2.2.4. Понятие обратной и сложной функции

Определение. Пусть дана функция : → . Если каждому соответствует единственное значение , для которого = ( ) (смотрите рисунок 2.8), то задана функция : → такая, что = ( ). Эта функция называется обратной к функции ( ) и записывается в виде

X

b

b

Рисунок 2.8

Для нахождения обратной функции = −1( ) следует решить уравнение = ( ) относительно переменной . Так, для функции = 2 существует обратная функция = /2. Для функции = 2, заданной на отрезке [0, 1], существует обратная функция = √ . Однако в случае, когда функция = 2 задана на отрезке [−1, 1], обратной функции не существует, поскольку одному значению может соответствовать несколько значений. Например, значению = 1 соответствуют 1 = −1 и 2 = 1.

Предположим, что для функции = ( ), заданной на отрезке [ ; ], существует обратная функция = −1( ). Пусть множеством значений функции является отрезок [ ; ]. Тогда этот отрезок является областью определения обратной функции −1, а отрезок [ ; ] — множеством ее значений. Графики функции = ( ) и ее обратной = −1( ) будут совпадать, если в первом случае аргумент откладывать вдоль оси , а во втором — вдоль оси (рисунок 2.9).

Если же условиться и в случае функции , и в случае обратной функции−1 независимую переменную обозначать через , а зависимую — через , то для того, чтобы получить график функции = −1( ) из графика = ( ), нужно первый график зеркально отобразить относительно биссектрисы I и III четвертей координатной плоскости (рисунок 2.10).

Определение. Пусть заданы функции : → и : → (смотрите рисунок 2.11). Функция : → , определяемая по формуле ( ) = ( ( )), называется сложной функцией, или суперпозицией функций = ( ) и

= ( ).

Рисунок 2.11

Например, функция = √cos является сложной функцией: суперпозицией тригонометрической функции = cos и степенной = 1/2. Функция = 2 +1 также является сложной функцией: суперпозицией линейной функции = 2 + 1 и показательной = .

Определение. Функция, заданная уравнением, не разрешенным относительно зависимой переменной, называется неявной.

Например, уравнение 3 + 2 − 2 2 = 0 определяет как неявную функцию от .

Пример 2.5. Для функции = ln 2 найти обратную.

Решение. Очевидно, данная функция определена на промежутке (0; ∞). Множеством ее значений является R. С помощью потенцирования находим= 2 . Значит, = 2 является обратной функцией к функции = ln 2 . Функция = 2 определена на R, множеством ее значений является промежуток (0; +∞).

Решение. Данная сложная функция является суперпозицией степенной функции = 3 и обратной тригонометрической функции = arcsin .