Часть I. Теория

Глава 2. Предел последовательности и функции 2.2. Функциональная зависимость

2.2. Функциональная зависимость

2.2.1.Понятие функции

2.2.2.Способы задания функции.

2.2.3.Основные характеристики функций

2.2.4.Понятие обратной и сложной функции

2.2.5.Элементарные функции

2.2.6.Построение графиков функций

2.2.7.Функциональная зависимость в экономике

2.2.1. Понятие функции

При изучении явлений природы, физических, экономических и других процессов часто встречаются с совокупностью переменных величин, которые связаны между собой так, что значения одних величин полностью определяют значения других. Например, площадь круга однозначно определяется значением его радиуса с помощью формулы = 2.

Определение. Пусть и — два произвольных множества. Если каждому элементу из множества по некоторому правилу поставлен в соответствие единственный элемент из множества , то говорят, что задана функция (смотрите рисунок 2.4). Функцию , как правило, обозначают одним из следующих способов:

= ( ), : → .

Переменная называется независимой переменной, или аргументом функции, переменная — зависимой переменной, или значением функции. Мно-

жество называют областью определения, или областью существования

функции и обозначают ( ). Множество всех значений, принимаемых функцией , когда аргумент пробегает всю область определения , называется множеством значений функции обозначается ( ):

{ }

( ) = = ( ), .

Множество значений функции ( ) содержится, очевидно, в . При этом может также содержать элементы, не входящие в ( ) (смотрите рисунок 2.4).

Определение. Если R и R, то есть и являются числовыми множествами, то функция : → называется числовой.

X

b

b

Рисунок 2.4

√

Например, функция = 1 − 2 определена на отрезке [−1; 1], т.е. областью определения является множество = [−1; 1]. Множеством значений функции в данном случае является отрезок [0; 1], = [0; 1].

Определение. Функция, все значения которой равны между собой, называется постоянной. Постоянную функцию часто обозначают буквой .

Определение. Графиком функции называется множество всех точек плоскости с координатами ( ; ( )), т.е. координаты и точек графика связаны соотношением = ( ).

Например, графиком функции = 2 является парабола. Естественно, что графиком функции не обязательно является «сплошная» кривая. В частности, графиком функции = ! будет бесконечное множество изоли-

Решение. Очевидно, (2) = 1 + 2 + 22 = 7. Если вместо независимого пере-

Аналогично, (− ) = 1 + (− ) + (− )2 = 1 − + 2.

Пример 2.4. Определить область существования функции

√

= 2 − 3 + 2.

Решение. В этом случае подкоренное выражение должно быть неотрицательно: 2 − 3 + 2 > 0. Решая это неравенство, получим, что областью определения является множество

= (−∞; 1] [2; +∞).