3.4.4. Наибольшее и наименьшее значения функции

Пусть функция непрерывна на отрезке [ ; ]. По второй теореме Вейерштрасса функция принимает на отрезке свое наибольшее и наименьшее значения. Поставим вопрос об их отыскании. Пусть, например, требуется отыскать наибольшее значение функции . Тогда нужно найти все точки локального максимума, найти значения функции в этих точках. Наибольшее значение может достигаться также на одном из концов отрезка. Поэтому, сравнив значения функции во всех точках локального максимума и значения( ) и ( ), найдем наибольшее из них. Оно и будет наибольшим значением функции на отрезке [ ; ].

Аналогично находится наименьшее значение функции на отрезке

[ ; ].

Если функция дифференцируема на ( ; ), то можно поступить следующим образом: найти все стационарные точки функции на ( ; ), вычислить значения функции в стационарных точках и значения ( ) и ( ), тогда наименьшее из них будет наименьшим значением функции на отрезке [ ; ], наибольшее из них — наибольшим значением функции.

Задача об отыскании наибольшего и наименьшего значения функции часто возникает в приложениях, в том числе в экономике.

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.4. Исследование функции с помощью производной

3.4.5. Выпуклые функции

Пусть функция дифференцируема на интервале ( ; ). Тогда в каждой точке ее графика существует касательная.

Определение. Функция называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале ( ; ) , если ее график расположен ниже любой касательной на ( ; ) (рисунок 3.7).

Определение. Функция называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале ( ; ) , если ее график расположен выше любой касательной на ( ; ) (рисунок 3.7).

Теорема 3.17 (достаточное условие выпуклости). Если функция имеет на интервале ( ; ) вторую производную и ′′( ) > 0 ( ′′( ) < 0) во всех точках

( ; ), то функция выпукла вниз (выпукла вверх) на ( ; ).

[Доказательство]

Определение. Точка ( 0; ( 0)), 0 ( ; ) называется точкой перегиба непрерывной функции , если слева и справа от этой точки функция имеет разные направления выпуклости.

промежутке (−∞; 0) функция = 3 выпукла вверх, а на (0; +∞) — выпукла вниз, и точка = 0 является точкой, разделяющей промежутки выпуклости разной направленности.

Теорема 3.18 (необходимое условие точки перегиба). Пусть точка ( 0; ( 0)),

0 ( ; ) является точкой перегиба функции . Тогда, если в точке 0 функция имеет вторую производную, то ′′( 0) = 0.

Таким образом, условие ′′( ) = 0 играет такую же роль в отношении точек перегиба, как условие ′( ) = 0 в отношении точек локального экстремума. Оно необходимо, но не достаточно. Так, например, функция ( ) = 4 имеет вторую производную ′′( ) = 12 2, ′′(0) = 0, но точка (0; 0) не является точкой перегиба функции, так как ′′( ) > 0, (−∞; +∞), и функция выпукла вниз на (−∞; +∞).

Не будем проводить доказательства теоремы 3.18. Заметим лишь, что, например, при условии существования непрерывной второй производной в окрестности точки 0 является вполне естественным ее равенство нулю в этой точке, так как с одной стороны от 0 ′′( ) 6 0, а с другой стороны от точки 0 ′′( ) > 0.

Теорема 3.19 (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция имеет вторую производную ′′( ) в некоторой окрестности точки 0. Тогда, если вторая производная ′′( ) имеет разные знаки слева и справа от точки 0, то точка ( 0; ( 0)) является точкой перегиба графика функции .

Действительно, если производная ′′( ) имеет разные знаки слева и справа от точки 0, то по теореме 3.17 это означает, что функция является

выпуклой с разной направленностью слева и справа от точки 0, т.е. точка ( 0; ( 0)) есть точка перегиба графика функции .