Глава 5. Функции двух переменных

Начало теста.

1.

Область определения

функции =

1

следующая:

√ 2 + 2 − 2

= {( , ) R2

2 + 2 > 2};

{

R

}

= ( , )

R

2

2 + 2 > 2 ;

{

6

}

= ( , )

2

2 + 2

2 ;

{

R

}

2. Область определения

функции = arcsin

следующая:

2

= {( , ) R2

| | 6 2};

{

R

|

|

}

= ( , )

R

2

< 2 ;

{

|

|

̸

}

= ( , )

R

2

< 2

, =0

;

{

|

|

6

̸

}

= ( , )

2, =0 .

2

3. Что можно сказать о пределе lim

?

→0 2 + 2

→0

Существует и равен 0.

Существует и равен 1.

Не существует.

Существует и равен ∞.

4. Все точки разрыва функции = sin

1

лежат на

−

прямых = 0 и = 0;

прямой = ;

прямых = + , где Z;

прямых = + 2 , где Z.

5. Частные производные функции =

следующие:

∂

∂

1

∂

∂

1

= −

,

=

;

=

,

=

;

∂

2

∂

∂

2

∂

∂

∂

1

∂

∂

1

= −

,

=

;

=

,

=

.

∂

∂

∂

∂

6. Частные производные функции = −

следующие:

∂

∂

= − −

,

= − 2 − ;

∂

∂

∂

= − (1 − ),

∂

− ;

= − 2

∂

∂

∂

= − ( + 1),

∂

= − .

∂

∂

7. Для функции =

sin

, где = 1 + 3 и = √1 + 2, верно, что:

Меню

Назад Вперёд

2

cos

√1 + 2 ;

3

2

)

√1

= 3

(sin

− cos

+ 2 cos

+ 2 ;

= 3

(sin

+ cos

)

− 2 cos

√1

+ 2 ;

(sin

+ cos )

1

8. Для функции = :

= ln ( + );

= −1 ( + );

= ln ;

= −1 ;

= (ln + );

=

( + ln );

ром −−→, где

(1, 2,

−

1)

,

(2, 4,

−

3)

. Найти производную функции

по

направлению l в точке .

Решение. Находим векторы

−−→

и l:

(

),

−−→

,

,

=

l

= (

,

,

).

∂

∂

∂

∂

=

.

∂l

grad = (

,

,

),

| grad | =

.

11. Для функции = :

∂2

= 2 ,

∂2

= 2

2 ,

∂2

= 2 ;

∂ 2

∂ 2

∂ ∂

∂2

= 0,

∂2

= ,

∂2

= ;

∂ 2

∂ 2

∂ ∂

′( ))2,

∂ ∂ = ′′( ).

∂ 2 = ′′( ),

∂ 2 = (

1(0, 0),

2

(

,

).

Вычисляем вторые производные функции в точке 1:

,

= ′′ ( 1) =

,

= ′′ ( 1) =

.

Для точки 1 находим, что

= − 2 =

.

Вычисляем вторые производные функции в точке 2:

= ′′ ( 2) =

,

= ′′ ( 2) =

,

.

.

2 для 2)

. Тип экстремума:

минимум, причем min =

;

максимум, причем max =

.