6.1.2. Составление дифференциальных уравнений.

Если известно однопараметрическое семейство функций, то для него можно построить ДУ, решениями которого будут все функции этого семейства. Может оказаться, что семейство функций задает общее решение или общий интеграл ДУ.

Пример 6.4. Для семейства функций = −1 найти ДУ.

Решение. Продифференцировав исходное соотношение, получим

Пример 6.5. Для семейства функций 2 + 2 − = 0 найти ДУ.

Решение. Из условия задачи находим

= 2 + 2 .

Дифференцируем соотношение 2 + 2 − = 0 и в полученное уравнение подставляем значение . Тогда

2 2 + 2 ′ − 2 − 2 = 0,

т.е. 2 ′+ 2 − 2 = 0 — искомое ДУ; 2 + 2 − = 0 — его общий интеграл.

Отметим, что к составлению и интегрированию ДУ приводят многие задачи математики и других наук — физики, биологии, химии, экономики и т.д.

В экономике ДУ часто может быть составлено исходя из экономического смысла производной. В качестве примера рассмотрим динамику рыночных цен (макромодель Домара), где независимой переменной служит время . Допустим, что для конкретного продукта функции спроса и предложения имеют следующий вид:

где , , , — некоторые положительные постоянные, — цена продукта. Цена равновесия находится из условия = и будет равна

= ++ — конкретной положительной постоянной.

Если случится, что начальная цена (0) точно равна , то, очевидно, что рынок будет в положении равновесия и не нужен динамический анализ. В более интересном случае (0) ̸= , и тогда, если будет достижимой, то только после соответствующего процесса приспособления, во время которого меняется не только цена, но и , как функции , причем все эти переменные можно трактовать как функции времени. Поставим вопрос, который касается динамики цен, так: пусть есть достаточно времени на то, чтобы произошел процесс приспособления; будет ли цена ( ) со временем приведена до цены равновесия, т.е. будет ли ( ) стремиться к , когда

→ ∞.

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вначале найти ( ). Последнее, в свою очередь, требует описать структуру изменения цен. Вообще говоря, цены определяются через релятивное воздействие сил спроса и предложения на рынке. Для простоты допустим, что уровень (скорость) изменения цены (относительно времени) в каждый момент времени прямо пропорционален

разности − в этот момент. Такая структура изменения цены может быть выражена так:

где — некоторый установленный положительный множитель (коэффициент) приспособления.

Подставляя (6.4) в (6.5), запишем (6.5) в виде:

= ( − + − ) = ( + ) − ( )

или

Уравнение (6.6) и есть ДУ для цены продукта ( ) в макромодели Домара. Решение уравнения (6.6) и его анализ будут приведены изложения методов интегрирования ДУ первого порядка.

6.1.3. ДУ с разделяющимися переменными.

Рассмотрим ДУ первого порядка, записанное в дифференциалах,

где ( , ), ( , ) — заданные функции двух переменных и .

Определение. Пусть ( , ) = 1( ), a ( , ) = 2( ), тогда уравнение (6.7) называют ДУ с разделенными переменными.

Используя инвариантность формы дифференциала, получаем общее

т.е. ДУ с разделенными переменными решается простым интегрированием.

Определение. Пусть ( , ) = 1( ) 2( ), a ( , ) = 1( ) 2( ), тогда уравнение (6.7) называют ДУ с разделяющимися переменными.

Поделив это уравнение на 2( ) 1( ) ̸= 0, тем самым сведем его к

проверить, являются ли = или = решениями исходного уравнения и содержатся ли они в общем интеграле при каком-то значении (соответственно ).

Пример 6.6. Решить уравнение (1 + 2) + (1 + 2) = 0.

Решение. Разделим данное уравнение на (1 + 2)(1 + 2). Переменные разделяются:

нуль не обращаются. Поэтому полученная формула содержит все решения рассматриваемого уравнения.