3.2.4. Теоремы о среднем

Рассматриваемые в этом пункте теоремы о среднем значении называют еще основными теоремами о дифференцируемых функциях.

Определение. Функция = ( ) имеет в точке 0 локальный максимум, если существует -окрестность ( 0 − ; 0 + ) такая, что

( 0 − ; + ) : ( ) < ( 0).

Определение. Функция = ( ) имеет в точке 0 локальный минимум, если существует -окрестность ( 0 − ; 0 + ) такая, что

( 0 − ; + ) : ( ) > ( 0).

Определение. Локальные максимумы и локальные минимумы функции называются локальными экстремумами.

Локальными называются свойства функции, которые имеют место в некоторой окрестности той или другой точки.

Теорема 3.6 (теорема Ферма). Пусть функция определена на интервале ( ; ) и в некоторой точке 0 ( , ) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке 0 существует производная, то она равна нулю, т.е. ′( 0) = 0.

Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке

0 ( , ) функция имеет локальный минимум или максимум (рисунок 3.3), то касательная в этой точке к графику функции = ( ) параллельна оси, т.е. угол наклона касательной к оси равен нулю, и ′( 0) = tg 0 = 0.

Теорема 3.7 (теорема Ролля). Пусть функция непрерывна на отрезке [ ; ], дифференцируема на интервале ( ; ) и на концах отрезка [ ; ] принимает

равные значения, ( ) = ( ). Тогда существует точка ( ; ), в которой

′( ) = 0.

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции

Геометрический смысл этой теоремы заключается в том, что у графика непрерывной на отрезке [ ; ] функции, принимающей на концах равные значения и дифференцируемой на ( ; ), существует точка ( ; ( )), в которой касательная параллельна оси (рисунок 3.4).

Иначе говоря, такая функция внутри отрезка [ , ] будет иметь экстремум (например, в точке ( ; )) и по теореме Ролля ′( ) = 0.

Теорема 3.8 (теорема Лагранжа). Если функция непрерывна на отрезке [ ; ], дифференцируема на интервале ( , ), то существует точка ( ; ) такая, что справедлива формула:

Рассмотрим геометрический смысл теоремы Лагранжа (рисунок 3.5). Из имеем, что

т.е. левая часть равенства (3.18) есть тангенс угла наклона секущей к оси . Правая часть равенства (3.18) есть тангенс угла наклона касательной в некоторой точке ( ; ). Таким образом, теорема Лагранжа утверждает, что найдется точка ( ; ), в которой касательная к графику функции параллельна секущей, соединяющей концы графика функции (точки ( ; ( )) и ( ; ( ))).

Соотношение (3.18) можно записать в виде:

Формулу (3.19) называют формулой конечных приращений.

Теорема 3.9 (теорема Коши). Если функции и непрерывны на отрезке [ ; ], дифференцируемы на интервале ( ; ), причем ′( ) ̸= 0, то существует точка ( ; ) такая, что справедливо равенство:

Часть I. Теория

Глава 3. Теория дифференцирования 3.2. Дифференцируемость функции