Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Меню 1.2.3. Гипербола Назад Вперёд

1.2.3. Гипербола

Определение. Гипербола (смотрите рисунок 1.12) — это геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению

называемому каноническим уравнением гиперболы.

Из канонического уравнения (1.19) следует, что гипербола:

1)симметрична относительно осей координат и начала координат;

2)не пересекает ось ;

3)лежит за пределами полосы | | < ;

4)состоит из двух ветвей: левой для 6 − и правой для > .

Построим гиперболу. Получим зависимость переменной от в первой четверти:

Теперь выполним построение в первой четверти и симметрично отобразим полученный фрагмент на всю систему координат (смотрите рисунок 1.12).

Определение. Точки 1(− , 0) и 2( , 0) (рисунок 1.12) лежат на гиперболе и называются вершинами гиперболы.

Определение. Начало координат (0, 0) (рисунок 1.12), выступающее в роли центра симметрии гиперболы, называют центром гиперболы.

Определение. Отрезки 1 2 и 1 2, где 1 = (0, − ) и 2 = (0, ) (рисунок 1.12), а также их длины 2 и 2 , называют действительной и мнимой осями гиперболы.

Определение. Отрезки 2 и 2 (рисунок 1.12), представляющие собой половины действительной и мнимой осей, и их длины и называют действительной и мнимой полуосями гиперболы.

= 2 + 2.

Точки 1(− ; 0) и 2( ; 0) (рисунок 1.12) называют фокусами гиперболы. Ясно, что < , т. е. расстояние между фокусами больше действительной оси гиперболы.

Определение. Расстояния 1 и 2 (рисунок 1.12) от точки гиперболы до ее фокусов 1 и 2 называются левым и правым фокальными радиусами этой точки.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

= − и = (рисунок 1.12), называется основным прямоугольником гиперболы.

Определение. Две прямые = ± (рисунок 1.12) называются асимптотами гиперболы.

Замечание 1.1. При удалении от начала координат гипербола как угодно близко подходит к своим асимптотам, не пересекая их. Построение чертежа гиперболы удобно начинать с изображения основного прямоугольника. Далее рисуют асимптоты, которые являются диагоналями основного прямоугольника. После этого вычерчивание гиперболы не составляет труда (рисунок 1.12).

Теорема 1.4. Точка плоскости принадлежит гиперболе (1.19) тогда и только тогда, когда абсолютная величина разности фокальных радиусов этой точки равна 2 :

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется число

= ,

характеризующее её форму. Так как > , то > 1.

Понятие эксцентриситета позволяет переписать формулы (Д.4) и (Д.5) для фокальных радиусов точки , лежащей соответственно на правой и левой ветвях гиперболы, следующим образом:

1)1 = + , 2 = − для правой ветви;

2)1 = − − , 2 = − + для левой ветви.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Определение. Если = , то есть действительная и мнимая полуоси равны, то уравнение гиперболы принимает вид 2 − 2 = 2. Такая гипербола называется равнобочной. Её асимптоты образуют прямой угол и являются биссектрисами координатных углов.

Определение. Уравнение

задаёт гиперболу, действительной и мнимой осями которой служат соответственно мнимая и действительная оси гиперболы (1.19). Гиперболы (1.19) и (1.21) имеют общие полуоси, асимптоты и основной прямоугольник и называются сопряженными.

На рисунке 1.13 сопряженная гипербола начерчена курсивом, её фокусы обозначены через 1′ и 2′.

Пример 1.12. Составить каноническое уравнение гиперболы, проходящей через точку (√3, √2) и имеющей эксцентриситет = √2.

Часть I. Теория

Глава 1. Аналитическая геометрия 1.2. Кривые второго порядка

Так как для всякой гиперболы верно равенство 2 = 2 + 2, то в нашем случае

2 = 2 − 2 = 2 2 − 2 = 2,

т. е. гипербола равнобочная.

Подставим координаты данной по условию точки в каноническое уравнение (1.19):

Значит, уравнение искомой гиперболы имеет вид 2 − 2 = 1.