

+ 1

√

> √

> . . . > √

√

> . . . ,

+ 1

данный ряд сходится по признаку Лейбница, причем условно.

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 388.1	Назад Вперёд

Решение задачи 388.1

Зафиксируем и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, т.е.

∑∞ 1 = ∑∞ 1 .

=1 =1

При каждом фиксированном данный ряд является обобщенным гармоническим рядом, который сходится при всех > 1 и расходится при 6 1. Таким образом, область сходимости данного ряда (1; +∞).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 388.2	Назад Вперёд

Решение задачи 388.2

Зафиксируем и рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин

данного ряда, т.е.	2	+ 3		∞	2 + 3
∞	2	+ 3		∞	2 + 3
∑				∑	\| \|

=1	2 +1		=	=1	2 +1	.
Применим признак Даламбера:

+ 3

( + 1)2 + 3

+ 2 + 4

| |

2 +1

| |

2( +1)+1

| |

2 +3

Вычислим предел

| 2|

+ 3 )

→∞

= →∞ (

| |2 +3

→∞ ( 2

+ 3)| |2

lim

+ 2 + 4

2 +1

lim

+ 2 + 4

2 + 2 + 4

lim

2 + 3

| |2

| |2 →∞

Для того, чтобы этот ряд сходился, достаточно выполнения условия:

| |2 < 1,

которое выполняется при (−∞; −1) (1; +∞). Заметим, что при(−1, 1) вычисленный выше предел будет больше 1, т.е. при (−1, 1) исходный ряд расходится.

Осталось выяснить поведение ряда при = ±1. Подмтавим эти значения в данный ряд. Если = 1, то получим ряд

∞	2 + 3		∞
∑			∑
		=	( 2 + 3),
=1	12 +1		=1
=1			=1

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 388.2	Назад Вперёд

который расходится по следствию из необходимого условия сходимости числового ряда. Аналогично, если = −1, ряд

∞	2 + 3			∞
∑			= −	∑
	−	1)2 +1
(				( 2 + 3),
=1				=1
также расходится.
Значит, областью		сходимости исходного ряда является
(−∞; −1) (1; +∞).				[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 389.1	Назад Вперёд

Решение задачи 389.1

Данный ряд является степенным, причем = 1 , 0 = 0. Вначале найдем радиус сходимости по формуле:

Имеем,

Тогда

lim

→∞

+1 =

+ 1

lim

+ 1

= lim + 1 = 1.

= →∞

→∞

Значит, интервал сходимости ( 0 − ; 0

+ ) = (−1; 1).

Осталось исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Если = 1, то

∞ 1

∞

∑

Этот ряд расходится (он является гармоническим рядом).

Если = −1, то

= ∞

(−1) .

∞

∑

Этот ряд сходится по признаку Лейбница (причем условно). Значит, область сходимости исходного ряда [−1; 1).

[Вернуться к условию]

Часть II. Задачи
Решения и указания
Глава 7. Ряды
Меню Решение задачи 389.6	Назад Вперёд

Решение задачи 389.6

Данный ряд является степенным, причем = ( +1 ) , 0 = 0.

Вначале найдем радиус сходимости по формуле:

= →∞ √|

lim

Получим,

√

= lim

(

lim

= 1.

→∞

)

→∞

Значит, = 1 и

интервал сходимости

( 0 − ; 0 + ) = (−1; 1).

Осталось исследовать поведение ряда на концах интервала сходимости.

Если = 1, то

=1 (

)

(

)

∞

+ 1

∞

+ 1

∑

Этот ряд расходится по следствию из необходимого условия сходимости, т.к.

	→∞ (		)		̸
	lim	+ 1		= = 0.
Если = −1, то	∞			+ 1	)
	=1(−1) (				)	.
	∑

Этот ряд также расходится (аналогично).

Значит, область сходимости исходного ряда (−1; 1).

[Вернуться к условию]

<<< < Предыдущая 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193194 / 206194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.09.2019147.83 Кб10vse_krome_10-go_1.docx
#
22.09.20192.13 Mб31vse_new_format.docx
#
14.04.2019642.56 Кб20vse_nuzhnoe_33_ped_33__33.doc
#
20.09.2019295.94 Кб6Vse_shpory_po_OOP_polnye.doc
#
21.09.2019605.7 Кб10vsyo.doc
#
19.02.201613.06 Mб85vyshaya_matem.pdf
#
29.08.2019298.91 Кб2xr_3.docx
#
05.09.201928.28 Кб4Yarik.docx
#
18.02.2016316.63 Кб99ya_shpory.docx
#
18.02.2016671.78 Кб41zadachi_1-25.pdf
#
25.09.201938.62 Кб4Zadachi_33__33__33.docx