8.1.7. Матричные уравнения

Определение. Уравнения, где неизвестной является матрица, называются

матричными уравнениями.

Матричные уравнения можно решать с помощью обратной матрицы. Различают следующие виды матричных уравнений:

Здесь — неизвестная матрица. Все матрицы в левой части уравнения должны быть согласованными. С обеих сторон от знака равно должны быть матрицы одинаковых размеров.

Теорема 8.3. Если матрицы и квадратные и невырожденные, то матричные уравнения (8.8) имеют единственные решения, которые могут быть найдены по формулам:

[Доказательство]

Пример 8.22. Решить матричное уравнение

−

Решение. Запишем данное уравнение в виде:

−

Чтобы найти −1, воспользуемся представлением (8.7) обратной матрицы второго порядка:

убеждает нас в верности полученного результата.

8.1.8. Ранг матрицы

Определение. Рассмотрим матрицу размера × . Для 1 6 6 min{ , } минорами порядка матрицы называются определители, которые состоят из элементов матрицы , стоящих на пересечении любых строк и любыхстолбцов матрицы .

Определение. Наивысший порядок отличных от нуля миноров матрицы называется рангом матрицы и обозначается rank .

Определение. Отличный от нуля минор, порядок которого равен рангу матрицы, называется базисным.

Пример 8.23. Рассмотрим матрицу

−

Эта матрицы имеет 6 миноров порядка 1 — её элементы. У неё есть три минора порядка 2:

Миноров порядка 3 и выше у матрицы , очевидно, нет.

Матрица содержит минор второго порядка, отличный от нуля, например, второй из миноров (8.9). Это максимально возможный порядок миноров. Следовательно, rank = 2. Базисных, то есть отличных от нуля миноров порядка 2, в данном случае два: второй и третий из миноров (8.9).

Свойства ранга матрицы

1.Для матрицы размера × её ранг rank 6 min{ , }.

2.Ранг матрицы не меняется при транспонировании.

3.Ранг матрицы не меняется при вычёркивании нулевого ряда.

4.Ранг матрицы не меняется в результате элементарных преобразований.

5.Ранг ступенчатой матрицы равен числу её строк.

Доказательства этих утверждений легко выводятся из свойств определителей.

Для нахождения ранга матрицы можно, следуя определению, перебирать миноры матрицы. Существенно более эффективным с вычислительной точки зрения является так называемый метод элементарных преобразований, основанный на рассмотренных свойствах ранга матрицы. Суть этого метода в том, что матрица приводится к ступенчатому виду путём проведения элементарных преобразований и вычёркивания нулевых рядов.

Пример 8.24. Найти методом элементарных преобразований ранг матрицы

Решение. Выберем в матрице элемент 1 в качестве разрешающего и занулим с его помощью другие элементы второго столбца:

Переписывая третью строку, содержащую разрешающий элемент без изменений, проделаем аналогичную процедуру с первыми двумя строками:

Приведение матрицы к ступенчатому виду завершилось вычёркиванием нулевой второй строки.

Полученная ступенчатая матрица имеет две строки, поэтому rank = 2. Определитель, составленный из двух первых столбцов ступенчатой матрицы не равен нулю. Значит, в качестве базисного минора матрицы

2 матрицы .